S’entraîner à l’examen national — Étude d’une fonction logarithmique corrigée

Examen blanc 2025 — Étude d’une fonction logarithmique

Énoncé complet et correction détaillée — Préparation au baccalauréat

Présentation

Cet exercice est organisé en deux parties liées. La première étudie une fonction auxiliaire g afin de déterminer son signe. La seconde utilise ce résultat pour étudier les variations et les branches infinies de la fonction logarithmique f.

Thème Fonction logarithmique et étude de fonction

Compétences Limites, variations, TVI, dérivation et courbe

Organisation Deux parties dépendantes

Support Correction écrite et cinq pages numérisées

Conseil méthodologique : la fonction g n’est pas indépendante de la deuxième partie. Son signe permet directement de déterminer celui de f′. Il faut donc conserver soigneusement les conclusions obtenues dans la première partie.

Énoncé — Partie 1

Étude de la fonction auxiliaire g.

On considère la fonction g définie sur ]1, +∞[ par :

g(x) = 2x − (x − 1) ln(x − 1)

1. Calculer les limites de g en +∞ et en 1⁺.
2. Étudier les variations de g sur ]1, +∞[ puis dresser son tableau de variation.
3. • Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans ]1 + e, +∞[.
   • Vérifier que e² + 1 < α < e³ + 1.
4. Déterminer le signe de g suivant les valeurs de x.

Énoncé — Partie 2

Étude de la fonction logarithmique f.

Soit f la fonction définie par :

f(x) = ln(x² − 1) x

1. • Montrer que D_f = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[.
   • Montrer que f est impaire.
2. Calculer les limites de f en 1⁺ et en +∞.
3. Étudier les branches infinies de la courbe C_f.
4. • Montrer que, pour tout x ∈ D_f :
     f′(x) = g(x²) x²(x² − 1)
   • Montrer que, pour x ∈ ]1, +∞[, f′(x) > 0 si et seulement si 1 < x < √α.
   • Dresser le tableau de variation de f sur D_f.
5. Construire la courbe C_f. Pour le tracé, on peut prendre α ≈ 10.

Correction détaillée — Partie 1

Étude de g et détermination de son signe.

1. Limites de g

Posons t = x − 1. Lorsque x tend vers 1⁺, t tend vers 0⁺ et t ln(t) tend vers 0. Ainsi :

lim_x→1⁺ g(x) = 2

Au voisinage de +∞ :

g(x) = (x − 1)[2 − ln(x − 1)] + 2

Comme ln(x − 1) tend vers +∞, on obtient :

lim_x→+∞ g(x) = −∞

2. Variations de g

g′(x) = 1 − ln(x − 1)

Donc g′(x) = 0 si et seulement si x = 1 + e.

• g′(x) > 0 sur ]1, 1 + e[ ;
• g′(1 + e) = 0 ;
• g′(x) < 0 sur ]1 + e, +∞[.

La fonction g est croissante sur ]1, 1 + e], puis décroissante sur [1 + e, +∞[. Son maximum vaut g(1 + e) = e + 2.

3. Existence et encadrement de α

Sur [1 + e, +∞[, la fonction g est continue et strictement décroissante. De plus, g(1 + e) = e + 2 > 0 et g(x) tend vers −∞. L’équation g(x) = 0 admet donc une unique solution α sur cet intervalle.

g(e² + 1) = 2 > 0

g(e³ + 1) = 2 − e³ < 0

e² + 1 < α < e³ + 1, avec α ≈ 10,19.

4. Signe de g

g(x) > 0 sur ]1, α[, g(α) = 0 et g(x) < 0 sur ]α, +∞[.

Correction détaillée — Partie 2

Étude de f et construction de sa courbe.

1. Domaine et parité

La condition x² − 1 > 0 équivaut à |x| > 1. Ainsi :

D_f = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[

Pour tout x ∈ D_f :

f(−x) = ln(x² − 1) −x = −f(x)

La fonction f est impaire ; sa courbe admet donc l’origine comme centre de symétrie.

2. Limites

lim_x→1⁺ f(x) = −∞

Pour x > 1 :

ln(x² − 1) = 2 ln(x) + ln(1 − 1x²)

En utilisant ln(x)/x → 0, on obtient :

lim_x→+∞ f(x) = 0

Par imparité :

lim_x→−1⁻ f(x) = +∞    et    lim_x→−∞ f(x) = 0

3. Branches infinies

• x = 1 est une asymptote verticale au voisinage de 1⁺ ;
• x = −1 est une asymptote verticale au voisinage de −1⁻ ;
• y = 0 est une asymptote horizontale au voisinage de +∞ et de −∞.

4. Dérivée et variations

Par la règle de dérivation d’un quotient :

f′(x) = 2x² − (x² − 1)ln(x² − 1) x²(x² − 1)

Le numérateur est exactement g(x²). Donc :

f′(x) = g(x²) x²(x² − 1)

Sur D_f, le dénominateur est strictement positif. Le signe de f′ est donc celui de g(x²).

Intervalle	Signe de f′	Variation de f
]−∞, −√α[	−	Décroissante
]−√α, −1[	+	Croissante
]1, √α[	+	Croissante
]√α, +∞[	−	Décroissante

f admet un minimum en −√α et un maximum en √α. On a √α ≈ 3,19 et f(√α) ≈ 0,695.

5. Éléments pour le tracé

• la courbe est symétrique par rapport à l’origine ;
• les asymptotes verticales sont x = −1 et x = 1 ;
• l’asymptote horizontale est y = 0 ;
• les zéros de f sont x = −√2 et x = √2 ;
• les extremums sont atteints en x = −√α et x = √α.

Correction manuscrite numérisée

Cinq pages présentées dans leur ordre original.

Correction — page 1 sur 5

Correction — page 2 sur 5

Correction — page 3 sur 5

Correction — page 4 sur 5

Correction — page 5 sur 5

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Ressource proposée et corrigée par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt