examen national blanc 2025

📚 Lycée Oum Rabiaâ - Prof : Hammou Boudraa 📚

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Exercice : Étude d'une Fonction

🔹 Partie 1

On considère la fonction \( g \) définie sur \( ]1; +\infty[ \) par :

$$ g(x) = 2x - (x - 1)\ln(x - 1) $$

1. Calculer : $$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x \to 1^+} g(x).$$
2. Étudier les variations de la fonction \( g \) sur \( ]1; +\infty[ \) puis dresser son tableau de variation.
3. • Montrer que l'équation \( g(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans l'intervalle \( ]1 + e; +\infty[ \).
   • Vérifier que : $$ e^2 + 1 < \alpha < e^3 + 1. $$
4. Déterminer le signe de \( g(x) \) suivant les valeurs de la variable \( x \).

🔹 Partie 2

Soit \( f \) la fonction définie par :

$$ f(x) = \frac{\ln(x^2 - 1)}{x}. $$

1. • Montrer que \( D_f = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[ \) (domaine de définition de \( f \)).
   • Montrer que la fonction \( f \) est impaire.
2. Calculer : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x).$$
3. Étudier les branches infinies de la courbe \( (\mathcal{C}_f) \).
4. • Montrer que \( (\forall x \in D_f) : f'(x) = \frac{g(x^2)}{x^2(x^2 - 1)} \).
   • Montrer que \( (\forall x \in ]1; +\infty[) : f'(x) > 0 \iff 1 < x < \sqrt{\alpha} \).
   • Dresser le tableau de variation de \( f \) sur \( D_f \).
5. Construire la courbe \( (\mathcal{C}_f) \). (On prend \( \alpha \approx 10 \)).

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📌 Correction :

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