Équations différentielles : correction du devoir 4 — Al Moufid

Équations différentielles : correction du devoir 4

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce devoir étudie une équation différentielle linéaire du second ordre, utilise une solution particulière pour calculer une intégrale, puis discute une famille d’équations suivant les valeurs du paramètre réel \(\theta\).

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1. Résolution de \((E)\) 2. Conditions initiales et intégrale 3. Discussion suivant \(\theta\)

1. Résolution de l’équation différentielle

Question 1

Résoudre l’équation différentielle :

\[ (E):\quad y''-2y'+5y=0. \]

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L’équation caractéristique associée à \((E)\) est :

\[ r^2-2r+5=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \begin{aligned} \Delta &=(-2)^2-4\times1\times5\\ &=4-20\\ &=-16. \end{aligned} \]

Comme \(\Delta<0\), les deux racines complexes conjuguées sont :

\[ r_1=1+2i \qquad\text{et}\qquad r_2=1-2i. \]

Les solutions réelles de \((E)\) sont donc les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par :

\[ \boxed{ y(x)=e^x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr), \quad A,B\in\mathbb R }. \]

2. Conditions initiales et calcul de l’intégrale

Question 2.a

Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie :

\[ f(0)=f'(0)=1. \]

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D’après la question précédente, il existe deux réels \(A\) et \(B\) tels que :

\[ f(x)=e^x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr). \]

La première condition donne :

\[ \begin{aligned} f(0)=1 &\Longleftrightarrow A=1. \end{aligned} \]

Calculons la dérivée de \(f\) :

\[ \begin{aligned} f'(x) &=e^x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr)\\ &\quad+e^x\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr)\\ &=e^x\Bigl((A+2B)\cos(2x)+(B-2A)\sin(2x)\Bigr). \end{aligned} \]

En particulier :

\[ f'(0)=A+2B. \]

La condition \(f'(0)=1\), avec \(A=1\), entraîne :

\[ \begin{aligned} 1+2B=1 &\Longleftrightarrow B=0. \end{aligned} \]

\[ \boxed{f(x)=e^x\cos(2x)}. \]

On vérifie bien que \(f(0)=1\) et que :

\[ f'(x)=e^x\bigl(\cos(2x)-2\sin(2x)\bigr), \qquad f'(0)=1. \]

Question 2.b

En déduire que :

\[ \int_0^{\pi}e^x\cos(2x)\,dx =\frac{e^{\pi}-1}{5}. \]

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La fonction \(f(x)=e^x\cos(2x)\) est une solution de \((E)\). Elle vérifie donc :

\[ f''-2f'+5f=0. \]

On en déduit :

\[ 5f=2f'-f''. \]

Intégrons cette égalité entre \(0\) et \(\pi\) :

\[ \begin{aligned} 5\int_0^{\pi}f(x)\,dx &=\int_0^{\pi}\bigl(2f'(x)-f''(x)\bigr)\,dx\\ &=\Bigl[2f(x)-f'(x)\Bigr]_0^{\pi}. \end{aligned} \]

Or :

\[ f(0)=1, \qquad f'(0)=1. \]

De plus, comme \(\cos(2\pi)=1\) et \(\sin(2\pi)=0\) :

\[ f(\pi)=e^{\pi} \qquad\text{et}\qquad f'(\pi)=e^{\pi}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} 5\int_0^{\pi}f(x)\,dx &=\bigl(2e^{\pi}-e^{\pi}\bigr)-\bigl(2-1\bigr)\\ &=e^{\pi}-1. \end{aligned} \]

Puisque \(f(x)=e^x\cos(2x)\), on obtient :

\[ \boxed{ \int_0^{\pi}e^x\cos(2x)\,dx =\frac{e^{\pi}-1}{5} }. \]

3. Résolution et discussion suivant les valeurs de \(\theta\)

Question 3

Soit \(\theta\in\mathbb R\). Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(\theta\) l’équation différentielle :

\[ y''-(2\sin\theta)y'+y=0. \]

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L’équation caractéristique est :

\[ r^2-2(\sin\theta)r+1=0. \]

Son discriminant est :

\[ \begin{aligned} \Delta &=4\sin^2\theta-4\\ &=4\bigl(\sin^2\theta-1\bigr)\\ &=-4\cos^2\theta. \end{aligned} \]

On a toujours \(\Delta\leq0\). Il faut isoler le cas \(\cos\theta=0\), car il correspond à une racine réelle double. Lorsque \(\cos\theta\neq0\), le discriminant est strictement négatif.

Premier cas : \(\cos\theta\neq0\)

Dans ce cas :

\[ \Delta=-4\cos^2\theta<0. \]

Les racines complexes conjuguées peuvent s’écrire :

\[ r_1=\sin\theta+i\cos\theta, \qquad r_2=\sin\theta-i\cos\theta. \]

Si \(\cos\theta<0\), leur ordre est simplement inversé, ce qui ne change pas l’ensemble des solutions.

\[ \boxed{ y(x)=e^{x\sin\theta} \Bigl(A\cos(x\cos\theta)+B\sin(x\cos\theta)\Bigr), \quad A,B\in\mathbb R }. \]

Deuxième cas : \(\cos\theta=0\)

On a alors :

\[ \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]

et le discriminant est nul. L’équation caractéristique possède la racine double :

\[ r=\sin\theta. \]

Il faut distinguer les deux valeurs possibles de \(\sin\theta\).

Si \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi\), alors \(\sin\theta=1\). L’équation caractéristique est :

\[ (r-1)^2=0. \]

\[ \boxed{y(x)=(A+Bx)e^x, \quad A,B\in\mathbb R}. \]

Si \(\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\), alors \(\sin\theta=-1\). L’équation caractéristique est :

\[ (r+1)^2=0. \]

\[ \boxed{y(x)=(A+Bx)e^{-x}, \quad A,B\in\mathbb R}. \]

Conclusion suivant les valeurs de \(\theta\). \[ \boxed{ \begin{cases} y(x)=e^{x\sin\theta} \Bigl(A\cos(x\cos\theta)+B\sin(x\cos\theta)\Bigr), & \text{si }\cos\theta\neq0,\\[5pt] y(x)=(A+Bx)e^x, & \text{si }\theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\[7pt] y(x)=(A+Bx)e^{-x}, & \text{si }\theta=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \end{cases} } \]

où \(A,B\in\mathbb R\) et \(k\in\mathbb Z\).

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