Équations différentielles : discussion suivant un paramètre — Exercice 18

Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques

Manuel : Al Moufid | Chapitre : Équations différentielles

Dans chaque équation, la nature des racines de l’équation caractéristique dépend de la valeur du paramètre réel \(m\). Il faut donc repérer toutes les valeurs critiques de \(m\), puis traiter séparément chacun des cas.

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Exercice 18

Énoncé

Soit \(m\) un nombre réel. Résoudre et discuter les équations différentielles suivantes :

\[ \begin{aligned} 1)&\quad y''-my+1=0,\\ 2)&\quad y''+my=0,\\ 3)&\quad y''+my'=0,\\ 4)&\quad y''-2my'+my=0,\\ 5)&\quad y''-2y'+(1-m)y=0. \end{aligned} \]

1) Première équation \[ (E_1):\quad y''-my+1=0. \]

Lire la correction +Masquer la correction −

Cette équation n’est pas homogène à cause du terme constant \(1\).

Cas \(m\neq0\)

La fonction constante :

\[ y_p(x)=\frac1m \]

est une solution particulière, car :

\[ y_p''-my_p+1 = 0-m\cdot\frac1m+1 = 0. \]

L’équation homogène associée est :

\[ y''-my=0, \]

et son équation caractéristique est :

\[ r^2-m=0. \]

Sous-cas \(m>0\)

Les racines sont :

\[ r_1=\sqrt m, \qquad r_2=-\sqrt m. \]

Les solutions de \((E_1)\) sont donc :

\[ \boxed{ y(x)=\frac1m +A e^{\sqrt m\,x} +B e^{-\sqrt m\,x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Sous-cas \(m<0\)

Posons :

\[ \omega=\sqrt{-m}>0. \]

Alors \(r^2-m=0\) devient :

\[ r^2+\omega^2=0. \]

Les solutions de \((E_1)\) sont :

\[ \boxed{ y(x)=\frac1m +A\cos(\sqrt{-m}\,x) +B\sin(\sqrt{-m}\,x), \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=0\)

L’équation devient :

\[ y''+1=0, \]

c’est-à-dire :

\[ y''=-1. \]

En intégrant deux fois :

\[ y'(x)=-x+A, \]

puis :

\[ y(x)=-\frac{x^2}{2}+Ax+B. \]

\[ \boxed{ y(x)=-\frac{x^2}{2}+Ax+B, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

2) Deuxième équation \[ (E_2):\quad y''+my=0. \]

Lire la correction +Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2+m=0. \]

Cas \(m>0\)

Les racines sont complexes conjuguées :

\[ r_1=i\sqrt m, \qquad r_2=-i\sqrt m. \]

\[ \boxed{ y(x)=A\cos(\sqrt m\,x)+B\sin(\sqrt m\,x), \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=0\)

L’équation devient \(y''=0\). Après deux intégrations :

\[ \boxed{ y(x)=Ax+B, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m<0\)

On a :

\[ r^2=-m, \]

donc les racines sont :

\[ r_1=\sqrt{-m}, \qquad r_2=-\sqrt{-m}. \]

\[ \boxed{ y(x)=A e^{\sqrt{-m}\,x} +B e^{-\sqrt{-m}\,x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

3) Troisième équation \[ (E_3):\quad y''+my'=0. \]

Lire la correction +Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2+mr=0. \]

On factorise :

\[ r(r+m)=0. \]

Cas \(m\neq0\)

Les deux racines distinctes sont :

\[ r_1=0, \qquad r_2=-m. \]

\[ \boxed{ y(x)=A+B e^{-mx}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=0\)

L’équation caractéristique devient \(r^2=0\). Le nombre \(0\) est une racine double.

\[ \boxed{ y(x)=A+Bx, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

4) Quatrième équation \[ (E_4):\quad y''-2my'+my=0. \]

Lire la correction +Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2-2mr+m=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \begin{aligned} \Delta &=(-2m)^2-4m\\ &=4m^2-4m\\ &=4m(m-1). \end{aligned} \]

Les valeurs critiques du paramètre sont donc \(m=0\) et \(m=1\).

Cas \(m<0\) ou \(m>1\)

On a \(\Delta>0\). Les deux racines réelles distinctes sont :

\[ r_1=m+\sqrt{m(m-1)}, \qquad r_2=m-\sqrt{m(m-1)}. \]

\[ \boxed{ y(x)= A e^{\left(m+\sqrt{m(m-1)}\right)x} + B e^{\left(m-\sqrt{m(m-1)}\right)x}, \quad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=0\)

L’équation devient :

\[ y''=0. \]

\[ \boxed{ y(x)=A+Bx, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=1\)

L’équation caractéristique devient :

\[ r^2-2r+1=(r-1)^2. \]

Le nombre \(1\) est une racine double.

\[ \boxed{ y(x)=(A+Bx)e^x, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(0<m<1\)

On a \(\Delta<0\). Les racines complexes conjuguées sont :

\[ r_1=m+i\sqrt{m(1-m)}, \qquad r_2=m-i\sqrt{m(1-m)}. \]

\[ \boxed{ y(x)=e^{mx} \left[ A\cos\!\left(\sqrt{m(1-m)}\,x\right) + B\sin\!\left(\sqrt{m(1-m)}\,x\right) \right], \quad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

5) Cinquième équation \[ (E_5):\quad y''-2y'+(1-m)y=0. \]

Lire la correction +Masquer la correction −

L’équation caractéristique est :

\[ r^2-2r+1-m=0, \]

soit :

\[ (r-1)^2-m=0. \]

On peut aussi calculer son discriminant :

\[ \Delta=(-2)^2-4(1-m)=4m. \]

Cas \(m>0\)

On a :

\[ (r-1)^2=m, \]

d’où les deux racines réelles distinctes :

\[ r_1=1+\sqrt m, \qquad r_2=1-\sqrt m. \]

\[ \boxed{ y(x)= A e^{(1+\sqrt m)x} + B e^{(1-\sqrt m)x}, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m=0\)

L’équation caractéristique est :

\[ (r-1)^2=0. \]

Le nombre \(1\) est une racine double.

\[ \boxed{ y(x)=(A+Bx)e^x, \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Cas \(m<0\)

Posons :

\[ \omega=\sqrt{-m}>0. \]

Les racines complexes conjuguées sont :

\[ r_1=1+i\omega, \qquad r_2=1-i\omega. \]

\[ \boxed{ y(x)=e^x \left[ A\cos(\sqrt{-m}\,x) + B\sin(\sqrt{-m}\,x) \right], \qquad (A,B)\in\mathbb R^2 }. \]

Tableau récapitulatif des valeurs critiques de \(m\)

Équation	Équation caractéristique	Valeurs critiques	Cas à distinguer
\((E_1)\)	\(r^2-m=0\), après recherche d’une solution particulière si \(m\neq0\)	\(m=0\)	\(m>0\), \(m=0\), \(m<0\)
\((E_2)\)	\(r^2+m=0\)	\(m=0\)	\(m>0\), \(m=0\), \(m<0\)
\((E_3)\)	\(r(r+m)=0\)	\(m=0\)	\(m\neq0\), \(m=0\)
\((E_4)\)	\(r^2-2mr+m=0\)	\(m=0\) et \(m=1\)	\(m<0\), \(m=0\), \(0<m<1\), \(m=1\), \(m>1\)
\((E_5)\)	\((r-1)^2-m=0\)	\(m=0\)	\(m>0\), \(m=0\), \(m<0\)

Méthode à retenir : écrire d’abord l’équation caractéristique, calculer son discriminant ou la factoriser, déterminer les valeurs du paramètre pour lesquelles la nature ou la multiplicité des racines change, puis appliquer la forme correspondante des solutions. Pour une équation non homogène, ajouter une solution particulière aux solutions de l’équation homogène associée.

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