Équations différentielles : température et vitesse — Exercices 23 et 24

Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Équations différentielles — Manuel Al Moufid

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23.1) Résolution 23.2) Température 23.3) Atteindre 80 °C 24.1) Résolution 24.2) Vitesse

Exercice 23

Situation étudiée

Une citerne calorifugée, chauffée par une résistance, a une température \(\theta(t)\), exprimée en degrés Celsius, qui vérifie à l’instant \(t\), exprimé en secondes, l’équation différentielle :

\[ (E): \qquad y'=a-by, \]

avec :

\[ a=2{,}088\times10^{-2} \qquad\text{et}\qquad b=2{,}32\times10^{-4}. \]

Question 1

Résoudre l’équation différentielle :

\[ (E): \qquad y'=a-by. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’équation s’écrit :

\[ y'+by=a. \]

1. Résolution de l’équation homogène associée.

L’équation homogène est :

\[ y'+by=0. \]

Ses solutions sont :

\[ y_h(t)=Ce^{-bt}, \qquad C\in\mathbb R. \]

2. Recherche d’une solution particulière constante.

On cherche une solution particulière constante \(y_p(t)=k\). Alors \(y_p'(t)=0\), d’où :

\[ bk=a. \]

Ainsi :

\[ k=\frac{a}{b}. \]

Calculons ce quotient :

\[ \frac{a}{b} = \frac{2{,}088\times10^{-2}}{2{,}32\times10^{-4}} =90. \]

\[ \boxed{ y(t)=90+Ce^{-2{,}32\times10^{-4}t}, \qquad C\in\mathbb R }. \]

Question 2

En déduire l’expression de \(\theta(t)\) en fonction de \(t\), sachant que :

\[ \theta(0)=20. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La température \(\theta\) est une solution de \((E)\). Il existe donc \(C\in\mathbb R\) tel que :

\[ \theta(t)=90+Ce^{-2{,}32\times10^{-4}t}. \]

Pour \(t=0\) :

\[ \theta(0)=90+C. \]

Comme \(\theta(0)=20\), on obtient :

\[ 90+C=20, \]

d’où :

\[ C=-70. \]

\[ \boxed{ \theta(t)=90-70e^{-2{,}32\times10^{-4}t} }, \qquad t\geq0. \]

Lorsque \(t\) devient grand, \(e^{-2{,}32\times10^{-4}t}\) tend vers \(0\). La température se rapproche donc de \(90^\circ\mathrm C\).

Question 3

Au bout de combien de temps la température atteint-elle \(80^\circ\mathrm C\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

On cherche \(t\geq0\) tel que :

\[ \theta(t)=80. \]

Or :

\[ \theta(t)=90-70e^{-2{,}32\times10^{-4}t}. \]

Ainsi :

\[ 90-70e^{-2{,}32\times10^{-4}t}=80. \]

Donc :

\[ 70e^{-2{,}32\times10^{-4}t}=10, \]

puis :

\[ e^{-2{,}32\times10^{-4}t}=\frac17. \]

En appliquant le logarithme népérien :

\[ -2{,}32\times10^{-4}t = \ln\left(\frac17\right) = -\ln7. \]

Par conséquent :

\[ t= \frac{\ln7}{2{,}32\times10^{-4}} = \frac{125000\ln7}{29}. \]

Numériquement :

\[ t\approx8387{,}5\ \text{s}. \]

Or \(8387{,}5\ \text{s}\) correspondent environ à \(2\ \text{h}\ 19\ \text{min}\ 48\ \text{s}\), soit près de \(2\ \text{h}\ 20\ \text{min}\).

\[ \boxed{ t= \frac{\ln7}{2{,}32\times10^{-4}} \approx8388\ \text{s} \approx2\ \text{h}\ 20\ \text{min} }. \]

Exercice 24

Situation étudiée

L’étude d’un mouvement a montré que la vitesse, exprimée en mètres par seconde, est une fonction dérivable \(y\) de la variable réelle positive \(t\) vérifiant l’équation différentielle :

\[ (E): \qquad y'+2y=50. \]

Question 1

Résoudre l’équation différentielle :

\[ (E): \qquad y'+2y=50. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

1. Résolution de l’équation homogène associée.

L’équation homogène est :

\[ y'+2y=0. \]

Ses solutions sont :

\[ y_h(t)=Ce^{-2t}, \qquad C\in\mathbb R. \]

2. Recherche d’une solution particulière constante.

On cherche une solution particulière constante \(y_p(t)=k\). Alors :

\[ 2k=50, \]

d’où :

\[ k=25. \]

\[ \boxed{ y(t)=25+Ce^{-2t}, \qquad C\in\mathbb R }. \]

Question 2

Sachant que \(y(0)=0\), déterminer la vitesse \(y\) en fonction de \(t\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Il existe \(C\in\mathbb R\) tel que :

\[ y(t)=25+Ce^{-2t}. \]

Pour \(t=0\) :

\[ y(0)=25+C. \]

Comme \(y(0)=0\), on obtient :

\[ C=-25. \]

Par conséquent :

\[ y(t)=25-25e^{-2t}. \]

\[ \boxed{ y(t)=25\bigl(1-e^{-2t}\bigr)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} }, \qquad t\geq0. \]

La vitesse est nulle à l’instant initial et se rapproche de \(25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) lorsque \(t\) devient grand.

Méthode à retenir : pour une équation \(y'+by=a\) avec \(b\neq0\), les solutions sont \[ y(t)=\frac ab+Ce^{-bt}. \] La constante \(C\) se détermine ensuite à l’aide de la condition initiale.

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