Nombres complexes : argument et forme trigonométrique — Exercices 35 à 37
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
La forme trigonométrique d'un nombre complexe permet de représenter ce nombre à partir de son module et d'un argument. Elle facilite notamment les calculs concernant les produits, les quotients et les puissances. Pour l'utiliser correctement, il faut reconnaître les angles usuels, tenir compte du quadrant et vérifier que le module choisi est positif.
Dans l'exercice 35, nous déterminerons des arguments de nombres complexes sous différentes formes. L'exercice 36 associera ces arguments au calcul des modules pour obtenir les formes trigonométriques complètes. Enfin, l'exercice 37 portera sur des expressions dépendant d'un paramètre réel. Les conditions imposées à ce paramètre joueront un rôle essentiel pour déterminer le signe des coefficients et choisir les bons arguments. Les méthodes utilisées reposent sur les propriétés du cours, la trigonométrie usuelle et des transformations algébriques justifiées.
Repères de cours — Argument et forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul \(z=x+iy\) possède un module strictement positif :
\[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}>0. \]Un argument de \(z\) est une mesure de l'angle orienté entre l'axe réel positif et le vecteur représentant \(z\). Si \(\theta\) est un argument de \(z\), alors les autres arguments sont les réels \(\theta+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\).
\[ \arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]. \]La forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul est :
\[ \boxed{ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) } \]où \(r=|z|>0\) et \(\theta\) est un argument de \(z\). On a alors :
\[ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta. \]Propriétés des arguments
Pour deux complexes non nuls \(u\) et \(v\), et pour tout entier naturel \(n\) :
\[ \arg(uv)\equiv \arg(u)+\arg(v)\ [2\pi], \] \[ \arg\left(\frac uv\right) \equiv\arg(u)-\arg(v)\ [2\pi], \] \[ \arg(u^n)\equiv n\arg(u)\ [2\pi]. \]Ces relations sont associées aux propriétés multiplicatives du module :
\[ |uv|=|u||v|, \qquad \left|\frac uv\right| =\frac{|u|}{|v|}, \qquad |u^n|=|u|^n. \]Un argument n'est pas défini pour le nombre complexe nul. De plus, une forme trigonométrique doit toujours présenter un coefficient strictement positif devant \(\cos\theta+i\sin\theta\). Lorsqu'un coefficient est négatif, il faut changer son signe et ajouter \(\pi\) à l'argument.
Exercice 35 — Déterminer un argument
Déterminer un argument du nombre complexe \(z\) dans chacun des dix cas suivants.
Lorsqu'un complexe est sous forme algébrique, nous déterminons son quadrant grâce aux signes de ses parties réelle et imaginaire, puis nous identifions un angle usuel. Pour un produit, un quotient ou une puissance, nous privilégions les règles sur les arguments.
Question 1 — Argument de \(-\sqrt{15}+i\sqrt5\)
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Pour déterminer un argument à partir de la forme algébrique, on peut calculer le module, puis comparer les parties réelle et imaginaire à \(r\cos\theta\) et \(r\sin\theta\).
La partie réelle est négative et la partie imaginaire positive. Le point représentant \(z\) appartient donc au deuxième quadrant.
Calculons le module :
\[ |z|=\sqrt{15+5}=2\sqrt5. \]Nous obtenons alors :
\[ \cos\theta =\frac{-\sqrt{15}}{2\sqrt5} =-\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \sin\theta =\frac{\sqrt5}{2\sqrt5} =\frac12. \]Les deux valeurs correspondent à l'angle \(\frac{5\pi}{6}\), situé dans le deuxième quadrant.
Les valeurs absolues du cosinus et du sinus ne suffisent pas : les signes des parties réelle et imaginaire permettent de choisir le bon quadrant.
Question 2 — Argument de \(-1-i\sqrt3\)
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Les deux composantes sont négatives. Nous cherchons donc un angle situé dans le troisième quadrant, ou sa mesure négative correspondante.
Nous calculons :
\[ |z|=\sqrt{1+3}=2. \]Par conséquent :
\[ \cos\theta=-\frac12, \qquad \sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}. \]L'angle \(-\frac{2\pi}{3}\) vérifie simultanément ces égalités. C'est donc un argument de \(z\).
On pouvait également choisir \(\frac{4\pi}{3}\), qui diffère de \(-\frac{2\pi}{3}\) d'un multiple de \(2\pi\).
Question 3 — Argument de \(-i\)
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Les nombres imaginaires purs non nuls se représentent sur l'axe imaginaire. Leur argument se lit directement à partir du signe de leur partie imaginaire.
Le nombre \(-i\) a pour partie réelle \(0\) et pour partie imaginaire \(-1\). Il est représenté sur la demi-droite imaginaire négative.
En partant de l'axe réel positif, un quart de tour dans le sens négatif conduit à cette demi-droite. L'angle correspondant est \(-\frac{\pi}{2}\).
Question 4 — Argument d'une puissance
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La base \(1-i\) est non nulle. Elle a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative. Son module vaut \(\sqrt2\), et un argument est \(-\frac{\pi}{4}\).
Nous appliquons la propriété de l'argument d'une puissance :
\[ \arg(z) \equiv2\left(-\frac{\pi}{4}\right) \equiv-\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]Cette méthode évite de développer le carré. Elle est cohérente avec \((1-i)^2=-2i\).
Question 5 — Argument d'un produit
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Les deux facteurs étant non nuls, un argument du produit s'obtient en additionnant leurs arguments.
\[ \arg(uv)\equiv\arg(u)+\arg(v)\ [2\pi]. \]Le premier facteur possède pour argument :
\[ \arg(1-i)\equiv-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \]Pour le second facteur, le module vaut \(2\), et :
\[ \frac{-\sqrt3}{2} =\cos\frac{5\pi}{6}, \qquad \frac12=\sin\frac{5\pi}{6}. \]Un argument de \(-\sqrt3+i\) est donc \(\frac{5\pi}{6}\). Additionnons les deux arguments :
\[ \begin{aligned} \arg(z) &\equiv-\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{6}\\ &\equiv\frac{-3\pi+10\pi}{12}\\ &\equiv\frac{7\pi}{12}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Nous avons travaillé sur les angles plutôt que de développer le produit initial.
Question 6 — Argument d'un quotient
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Cette propriété exige que le numérateur et le dénominateur soient non nuls.
Les deux nombres \(1+i\sqrt3\) et \(1+i\) sont non nuls. Leurs arguments usuels sont :
\[ \arg(1+i\sqrt3)\equiv\frac{\pi}{3}\ [2\pi], \] \[ \arg(1+i)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \]L'argument du quotient est donc leur différence :
\[ \arg(z) \equiv\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} \equiv\frac{\pi}{12}\ [2\pi]. \]Question 7 — Quotient avec un imaginaire pur
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Nous cherchons séparément les arguments du numérateur et du dénominateur. Le facteur réel \(2>0\) ne change pas l'argument de \(i\).
Le nombre \(\sqrt3-i\) a pour module \(2\) et pour argument \(-\frac{\pi}{6}\). Le dénominateur \(2i\) est non nul et possède l'argument \(\frac{\pi}{2}\).
La propriété du quotient donne :
\[ \begin{aligned} \arg(z) &\equiv-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\\ &\equiv-\frac{4\pi}{6}\\ &\equiv-\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Question 8 — Quotient avec un réel négatif
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Tout réel strictement négatif possède \(\pi\) comme argument. Il faut ensuite soustraire l'argument du dénominateur.
Pour le numérateur :
\[ \arg(-5)\equiv\pi\ [2\pi]. \]Pour le dénominateur, nous calculons d'abord :
\[ |\sqrt7-i\sqrt{21}| =\sqrt{7+21}=2\sqrt7. \]Ses composantes normalisées sont :
\[ \frac{\sqrt7}{2\sqrt7}=\frac12, \qquad \frac{-\sqrt{21}}{2\sqrt7} =-\frac{\sqrt3}{2}. \]Un argument du dénominateur est donc \(-\frac{\pi}{3}\). Puisqu'il est non nul, la propriété du quotient donne :
\[ \begin{aligned} \arg(z) &\equiv\pi-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\\ &\equiv\frac{4\pi}{3}\\ &\equiv-\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Question 9 — Quotient élevé à la puissance quatre
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Nous déterminerons d'abord un argument de la base, en utilisant la différence des arguments. Nous multiplierons ensuite cet argument par \(4\), puis nous le réduirons modulo \(2\pi\).
Le numérateur et le dénominateur sont non nuls. Nous avons :
\[ \arg(i)\equiv\frac{\pi}{2}\ [2\pi], \] \[ \arg(\sqrt3-i)\equiv-\frac{\pi}{6}\ [2\pi]. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \arg\left(\frac{i}{\sqrt3-i}\right) &\equiv\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\\ &\equiv\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Nous appliquons maintenant la propriété de l'argument d'une puissance :
\[ \arg(z) \equiv4\times\frac{2\pi}{3} \equiv\frac{8\pi}{3}\ [2\pi]. \]Comme \(\frac{8\pi}{3}=2\pi+\frac{2\pi}{3}\), nous obtenons :
Question 10 — Puissance d'exposant 2018
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Deux angles qui diffèrent d'un multiple entier de \(2\pi\) représentent le même argument. Pour une puissance élevée, il est donc inutile de conserver un angle de très grande valeur.
Nous calculons l'argument du quotient, puis nous multiplions par \(2018\). La réduction modulo \(2\pi\) permettra de simplifier le résultat sans calculer la puissance sous forme algébrique.
Le numérateur \(-1-i\sqrt3\) est dans le troisième quadrant. Un argument est \(\frac{4\pi}{3}\).
Le dénominateur \(-1+i\) est dans le deuxième quadrant. Un argument est \(\frac{3\pi}{4}\).
Nous utilisons alors :
\[ \begin{aligned} \arg\left( \frac{-1-i\sqrt3}{-1+i} \right) &\equiv\frac{4\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}\\ &\equiv\frac{16\pi-9\pi}{12}\\ &\equiv\frac{7\pi}{12}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \arg(z) \equiv2018\times\frac{7\pi}{12}\ [2\pi]. \]Pour simplifier, remarquons que :
\[ 2018=24\times84+2. \]Puisque \(24\times\frac{7\pi}{12}=14\pi\) est un multiple de \(2\pi\), seule la partie correspondant au reste \(2\) intervient.
\[ \begin{aligned} \arg(z) &\equiv2\times\frac{7\pi}{12}\\ &\equiv\frac{7\pi}{6}\\ &\equiv-\frac{5\pi}{6}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Dans le calcul de l'argument d'une grande puissance, la périodicité de \(2\pi\) évite des calculs inutiles. Il faut toutefois identifier correctement l'argument de la base avant de le multiplier par l'exposant.
Les valeurs ci-dessus sont des arguments, définis modulo \(2\pi\).
Exercice 36 — Écriture sous forme trigonométrique
Écrire sous forme trigonométrique chacun des dix nombres complexes proposés.
Pour obtenir une forme trigonométrique, nous devons déterminer deux informations : le module \(r>0\) et un argument \(\theta\). Nous écrivons ensuite \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Lorsque le nombre complexe est un produit, un quotient ou une puissance, les propriétés du cours permettent de calculer séparément le module et l'argument.
Question 1 — Forme trigonométrique de \(z_1\)
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Pour écrire \(z=x+iy\) sous forme trigonométrique, nous déterminons \(r=|z|\), puis un angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta=x/r\) et \(\sin\theta=y/r\).
Commençons par le module :
\[ |z_1|=\sqrt{2+2}=2. \]Les parties réelle et imaginaire sont toutes deux négatives. Les valeurs trigonométriques correspondantes sont :
\[ \cos\theta=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\theta=-\frac{\sqrt2}{2}. \]Nous pouvons choisir \(\theta=\frac{5\pi}{4}\). Le module étant positif, la forme trigonométrique est :
Question 2 — Forme trigonométrique de \(z_2\)
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Nous calculons le module, puis nous identifions un angle du deuxième quadrant, puisque la partie réelle est négative et la partie imaginaire est positive.
Nous obtenons :
\[ \cos\theta =\frac{-\sqrt6}{2\sqrt2} =-\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \sin\theta =\frac{\sqrt2}{2\sqrt2} =\frac12. \]Un argument est donc \(\frac{5\pi}{6}\). Le coefficient \(2\sqrt2\) est bien strictement positif.
Question 3 — Forme trigonométrique de \(z_3\)
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Un imaginaire pur négatif appartient à la demi-droite imaginaire négative. Son argument peut être choisi égal à \(-\frac{\pi}{2}\).
Le module de \(-2i\) vaut \(2\). Nous vérifions également :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0, \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1. \]Nous obtenons donc :
Question 4 — Forme trigonométrique de \(z_4\)
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Pour un quotient de complexes non nuls, le module est le quotient des modules, tandis qu'un argument est la différence des arguments.
Le numérateur a pour module \(2\) et pour argument \(\frac{\pi}{2}\).
Le dénominateur est non nul :
\[ |\sqrt2+i\sqrt2|=2. \]Sa partie réelle et sa partie imaginaire sont positives et égales. Un argument est donc \(\frac{\pi}{4}\).
Le module du quotient vaut :
\[ |z_4|=\frac22=1. \]Un argument est :
\[ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}. \]Question 5 — Forme trigonométrique de \(z_5\)
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Nous déterminons le module et l'argument de chacun des deux termes du quotient. Le passage à la forme trigonométrique évite une multiplication inutile par le conjugué du dénominateur.
Le numérateur \(\sqrt3+i\) a pour module \(2\) et pour argument \(\frac{\pi}{6}\).
Le dénominateur \(\sqrt2-i\sqrt2\) a pour module \(2\) et pour argument \(-\frac{\pi}{4}\). Il est donc non nul.
Le module du quotient est :
\[ |z_5|=\frac22=1. \]Un argument vaut :
\[ \frac{\pi}{6} -\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{5\pi}{12}. \]Question 6 — Puissance septième
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Si \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\), alors :
\[ w^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)). \]Commençons par écrire la base sous forme trigonométrique. Son module est \(2\) et un argument est \(-\frac{\pi}{6}\).
\[ \sqrt3-i =2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right). \]En élevant à la puissance \(7\), le module est élevé à la même puissance et l'argument est multiplié par \(7\) :
\[ z_6=2^7\left( \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) +i\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) \right). \]Comme \(2^7=128\) et :
\[ -\frac{7\pi}{6} \equiv\frac{5\pi}{6}\ [2\pi], \]nous obtenons :
Question 7 — Puissance d'un complexe de module 1
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La base est déjà sous forme trigonométrique, avec un module égal à \(1\). Nous appliquons directement la formule de puissance.
Le module de la puissance reste égal à :
\[ 1^8=1. \]Son argument est obtenu en multipliant l'angle initial par \(8\) :
\[ 8\times\frac{\pi}{12} =\frac{2\pi}{3}. \]Ce résultat illustre la simplicité des puissances lorsque le nombre complexe est déjà écrit sous forme trigonométrique.
Question 8 — Produit de deux complexes
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Le module d'un produit est le produit des modules. Un argument du produit est la somme des arguments.
Le premier facteur \(1-i\) possède un module \(\sqrt2\) et un argument \(-\frac{\pi}{4}\).
Le second facteur \(1-i\sqrt3\) possède un module \(2\) et un argument \(-\frac{\pi}{3}\).
Le module du produit vaut :
\[ |z_8|=\sqrt2\times2=2\sqrt2. \]Un argument est :
\[ -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =-\frac{7\pi}{12}. \]Question 9 — Puissance d'un quotient
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Nous allons d'abord calculer le module et un argument du quotient placé entre parenthèses. Nous appliquerons ensuite les propriétés de la puissance.
Les modules du numérateur et du dénominateur sont respectivement \(2\) et \(\sqrt2\). Le dénominateur est donc non nul.
Le module de la base vaut :
\[ \left|\frac{1+i\sqrt3}{1+i}\right| =\frac2{\sqrt2}=\sqrt2. \]Les arguments usuels du numérateur et du dénominateur sont \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{4}\). Un argument de la base est donc :
\[ \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{12}. \]Nous élevons maintenant le module à la puissance \(10\) et multiplions l'argument par \(10\).
\[ (\sqrt2)^{10}=32, \] \[ 10\times\frac{\pi}{12} =\frac{5\pi}{6}. \]Question 10 — Quotient de deux puissances
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Dans un quotient de puissances, nous calculons séparément le module et l'argument de chaque puissance. Le module final est le quotient des modules, et son argument est la différence des arguments.
Les deux nombres de base sont non nuls. Nous les écrivons sous forme trigonométrique :
\[ 1-i\sqrt3 =2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right), \] \[ 1+i\sqrt3 =2\left( \cos\frac{\pi}{3} +i\sin\frac{\pi}{3} \right). \]Les propriétés du module donnent alors :
\[ |z_{10}| =\frac{2^{12}}{2^7} =2^5=32. \]Pour l'argument, nous multiplions les angles par les exposants correspondants, puis nous effectuons la différence :
\[ \begin{aligned} \arg(z_{10}) &\equiv12\left(-\frac{\pi}{3}\right) -7\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &\equiv-\frac{19\pi}{3}\\ &\equiv-\frac{\pi}{3}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Dans la dernière étape, nous avons ajouté \(6\pi\), qui est un multiple de \(2\pi\).
Lorsque les bases ont le même module, les calculs de puissances se simplifient souvent fortement. Pour les arguments, il est utile de conserver la différence exacte des angles avant la réduction modulo \(2\pi\).
Les modules et un argument de chaque nombre sont :
\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Nombre}&\text{Module}&\text{Argument}\\ \hline z_1&2&\frac{5\pi}{4}\\ z_2&2\sqrt2&\frac{5\pi}{6}\\ z_3&2&-\frac{\pi}{2}\\ z_4&1&\frac{\pi}{4}\\ z_5&1&\frac{5\pi}{12}\\ z_6&128&\frac{5\pi}{6}\\ z_7&1&\frac{2\pi}{3}\\ z_8&2\sqrt2&-\frac{7\pi}{12}\\ z_9&32&\frac{5\pi}{6}\\ z_{10}&32&-\frac{\pi}{3} \end{array} \]Chaque forme trigonométrique s'obtient en remplaçant \(r\) et \(\theta\) dans l'expression \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\).
Exercice 37 — Formes trigonométriques avec paramètre
Écrire sous forme trigonométrique les quatre nombres complexes proposés, en tenant compte des conditions imposées au paramètre réel \(\alpha\).
Les expressions contenant \(\sin\alpha\) et \(\cos\alpha\) peuvent souvent être factorisées grâce aux formules de l'angle moitié. Il faut ensuite examiner le signe du facteur obtenu. Cette vérification est indispensable : le module d'un nombre complexe ne peut jamais être négatif.
Question 1 — Expression \(1+\cos\alpha+i\sin\alpha\)
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Ces formules permettent de faire apparaître une même factorisation dans les parties réelle et imaginaire.
Nous factorisons l'expression à l'aide des formules de l'angle moitié, puis nous déterminons le signe du coefficient réel grâce à l'intervalle imposé à \(\alpha\).
En remplaçant les termes par leurs expressions trigonométriques, nous obtenons :
\[ \begin{aligned} z_1 &=2\cos^2\frac{\alpha}{2} +2i\sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}\\ &=2\cos\frac{\alpha}{2} \left( \cos\frac{\alpha}{2} +i\sin\frac{\alpha}{2} \right). \end{aligned} \]La parenthèse \(\cos\frac{\alpha}{2} +i\sin\frac{\alpha}{2}\) possède un module égal à \(1\).
Cependant, le coefficient \(2\cos\frac{\alpha}{2}\) n'est pas positif. En effet, l'hypothèse donne :
\[ \pi<\alpha<2\pi \Longrightarrow \frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\pi. \]Sur cet intervalle, le cosinus est strictement négatif :
\[ \cos\frac{\alpha}{2}<0. \]Le module recherché est donc :
\[ |z_1|=-2\cos\frac{\alpha}{2}>0. \]Pour transformer le coefficient négatif en module positif, nous utilisons :
\[ -(\cos\theta+i\sin\theta) =\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi). \]Nous ajoutons ainsi \(\pi\) à l'argument initial. La forme trigonométrique correcte est :
L'intervalle imposé à \(\alpha\) garantit que le module \(-2\cos\frac{\alpha}{2}\) est strictement positif. Il justifie également le changement d'argument effectué après la factorisation.
L'expression \(2\cos\frac{\alpha}{2} (\cos\frac{\alpha}{2} +i\sin\frac{\alpha}{2})\) est une factorisation algébrique correcte, mais elle ne constitue pas ici une forme trigonométrique, car son coefficient est négatif.
Question 2 — Expression \(\cos\alpha+i(1+\sin\alpha)\)
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Posons :
\[ c=\cos\frac{\alpha}{2}, \qquad s=\sin\frac{\alpha}{2}. \]On a alors :
\[ \cos\alpha=c^2-s^2, \qquad \sin\alpha=2sc. \]Comme \(c^2+s^2=1\), ces relations permettront de factoriser simultanément les parties réelle et imaginaire.
Nous allons réécrire les deux composantes de \(z_2\) à l'aide de \(c\) et \(s\), puis rechercher une expression de la forme \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\). L'hypothèse sur \(\alpha\) permettra de montrer que \(r>0\).
En utilisant les formules précédentes :
\[ \cos\alpha =c^2-s^2=(c-s)(c+s). \]De plus :
\[ 1+\sin\alpha =1+2sc =c^2+s^2+2sc =(c+s)^2. \]Nous pouvons donc factoriser \(z_2\) :
\[ \begin{aligned} z_2 &=(c-s)(c+s)+i(c+s)^2\\ &=(c+s)\big((c-s)+i(c+s)\big). \end{aligned} \]Les formules d'addition des angles donnent :
\[ c-s =\sqrt2\cos\left( \frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4} \right), \] \[ c+s =\sqrt2\sin\left( \frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4} \right). \]Il en résulte :
\[ \begin{aligned} &(c-s)+i(c+s)\\ &\quad=\sqrt2\left( \cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \right). \end{aligned} \]D'autre part :
\[ c+s =\sqrt2\cos\left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} \right). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} z_2={}& 2\cos\left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} \right)\\ &\times\left( \cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \right). \end{aligned} \]Il reste à vérifier le signe du coefficient. L'hypothèse sur \(\alpha\) donne :
\[ -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]En divisant par \(2\), puis en retranchant \(\frac{\pi}{4}\), nous obtenons :
\[ -\frac{\pi}{2} <\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} <\frac{\pi}{2}. \]Sur cet intervalle, le cosinus est strictement positif. Nous avons donc :
\[ 2\cos\left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} \right)>0. \]Le coefficient trouvé représente bien le module du nombre complexe. Nous pouvons conclure :
Le résultat combine deux techniques : la factorisation des expressions trigonométriques et la vérification du signe du facteur réel. Contrairement à la première question, aucun changement d'argument n'est nécessaire ici, puisque le coefficient obtenu est strictement positif.
Question 3 — Forme trigonométrique d'un quotient
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Pour obtenir la forme trigonométrique d'un quotient, il est utile d'écrire d'abord son numérateur et son dénominateur sous forme trigonométrique. Le module du quotient est alors le quotient des modules et son argument est la différence des arguments.
Nous traiterons séparément les trois facteurs visibles : \(1-i\sqrt3\), \(\cos\alpha+i\sin\alpha\) et le dénominateur. Les formules trigonométriques permettront d'identifier directement un module positif et un argument pour chacun.
Première étape — Le facteur \(1-i\sqrt3\).
Son module vaut :
\[ |1-i\sqrt3|=\sqrt{1+3}=2. \]Sa partie réelle est positive et sa partie imaginaire négative. Un argument est donc \(-\frac{\pi}{3}\). Il vient :
\[ 1-i\sqrt3 =2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right). \]Deuxième étape — Le facteur trigonométrique.
Pour tout réel \(\alpha\), le complexe \(\cos\alpha+i\sin\alpha\) possède un module égal à \(1\) et admet \(\alpha\) comme argument.
Troisième étape — Le dénominateur.
Nous utilisons les identités :
\[ \cos\alpha+\sin\alpha =\sqrt2\cos\left( \frac{\pi}{4}-\alpha \right), \] \[ \cos\alpha-\sin\alpha =\sqrt2\sin\left( \frac{\pi}{4}-\alpha \right). \]Le dénominateur devient donc :
\[ \begin{aligned} &(\cos\alpha+\sin\alpha) +i(\cos\alpha-\sin\alpha)\\ &\quad=\sqrt2\left( \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \right). \end{aligned} \]Son module est \(\sqrt2>0\). Il ne s'annule donc jamais, ce qui garantit que \(z_3\) est défini pour tout réel \(\alpha\).
Un argument du dénominateur est \(\frac{\pi}{4}-\alpha\).
Quatrième étape — Module et argument du quotient.
Le module du numérateur est \(2\times1=2\). Par conséquent :
\[ |z_3|=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2. \]Pour l'argument, nous additionnons les arguments des facteurs du numérateur, puis retranchons celui du dénominateur :
\[ \begin{aligned} \arg(z_3) &\equiv \left(-\frac{\pi}{3}+\alpha\right) -\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\\ &\equiv2\alpha-\frac{7\pi}{12}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Le module étant strictement positif, nous obtenons la forme trigonométrique :
Le module de \(z_3\) ne dépend pas de \(\alpha\) : il est constamment égal à \(\sqrt2\). En revanche, l'argument varie avec le paramètre. Les points représentant \(z_3\) appartiennent donc au cercle de centre l'origine et de rayon \(\sqrt2\).
Question 4 — Quotient avec tangente
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Lorsque \(\cos\alpha\neq0\), on a :
\[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]Pour deux complexes non nuls, l'argument du quotient s'obtient en soustrayant les arguments.
Nous allons remplacer \(\tan\alpha\) par \(\sin\alpha/\cos\alpha\). Cela fera apparaître deux nombres complexes de module \(1\), dont les arguments se lisent immédiatement.
L'hypothèse \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) garantit :
\[ \cos\alpha\neq0. \]La tangente est donc définie. Nous pouvons écrire :
\[ 1+i\tan\alpha =\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha}, \] \[ 1-i\tan\alpha =\frac{\cos\alpha-i\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]Le dénominateur initial \(1-i\tan\alpha\) possède une partie réelle égale à \(1\), donc il est non nul. Le quotient est bien défini.
En simplifiant les facteurs \(\cos\alpha\), nous obtenons :
\[ z_4= \frac{\cos\alpha+i\sin\alpha} {\cos\alpha-i\sin\alpha}. \]Le numérateur a pour module \(1\) et pour argument \(\alpha\).
Le dénominateur, qui est son conjugué, a également pour module \(1\) et possède \(-\alpha\) comme argument.
Par la propriété du module d'un quotient :
\[ |z_4|=\frac11=1. \]Pour l'argument :
\[ \begin{aligned} \arg(z_4) &\equiv\alpha-(-\alpha)\\ &\equiv2\alpha\ [2\pi]. \end{aligned} \]Nous obtenons donc la forme trigonométrique :
Le quotient possède toujours un module égal à \(1\). Le passage de l'angle \(\alpha\) à l'angle \(2\alpha\) résulte de la soustraction des arguments de deux complexes conjugués.
Lorsqu'un quotient contient \(1+i\tan\alpha\) et \(1-i\tan\alpha\), le remplacement de la tangente par le quotient sinus/cosinus fait souvent apparaître deux complexes conjugués. Il faut toutefois commencer par vérifier que \(\cos\alpha\neq0\).
Les modules et les arguments trouvés sont :
\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Nombre}&\text{Module}&\text{Argument}\\ \hline z_1& -2\cos\frac{\alpha}{2}& \frac{\alpha}{2}+\pi\\[4pt] z_2& 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)& \frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\\[4pt] z_3& \sqrt2& 2\alpha-\frac{7\pi}{12}\\[4pt] z_4& 1& 2\alpha \end{array} \]Les modules indiqués sont strictement positifs grâce aux conditions imposées à \(\alpha\).
À retenir — Arguments et formes trigonométriques
Pour déterminer un argument, il faut d'abord identifier la structure du nombre complexe. Lorsqu'il est écrit sous forme algébrique, le module et les signes des parties réelle et imaginaire permettent de reconnaître un angle. Lorsqu'il s'agit d'un produit ou d'un quotient, les propriétés des arguments simplifient les calculs.
Pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique, nous devons toujours déterminer un module strictement positif et un argument. Les puissances deviennent ensuite faciles à traiter : le module est élevé à la puissance considérée et l'argument est multiplié par l'exposant.
Les expressions contenant un paramètre réel demandent une attention particulière. Une factorisation trigonométrique ne suffit pas toujours à obtenir une forme trigonométrique correcte : il faut vérifier le signe du coefficient qui précède le terme \(\cos\theta+i\sin\theta\). Lorsque ce coefficient est négatif, le changement de signe doit être accompagné d'un changement d'argument de \(\pi\).
La démarche réutilisable consiste donc à reconnaître la forme de l'expression, rappeler la propriété adaptée, vérifier ses conditions, effectuer les calculs du module et de l'argument, puis contrôler le caractère positif du module avant de conclure.
Parcours Maths Maroc — PMM
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