Nombres complexes : arguments et applications trigonométriques — Exercices 38 à 42
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
La forme trigonométrique d'un nombre complexe est particulièrement utile lorsqu'on effectue des produits, des quotients ou des puissances. Elle permet également de déterminer des valeurs trigonométriques exactes, de simplifier certaines expressions et de résoudre des problèmes faisant intervenir les arguments. Pour chaque calcul, il est essentiel de distinguer le module, qui est strictement positif pour un complexe non nul, et l'argument, défini modulo \(2\pi\).
Les exercices 38 à 42 proposent plusieurs applications de ces propriétés. Nous commencerons par déterminer un complexe inconnu et des valeurs exactes de sinus et de cosinus. Nous étudierons ensuite des puissances de complexes conjugués, puis des écritures trigonométriques plus élaborées. Enfin, nous établirons une formule utilisant l'arctangente et transformerons des conditions sur des sommes d'arguments en conditions algébriques sur un produit.
Repères de cours — Arguments et formes trigonométriques
D'après les propriétés de la forme trigonométrique, tout complexe non nul \(z\) peut s'écrire :
\[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta), \qquad r=|z|>0. \]Le réel \(\theta\) est un argument de \(z\). Deux arguments d'un même complexe diffèrent d'un multiple entier de \(2\pi\).
Pour des complexes non nuls \(z\) et \(z'\), on utilise :
\[ \arg(zz')\equiv \arg(z)+\arg(z')\ [2\pi], \] \[ \arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi], \] \[ \arg(z^n)\equiv n\arg(z)\ [2\pi], \qquad n\in\mathbb N. \]Les propriétés correspondantes du module sont :
\[ |zz'|=|z||z'|, \qquad \left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}, \qquad |z^n|=|z|^n. \]On utilisera également les propriétés du conjugué :
\[ \overline{z^n}=(\overline z)^n, \qquad z+\overline z=2\operatorname{Re}(z). \]Enfin, pour reconnaître un nombre imaginaire pur situé sur le demi-axe imaginaire positif, il faut vérifier simultanément :
\[ \operatorname{Re}(z)=0 \quad\text{et}\quad \operatorname{Im}(z)>0. \]Une égalité sur les arguments est toujours interprétée modulo \(2\pi\). Lorsqu'un quotient intervient, on vérifie d'abord que son dénominateur est non nul. Pour une condition portant sur l'argument d'un produit, il est souvent plus efficace de calculer ce produit que de déterminer séparément les arguments.
Exercice 38 — Arguments et valeurs trigonométriques exactes
On pose :
\[ a=-1+i\sqrt3. \]Question 1 — Déterminer une forme trigonométrique de \(a\)
Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe \(a=-1+i\sqrt3\).
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Pour écrire un complexe \(x+iy\) sous forme trigonométrique, nous déterminons son module \(r\), puis un angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta=x/r\) et \(\sin\theta=y/r\).
Les signes des parties réelle et imaginaire permettront de choisir le bon quadrant. Nous calculerons ensuite le module pour identifier un angle usuel.
Calculons d'abord le module :
\[ |a|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2. \]Les coordonnées du point d'affixe \(a\) sont \((-1;\sqrt3)\). Il est situé dans le deuxième quadrant.
En divisant les parties réelle et imaginaire par le module, nous trouvons :
\[ \cos\theta=-\frac12, \qquad \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}. \]Les deux valeurs correspondent à l'angle \(\frac{2\pi}{3}\). Puisque le module vaut \(2>0\), la forme trigonométrique de \(a\) est :
Nous connaissons maintenant le module et un argument de \(a\). Ces deux informations permettront de déterminer le nombre \(b\) sans développer directement un quotient complexe.
Question 2 — Déterminer le nombre complexe \(b\)
Déterminer \(b\in\mathbb C\) tel que :
\[ ab=2\sqrt2\left( \cos\frac{17\pi}{12} +i\sin\frac{17\pi}{12} \right). \]Afficher la correction Masquer la correction
Dans un produit de complexes non nuls, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. Pour retrouver un facteur inconnu, nous divisons les modules et soustrayons les arguments.
Puisque \(a\neq0\), l'égalité imposée détermine un unique complexe \(b\). Nous utiliserons directement la forme trigonométrique du produit et le résultat de la question précédente.
D'après la question 1 :
\[ |a|=2, \qquad \arg(a)\equiv\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \]Le produit \(ab\) possède un module égal à \(2\sqrt2\). Nous en déduisons :
\[ |b|=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2. \]Pour l'argument de \(b\), nous utilisons la propriété sur les quotients :
\[ \begin{aligned} \arg(b) &\equiv\frac{17\pi}{12}-\frac{2\pi}{3}\\ &\equiv\frac{17\pi}{12}-\frac{8\pi}{12}\\ &\equiv\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Le complexe \(b\) possède donc le module \(\sqrt2\) et l'argument \(\frac{3\pi}{4}\). Ainsi :
\[ b=\sqrt2\left( \cos\frac{3\pi}{4} +i\sin\frac{3\pi}{4} \right). \]En utilisant les valeurs usuelles du sinus et du cosinus, nous obtenons :
\[ b=\sqrt2\left( -\frac{\sqrt2}{2} +i\frac{\sqrt2}{2} \right)=-1+i. \]Lorsqu'un produit est connu sous forme trigonométrique, retrouver un facteur revient à diviser les modules et à soustraire les arguments. Cette méthode peut éviter des développements algébriques plus longs.
Question 3 — Calculer des valeurs trigonométriques exactes
En déduire les valeurs de :
\[ \cos\frac{17\pi}{12} \qquad\text{et}\qquad \sin\frac{17\pi}{12}. \]Afficher la correction Masquer la correction
Si un nombre complexe possède simultanément une forme algébrique et une forme trigonométrique, nous pouvons identifier ses parties réelle et imaginaire.
Nous allons calculer \(ab\) sous forme algébrique à l'aide de \(b=-1+i\), puis comparer le résultat à la forme trigonométrique donnée dans l'énoncé.
Calculons le produit :
\[ \begin{aligned} ab &=(-1+i\sqrt3)(-1+i)\\ &=1-i-i\sqrt3-\sqrt3\\ &=1-\sqrt3-i(1+\sqrt3). \end{aligned} \]Mais l'énoncé donne également :
\[ ab=2\sqrt2\left( \cos\frac{17\pi}{12} +i\sin\frac{17\pi}{12} \right). \]Ces deux écritures représentent le même complexe. L'unicité de la forme algébrique permet donc d'identifier les parties réelles :
\[ 2\sqrt2\cos\frac{17\pi}{12} =1-\sqrt3. \]Nous en déduisons :
\[ \begin{aligned} \cos\frac{17\pi}{12} &=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}\\ &=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}. \end{aligned} \]De même, l'identification des parties imaginaires donne :
\[ 2\sqrt2\sin\frac{17\pi}{12} =-(1+\sqrt3). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \sin\frac{17\pi}{12} &=-\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}\\ &=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]L'angle \(\frac{17\pi}{12}\) appartient au troisième quadrant. Son sinus et son cosinus sont donc tous deux négatifs, conformément aux résultats obtenus.
Une identité entre formes algébrique et trigonométrique peut servir à déterminer des valeurs exactes de sinus et de cosinus. Dans cet exercice, le calcul d'un produit complexe permet d'atteindre cet objectif.
Exercice 39 — Puissances de nombres complexes conjugués
Montrer une identité faisant intervenir le cosinus
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ z_n=\frac12\left[(1+i)^n+(1-i)^n\right]. \]Montrer que :
\[ z_n=2^{\frac n2}\cos\frac{n\pi}{4}. \]Afficher la correction Masquer la correction
Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\), alors, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)). \]De plus, la somme d'un nombre complexe et de son conjugué vaut deux fois sa partie réelle.
Les nombres \(1+i\) et \(1-i\) sont conjugués. Nous allons d'abord écrire chacun sous forme trigonométrique, appliquer la formule des puissances, puis additionner les résultats. Les termes contenant le sinus devraient se compenser.
Le nombre \(1+i\) possède pour module \(\sqrt2\) et pour argument \(\frac{\pi}{4}\). Ainsi :
\[ 1+i=\sqrt2\left( \cos\frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]Son conjugué \(1-i\) possède le même module et l'argument opposé :
\[ 1-i=\sqrt2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right). \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), la propriété de la puissance trigonométrique donne :
\[ (1+i)^n=2^{\frac n2}\left( \cos\frac{n\pi}{4} +i\sin\frac{n\pi}{4} \right), \] \[ (1-i)^n=2^{\frac n2}\left( \cos\frac{n\pi}{4} -i\sin\frac{n\pi}{4} \right). \]En additionnant ces deux expressions, les termes imaginaires sont opposés et disparaissent. Il reste :
\[ (1+i)^n+(1-i)^n =2^{\frac n2}\left( 2\cos\frac{n\pi}{4} \right). \]Nous revenons à la définition de \(z_n\) :
\[ \begin{aligned} z_n &=\frac12\left[(1+i)^n+(1-i)^n\right]\\ &=\frac12\times2^{\frac n2} \left(2\cos\frac{n\pi}{4}\right)\\ &=2^{\frac n2}\cos\frac{n\pi}{4}. \end{aligned} \]Le nombre \(z_n\) est réel pour tout entier naturel \(n\), puisque l'expression finale est réelle. Cette propriété est également visible dès la définition : les deux puissances sont conjuguées, et leur somme est donc réelle.
La somme de deux complexes conjugués est réelle. Leur différence est imaginaire pure. Cette méthode permet souvent de transformer des puissances complexes en expressions trigonométriques réelles.
Exercice 40 — Formes trigonométriques de produits, quotients et puissances
Écrire sous forme trigonométrique les trois nombres complexes suivants.
Question 1 — Forme trigonométrique de \(Z_1\)
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Le module d'un produit est le produit des modules. Un argument du produit s'obtient en additionnant les arguments des facteurs non nuls.
Nous allons factoriser les deux termes du produit pour faire apparaître des nombres complexes d'arguments usuels. Nous vérifierons aussi que les facteurs réels extraits sont positifs.
Pour le premier facteur, nous avons :
\[ i-\sqrt3=-\sqrt3+i. \]Son module vaut \(2\), et un argument est \(\frac{5\pi}{6}\). Ainsi :
\[ i-\sqrt3 =2\left( \cos\frac{5\pi}{6} +i\sin\frac{5\pi}{6} \right). \]Pour le second facteur, remarquons que :
\[ (1-\sqrt3)+(\sqrt3-1)i =(\sqrt3-1)(-1+i). \]Le réel \(\sqrt3-1\) est strictement positif. Le nombre \(-1+i\) possède un module \(\sqrt2\) et un argument \(\frac{3\pi}{4}\). Donc :
\[ \begin{aligned} &(1-\sqrt3)+(\sqrt3-1)i\\ &\quad=\sqrt2(\sqrt3-1)\left( \cos\frac{3\pi}{4} +i\sin\frac{3\pi}{4} \right). \end{aligned} \]La propriété multiplicative du module donne :
\[ |Z_1|=2\sqrt2(\sqrt3-1). \]Pour l'argument, nous additionnons :
\[ \begin{aligned} \arg(Z_1) &\equiv\frac{5\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}\\ &\equiv\frac{19\pi}{12}\\ &\equiv-\frac{5\pi}{12}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Le module obtenu est positif, donc la forme trigonométrique demandée est :
Une factorisation judicieuse peut transformer un nombre complexe apparemment compliqué en produit de facteurs dont les arguments sont immédiatement connus.
Question 2 — Forme trigonométrique de \(Z_2\)
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Pour un quotient de complexes non nuls, nous divisons les modules et soustrayons les arguments.
Si un complexe est multiplié par un réel strictement négatif, son module est multiplié par la valeur absolue de ce réel, tandis que son argument augmente de \(\pi\).
Nous factoriserons le numérateur et le dénominateur, puis nous étudierons le signe des facteurs réels. L'attention doit surtout porter sur le dénominateur, car \(\sqrt2-2<0\).
Commençons par le numérateur :
\[ 2+\sqrt3+(2\sqrt3+3)i =(2+\sqrt3)(1+i\sqrt3). \]Le facteur \(2+\sqrt3\) est positif. Le nombre \(1+i\sqrt3\) a pour module \(2\) et pour argument \(\frac{\pi}{3}\).
Le numérateur possède donc pour module \(2(2+\sqrt3)\) et pour argument \(\frac{\pi}{3}\).
Pour le dénominateur, nous avons :
\[ \sqrt2-2+(\sqrt2-2)i =(\sqrt2-2)(1+i). \]Or \(\sqrt2-2<0\). Le nombre \(1+i\) a pour argument \(\frac{\pi}{4}\), mais la multiplication par un réel négatif impose d'ajouter \(\pi\).
\[ \arg(\text{dénominateur}) \equiv\pi+\frac{\pi}{4} \equiv\frac{5\pi}{4}\ [2\pi]. \]Calculons maintenant son module :
\[ \begin{aligned} |\text{dénominateur}| &=|\sqrt2-2|\,|1+i|\\ &=(2-\sqrt2)\sqrt2\\ &=2(\sqrt2-1). \end{aligned} \]Ce module est strictement positif : le quotient \(Z_2\) est donc défini.
Le module de \(Z_2\) vaut :
\[ \begin{aligned} |Z_2| &=\frac{2(2+\sqrt3)}{2(\sqrt2-1)}\\ &=\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2-1}\\ &=(2+\sqrt3)(\sqrt2+1). \end{aligned} \]Pour son argument, nous effectuons la différence :
\[ \begin{aligned} \arg(Z_2) &\equiv\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{4}\\ &\equiv-\frac{11\pi}{12}\ [2\pi]. \end{aligned} \]Le facteur \(\sqrt2-2\) est négatif. Si l'on attribue au dénominateur l'argument \(\frac{\pi}{4}\) sans tenir compte de ce signe, l'argument final du quotient sera faux.
Question 3 — Puissance d'exposant 2018
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Si \(w=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), avec \(r>0\), alors :
\[ w^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)). \]L'argument peut ensuite être réduit modulo \(2\pi\).
Avant d'élever le complexe à la puissance 2018, nous simplifierons sa base pour faire apparaître un facteur réel positif et le nombre usuel \(-1+i\).
Commençons par transformer la base :
\[ \begin{aligned} &\frac12-\sqrt3-\frac{1-2\sqrt3}{2}i\\ &\quad=-\frac{2\sqrt3-1}{2} +i\frac{2\sqrt3-1}{2}\\ &\quad=\frac{2\sqrt3-1}{2}(-1+i). \end{aligned} \]Puisque \(2\sqrt3-1>0\), le facteur réel est strictement positif. Il ne change donc pas l'argument de \(-1+i\).
Le module de la base vaut :
\[ \frac{2\sqrt3-1}{2}\sqrt2 =\frac{2\sqrt3-1}{\sqrt2}. \]Un argument de la base est \(\frac{3\pi}{4}\).
La propriété de la puissance donne alors :
\[ |Z_3| =\left( \frac{2\sqrt3-1}{\sqrt2} \right)^{2018}, \] \[ \arg(Z_3) \equiv2018\times\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]. \]Pour éviter de manipuler un angle de grande valeur, nous remarquons que :
\[ 2018=8\times252+2. \]Or huit fois \(\frac{3\pi}{4}\) est égal à \(6\pi\), qui est un multiple entier de \(2\pi\). Nous pouvons donc retenir uniquement le reste \(2\).
\[ \begin{aligned} \arg(Z_3) &\equiv2\times\frac{3\pi}{4}\\ &\equiv\frac{3\pi}{2}\ [2\pi]. \end{aligned} \]L'argument \(\frac{3\pi}{2}\) correspond à la demi-droite imaginaire négative. Le nombre \(Z_3\) est donc un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative.
Pour une puissance élevée, il n'est pas nécessaire de développer le nombre complexe. La forme trigonométrique et la périodicité des arguments permettent de calculer directement le résultat.
Exercice 41 — Une formule d'argument avec l'arctangente
Démontrer la formule du demi-angle
Soit \(z=x+iy\) un élément de \(\mathbb C\setminus\mathbb R_-\), avec \((x;y)\in\mathbb R^2\).
Montrer que :
\[ \arg z= 2\arctan\left( \frac{y}{|z|+x} \right)\ [2\pi]. \]Afficher la correction Masquer la correction
Pour un angle \(\theta\) tel que \(1+\cos\theta\neq0\), on utilise :
\[ \tan\frac{\theta}{2} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}. \]La fonction \(\arctan\) permet de retrouver un angle appartenant à \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) à partir de sa tangente.
Nous choisirons un argument \(\theta\) dans \(]-\pi;\pi[\), puis exprimerons son sinus et son cosinus à partir des parties réelle et imaginaire de \(z\). La formule du demi-angle fera alors apparaître le quotient demandé.
Étape 1 — Choisir un argument adapté.
Comme \(z\) est exclu de l'axe réel négatif (origine comprise), il est non nul et possède un argument \(\theta\) dans l'intervalle \(]-\pi;\pi[\).
Posons \(r=|z|\). Nous avons \(r>0\) et, d'après la forme trigonométrique :
\[ \cos\theta=\frac{x}{r}, \qquad \sin\theta=\frac{y}{r}. \]Étape 2 — Vérifier le dénominateur.
Pour tout complexe \(z=x+iy\), on sait que \(r\ge|x|\). Ainsi \(r+x\ge0\).
Si \(r+x=0\), alors \(r=-x\), donc \(x\le0\) et \(y=0\). Le complexe appartiendrait à l'axe réel négatif, contrairement à l'hypothèse.
Par conséquent :
\[ r+x=|z|+x>0. \]La fraction intervenant dans l'énoncé est donc bien définie.
Étape 3 — Appliquer la formule du demi-angle.
Puisque \(\theta\in]-\pi;\pi[\), nous avons \(1+\cos\theta>0\). Nous pouvons donc écrire :
\[ \tan\frac{\theta}{2} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}. \]En remplaçant le sinus et le cosinus par les expressions précédentes :
\[ \begin{aligned} \tan\frac{\theta}{2} &=\frac{\frac{y}{r}}{1+\frac{x}{r}}\\ &=\frac{y}{r+x}\\ &=\frac{y}{|z|+x}. \end{aligned} \]Étape 4 — Utiliser l'arctangente.
L'intervalle choisi pour \(\theta\) entraîne :
\[ -\frac{\pi}{2} <\frac{\theta}{2} <\frac{\pi}{2}. \]Sur cet intervalle, l'arctangente permet de retrouver l'angle dont on connaît la tangente :
\[ \frac{\theta}{2} =\arctan\left( \frac{y}{|z|+x} \right). \]En multipliant par \(2\), nous obtenons :
\[ \theta= 2\arctan\left( \frac{y}{|z|+x} \right). \]Puisque \(\theta\) est un argument de \(z\), la propriété demandée est démontrée.
Cette formule permet de calculer un argument à partir de la forme algébrique \(x+iy\), sans résoudre séparément les équations donnant son sinus et son cosinus. Elle fournit directement l'argument situé dans \(]-\pi;\pi[\).
La formule ne doit pas être utilisée lorsque \(z\) appartient à l'axe réel négatif, car \(|z|+x=0\) dans ce cas. Le choix de l'intervalle de l'argument est également indispensable pour justifier l'utilisation de \(\arctan\).
Exercice 42 — Sommes d'arguments et produits complexes
Pour deux complexes non nuls \(u\) et \(v\) :
\[ \arg(u)+\arg(v) \equiv\arg(uv)\ [2\pi]. \]Le demi-axe imaginaire positif correspond aux complexes de partie réelle nulle et de partie imaginaire strictement positive. Leur argument est \(\frac{\pi}{2}\) modulo \(2\pi\).
Question 1 — Vérifier une somme d'arguments
On considère le nombre complexe :
\[ z=\sqrt2+i\sqrt{2-\sqrt2}. \]Montrer que :
\[ \arg z+\arg(z-1) =\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]Afficher la correction Masquer la correction
Plutôt que de chercher séparément les arguments de \(z\) et de \(z-1\), nous calculerons leur produit. Nous montrerons qu'il appartient au demi-axe imaginaire positif.
Posons :
\[ b=\sqrt{2-\sqrt2}. \]Puisque \(2-\sqrt2>0\), nous avons \(b>0\). Les nombres à étudier s'écrivent :
\[ z=\sqrt2+ib, \qquad z-1=\sqrt2-1+ib. \]Ils sont tous deux non nuls puisque leur partie imaginaire vaut \(b>0\). Nous pouvons donc utiliser la propriété sur l'argument d'un produit.
Étape 1 — Développer le produit.
\[ z(z-1) =(\sqrt2+ib)(\sqrt2-1+ib). \]En développant, nous obtenons :
\[ z(z-1) =\sqrt2(\sqrt2-1)-b^2 +ib(2\sqrt2-1). \]Étape 2 — Calculer la partie réelle.
Par définition de \(b\) :
\[ b^2=2-\sqrt2. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \operatorname{Re}(z(z-1)) &=\sqrt2(\sqrt2-1)-b^2\\ &=2-\sqrt2-(2-\sqrt2)\\ &=0. \end{aligned} \]Le produit est donc un imaginaire pur. Il faut encore vérifier qu'il appartient au demi-axe positif et non négatif.
Étape 3 — Étudier sa partie imaginaire.
\[ \operatorname{Im}(z(z-1)) =b(2\sqrt2-1). \]Or \(b>0\) et \(2\sqrt2-1>0\). Leur produit est donc strictement positif.
Ainsi, \(z(z-1)\) appartient au demi-axe imaginaire positif, ce qui donne :
\[ \arg(z(z-1)) \equiv\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]Enfin, grâce à la propriété de l'argument d'un produit :
\[ \arg z+\arg(z-1) \equiv\arg(z(z-1))\ [2\pi]. \]L'argument du produit est égal à \(\frac{\pi}{2}\), ce qui signifie que le point d'affixe \(z(z-1)\) est situé sur le demi-axe imaginaire positif. La somme des arguments a ainsi été étudiée sans calculer ces arguments individuellement.
Question 2 — Déterminer le réel \(x\)
On considère le nombre complexe \(A=x+i\sqrt2\), avec \(x\in\mathbb R\).
Déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle :
\[ \arg A+\arg(A-1) =\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]Afficher la correction Masquer la correction
Pour qu'un complexe non nul ait \(\frac{\pi}{2}\) comme argument modulo \(2\pi\), il faut et il suffit que sa partie réelle soit nulle et sa partie imaginaire strictement positive.
Nous utiliserons la méthode de la question 1 : remplacer la somme des arguments par l'argument du produit \(A(A-1)\). Nous obtiendrons une équation réelle, puis nous sélectionnerons les solutions compatibles avec le signe de la partie imaginaire.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), les complexes \(A\) et \(A-1\) sont non nuls, car leur partie imaginaire est \(\sqrt2>0\).
Nous pouvons donc écrire :
\[ \arg A+\arg(A-1) \equiv\arg(A(A-1))\ [2\pi]. \]Posons :
\[ A=x+i\sqrt2, \qquad A-1=x-1+i\sqrt2. \]Étape 1 — Développer le produit.
\[ A(A-1) =(x+i\sqrt2)(x-1+i\sqrt2). \]Après développement :
\[ \boxed{ A(A-1)=x(x-1)-2+i\sqrt2(2x-1) }. \]Étape 2 — Annuler la partie réelle.
La condition imposée nécessite que \(A(A-1)\) soit imaginaire pur. Nous commençons donc par résoudre :
\[ x(x-1)-2=0. \]En développant puis en factorisant :
\[ \begin{aligned} x^2-x-2&=0\\ (x-2)(x+1)&=0. \end{aligned} \]Nous obtenons deux valeurs possibles :
\[ x=2 \qquad\text{ou}\qquad x=-1. \]Étape 3 — Vérifier le signe de la partie imaginaire.
L'annulation de la partie réelle ne suffit pas : le produit doit appartenir au demi-axe imaginaire positif.
Nous utilisons donc :
\[ \operatorname{Im}(A(A-1)) =\sqrt2(2x-1). \]Lorsque \(x=2\), nous trouvons :
\[ \operatorname{Im}(A(A-1)) =3\sqrt2>0. \]Cette valeur convient.
Lorsque \(x=-1\), nous trouvons :
\[ \operatorname{Im}(A(A-1)) =-3\sqrt2<0. \]Le produit se trouve alors sur le demi-axe imaginaire négatif : cette valeur ne convient pas.
Il ne reste qu'une seule solution.
L'équation issue de la partie réelle fournit deux candidats, mais un seul satisfait la condition sur l'argument. Il est donc indispensable de vérifier la positivité de la partie imaginaire avant de conclure.
Un imaginaire pur non nul possède un argument égal à \(\frac{\pi}{2}\) ou à \(-\frac{\pi}{2}\) modulo \(2\pi\), selon le signe de sa partie imaginaire. Annuler seulement la partie réelle peut donc laisser une solution incorrecte.
À retenir — Arguments et applications trigonométriques
Exercice 38. La forme trigonométrique d'un produit permet de retrouver un facteur inconnu à partir de son module et de son argument. L'identification des parties réelle et imaginaire permet ensuite de déterminer des valeurs trigonométriques exactes.
Exercice 39. Les puissances de deux nombres conjugués restent conjuguées. Leur somme est réelle, et la forme trigonométrique permet de la faire apparaître sous la forme d'une expression avec le cosinus.
Exercice 40. Les propriétés des arguments simplifient les produits, quotients et puissances. Il faut toutefois examiner le signe des coefficients réels lors des factorisations : multiplier par un réel strictement négatif ajoute \(\pi\) à l'argument.
Exercice 41. Une formule de demi-angle peut permettre de retrouver un argument à partir des coordonnées d'un complexe. Le domaine de définition et l'intervalle choisi pour l'argument doivent être vérifiés avant d'appliquer l'arctangente.
Exercice 42. Une somme d'arguments peut être étudiée grâce à l'argument d'un produit. Pour obtenir l'argument \(\frac{\pi}{2}\), il faut prouver que la partie réelle du produit est nulle et que sa partie imaginaire est strictement positive.
Lorsque deux complexes ont le même module et des arguments opposés, ils sont conjugués. Leur somme est réelle. Cette conclusion ne découle pas de la seule opposition des arguments si les modules sont différents.
Dans tous ces exercices, la démarche commence par la reconnaissance d'une propriété du cours. Nous vérifions ensuite les conditions nécessaires, choisissons une transformation algébrique ou trigonométrique adaptée, effectuons les calculs et interprétons le résultat.
Parcours Maths Maroc — PMM
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