Nombres complexes : conjugué d'un nombre complexe — Exercices 18 à 20
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Le conjugué d'un nombre complexe est un outil fondamental pour effectuer des calculs, simplifier des expressions et reconnaître si un nombre complexe est réel ou imaginaire pur. Ses propriétés permettent souvent d'éviter de longs développements et de choisir la méthode la plus efficace.
Dans l'exercice 18, nous calculerons de deux façons différentes les conjugués de cinq nombres complexes : d'abord en passant par la forme algébrique, puis en appliquant directement les propriétés du conjugué. L'exercice 19 demandera de simplifier une expression contenant plusieurs conjugaisons et des quotients. Enfin, l'exercice 20 montrera comment démontrer qu'une expression complexe est réelle, sans nécessairement calculer sa partie imaginaire. Chaque correction présentera la règle utilisée, ses conditions d'application, les étapes du calcul et leur justification.
Rappel de cours — Le conjugué d'un nombre complexe
Soit \(z=x+iy\), avec \(x,y\in\mathbb R\). Le conjugué de \(z\) est :
\[ \boxed{\overline z=x-iy}. \]La conjugaison conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire. Pour tous \(z,z'\in\mathbb C\), on dispose des propriétés :
\[ \overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}, \] \[ \overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}, \] \[ \overline{z^n}=(\overline z)^n, \qquad n\in\mathbb N. \]Lorsque \(z'\neq0\), on peut également conjuguer un quotient :
\[ \overline{\left(\frac z{z'}\right)} = \frac{\overline z}{\overline{z'}}. \]Enfin, deux critères permettent de reconnaître la nature d'un nombre complexe :
\[ z\in\mathbb R \Longleftrightarrow \overline z=z, \] \[ z\in i\mathbb R \Longleftrightarrow \overline z=-z. \]Exercice 18 — Calcul de conjugués
Calculer de deux façons différentes le conjugué de chacun des nombres complexes suivants :
\[ z_1=(3+i)(2-3i),\qquad z_2=\frac{2+i}{3-i},\qquad z_3=\frac{-5}{3+4i}, \] \[ z_4=(1+2i)^3-(1-i)^4,\qquad z_5=\frac{(1+5i)i}{(4-i)^2}. \]1) Calculer \(\overline{z_1}\)
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Première façon : calculer \(z_1\), puis conjuguer.
On développe le produit en utilisant la distributivité et la relation \(i^2=-1\) :
\[ z_1=(3+i)(2-3i)=6-9i+2i-3i^2=9-7i. \]La partie réelle vaut \(9\) et la partie imaginaire vaut \(-7\). La conjugaison change uniquement le signe de cette dernière :
\[ \overline{z_1}=9+7i. \]Deuxième façon : utiliser le conjugué d'un produit.
Chaque facteur peut être conjugué séparément. Nous obtenons :
\[ \overline{z_1} =\overline{(3+i)}\,\overline{(2-3i)} =(3-i)(2+3i)=9+7i. \]2) Calculer \(\overline{z_2}\)
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Première façon : écrire \(z_2\) sous forme algébrique.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(3+i\). Le dénominateur devient réel puisque : \((3-i)(3+i)=10\).
\[ z_2=\frac{2+i}{3-i}\times\frac{3+i}{3+i} =\frac{(2+i)(3+i)}{10} =\frac{5+5i}{10} =\frac{1+i}{2}. \]On conjugue alors la forme algébrique :
\[ \overline{z_2}=\frac{1-i}{2}. \]Deuxième façon : utiliser le conjugué d'un quotient.
La propriété du cours permet de conjuguer séparément le numérateur et le dénominateur.
\[ \overline{z_2} =\frac{\overline{2+i}}{\overline{3-i}} =\frac{2-i}{3+i} =\frac{(2-i)(3-i)}{10} =\frac{1-i}{2}. \]3) Calculer \(\overline{z_3}\)
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Le dénominateur \(3+4i\) est non nul. Les calculs qui suivent sont donc définis.
Première façon : écrire \(z_3\) sous forme algébrique.
On multiplie par \(3-4i\). Le produit des deux nombres conjugués au dénominateur vaut \(3^2+4^2=25\).
\[ z_3=\frac{-5}{3+4i}\times\frac{3-4i}{3-4i} =\frac{-15+20i}{25} =-\frac35+\frac45 i. \]On conserve la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire :
\[ \overline{z_3}=-\frac35-\frac45 i. \]Deuxième façon : utiliser le conjugué d'un quotient.
Comme le numérateur est réel, son conjugué est encore \(-5\). On conjugue donc le dénominateur :
\[ \overline{z_3} =\frac{-5}{3-4i}\times\frac{3+4i}{3+4i} =\frac{-15-20i}{25} =-\frac35-\frac45 i. \]4) Calculer \(\overline{z_4}\)
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Première façon : calculer \(z_4\).
Nous commençons par les puissances du nombre \(1+2i\) :
\[ (1+2i)^2=-3+4i, \]donc :
\[ (1+2i)^3=(-3+4i)(1+2i)=-11-2i. \]Pour le deuxième terme, nous calculons d'abord le carré, puis nous l'élevons à nouveau au carré :
\[ (1-i)^2=-2i \quad\text{et}\quad (1-i)^4=(-2i)^2=-4. \]Ainsi :
\[ z_4=(-11-2i)-(-4)=-7-2i. \]On conjugue le résultat obtenu :
\[ \overline{z_4}=-7+2i. \]Deuxième façon : conjuguer directement l'expression.
Nous conjuguons chaque base tout en conservant ses puissances et le signe de soustraction :
\[ \overline{z_4} =(1-2i)^3-(1+i)^4 =(-11+2i)-(-4) =-7+2i. \]5) Calculer \(\overline{z_5}\)
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Première façon : écrire \(z_5\) sous forme algébrique.
Nous simplifions séparément le numérateur et le dénominateur. En utilisant \(i^2=-1\), on trouve :
\[ (1+5i)i=-5+i \quad\text{et}\quad (4-i)^2=15-8i. \]Le quotient prend ainsi une forme dont le dénominateur peut être rendu réel grâce à son conjugué :
\[ z_5=\frac{-5+i}{15-8i} \times\frac{15+8i}{15+8i} =\frac{-83-25i}{289}. \]On conserve la partie réelle et on change le signe de la partie imaginaire :
\[ \overline{z_5} =-\frac{83}{289}+\frac{25}{289}i. \]Deuxième façon : utiliser les propriétés du conjugué.
On applique simultanément les propriétés du produit, de la puissance et du quotient. Le facteur \(i\) devient \(-i\).
\[ \overline{z_5} =\frac{\overline{(1+5i)i}}{\overline{(4-i)^2}} =\frac{(1-5i)(-i)}{(4+i)^2} =\frac{-5-i}{15+8i}. \]Pour terminer, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(15-8i\) :
\[ \overline{z_5} =\frac{-5-i}{15+8i} \times\frac{15-8i}{15-8i} =\frac{-83+25i}{289}. \]Exercice 19 — Simplification d'une expression complexe
Soit \(z\) un nombre complexe différent de \(-1\). Simplifier l'expression :
\[ A=\overline{\left(\frac{-z}{i(z+1)}\right)} +i\,\frac{\overline{1-i(z+1)}}{\overline z+1}. \]Simplifier l'expression \(A\)
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Première étape — Conjuguer le premier terme.
Nous utilisons le conjugué d'un quotient. Comme \(\overline i=-i\), le dénominateur conjugué contient le facteur \(-i\).
\[ \overline{\left(\frac{-z}{i(z+1)}\right)} =\frac{-\overline z}{\overline{i(z+1)}} =\frac{-\overline z}{-i(\overline z+1)} =\frac{\overline z}{i(\overline z+1)}. \]Puisque \(\dfrac1i=-i\), cette expression devient :
\[ \overline{\left(\frac{-z}{i(z+1)}\right)} =-\frac{i\overline z}{\overline z+1}. \]Deuxième étape — Simplifier le second terme.
Nous commençons par conjuguer le numérateur. La conjugaison change le signe du facteur \(i\).
\[ \overline{1-i(z+1)} =1+i(\overline z+1). \]Nous remplaçons cette expression dans le deuxième terme :
\[ i\,\frac{\overline{1-i(z+1)}}{\overline z+1} =i\,\frac{1+i(\overline z+1)}{\overline z+1} =\frac{i+i^2(\overline z+1)}{\overline z+1}. \]En utilisant \(i^2=-1\), nous obtenons :
\[ i\,\frac{\overline{1-i(z+1)}}{\overline z+1} =\frac{i-(\overline z+1)}{\overline z+1}. \]Troisième étape — Regrouper les deux termes.
Les dénominateurs étant maintenant identiques, nous pouvons additionner les numérateurs.
\[ A=-\frac{i\overline z}{\overline z+1} +\frac{i-(\overline z+1)}{\overline z+1}. \]Donc :
\[ A=\frac{-i\overline z+i-\overline z-1}{\overline z+1} =\frac{-(1+i)\overline z+i-1}{\overline z+1}. \]Pour obtenir une écriture plus lisible, nous cherchons à faire apparaître le facteur \(\overline z+1\) dans le numérateur.
Or :
\[ -(1+i)+\frac{2i}{\overline z+1} =\frac{-(1+i)(\overline z+1)+2i}{\overline z+1} =\frac{-(1+i)\overline z+i-1}{\overline z+1}. \]Cette dernière expression est identique à celle que nous avons obtenue après regroupement des deux termes.
Exercice 20 — Montrer qu'un complexe est réel
Soit \(u\) un nombre complexe tel que \(u\ne1\) et \(u\overline u=1\). Soit \(z\) un nombre complexe non réel. Montrer que :
\[ Z=\frac{z-u\overline z}{1-u} \]est réel.
Repère de cours — Caractérisation des complexes réels
Pour démontrer qu'un nombre complexe \(Z\) est réel, on peut utiliser :
\[ \boxed{ Z\in\mathbb R \Longleftrightarrow \overline Z=Z }. \]Cette caractérisation est particulièrement utile lorsque \(Z\) est écrit à l'aide de plusieurs complexes et de leurs conjugués.
Nous utiliserons aussi la relation :
\[ u\overline u=1. \]Elle montre que \(u\) est non nul et permet d'exprimer son conjugué en fonction de \(u\).
Démontrer que \(Z\in\mathbb R\)
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Première étape — Exploiter les hypothèses.
On sait que :
\[ u\overline u=1. \]Ce produit étant non nul, ses deux facteurs sont non nuls. En particulier, \(u\neq0\), ce qui permet de diviser par \(u\).
On en déduit :
\[ \overline u=\frac1u. \]De plus, l'énoncé impose \(u\neq1\). Par conséquent :
\[ 1-u\neq0. \]Le nombre complexe :
\[ Z=\frac{z-u\overline z}{1-u} \]est donc bien défini.
Deuxième étape — Calculer \(\overline Z\).
Nous appliquons la propriété du conjugué d'un quotient. Le conjugué de \(z\) est \(\overline z\), et le conjugué de \(\overline z\) est \(z\).
\[ \overline Z =\overline{\left( \frac{z-u\overline z}{1-u} \right)} =\frac{\overline z-\overline u z}{1-\overline u}. \]Nous utilisons alors le résultat de la première étape :
\[ \overline u=\frac1u. \]En remplaçant, il vient :
\[ \overline Z =\frac{\overline z-\dfrac zu} {1-\dfrac1u}. \]Comme \(u\neq0\), nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par \(u\).
\[ \overline Z =\frac{u\overline z-z}{u-1}. \]Troisième étape — Retrouver l'expression initiale.
Le numérateur et le dénominateur sont les opposés de ceux de \(Z\). Or un quotient ne change pas lorsqu'on multiplie ses deux termes par \(-1\).
\[ \frac{u\overline z-z}{u-1} =\frac{-(z-u\overline z)}{-(1-u)} =\frac{z-u\overline z}{1-u} =Z. \]Nous avons donc démontré que :
\[ \overline Z=Z. \]D'après la caractérisation des nombres complexes réels, cette égalité entraîne :
À retenir
Le conjugué d'un nombre complexe permet de modifier le signe de sa partie imaginaire sans changer sa partie réelle. Les propriétés de conjugaison s'appliquent aux sommes, aux produits, aux puissances et aux quotients définis.
Dans un calcul de conjugué, deux méthodes sont possibles : calculer d'abord le complexe sous forme algébrique, puis conjuguer, ou appliquer directement les propriétés du cours. Le choix dépend de la structure de l'expression proposée.
Lorsqu'une expression contient plusieurs conjugués, il est généralement efficace de simplifier séparément ses termes avant de les regrouper. Les dénominateurs doivent toujours être vérifiés avant toute transformation.
Enfin, pour démontrer qu'un nombre complexe \(Z\) est réel, on peut établir l'égalité \(\overline Z=Z\). Cette méthode est particulièrement adaptée aux expressions qui font intervenir des nombres complexes et leurs conjugués.
Parcours Maths Maroc — PMM
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