Nombres complexes : équations du premier degré et systèmes — Exercices 15 à 17
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Résoudre une équation dans l'ensemble des nombres complexes nécessite de maîtriser les règles du calcul algébrique, notamment la division par un complexe non nul. Ces exercices proposent une progression allant des équations du premier degré aux systèmes de deux équations, puis à la factorisation d'un polynôme complexe.
Plusieurs méthodes déjà connues dans les réels restent valables dans les complexes : isoler une inconnue, substituer une expression, utiliser un produit nul ou identifier les coefficients d'un polynôme. Cependant, les quotients imposent une attention particulière aux dénominateurs, et le passage à la forme algébrique utilise fréquemment le conjugué d'un nombre complexe. Dans chaque question, nous préciserons la propriété employée, ses conditions d'application et la raison du calcul effectué, avant d'interpréter le résultat.
Rappel de cours — Équations dans \(\mathbb C\)
Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres complexes avec \(a\neq0\), l'équation :
\[ az=b \]admet une unique solution :
\[ z=\frac ba. \]Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. En particulier, si \(a,b\in\mathbb R\) et \(a+ib\neq0\) :
\[ \frac1{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}. \]On utilise aussi la propriété du produit nul : le produit de deux complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Exercice 15 — Équations dans \(\mathbb C\)
Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :
1) \(8+3i+iz+7(z-4i)=0\)
2) \((9+i)z=3+i\)
3) \((3-i)z+3+i=2z-4i\)
4) \(\displaystyle\frac{3z}{z-i}=1+i\sqrt3\)
5) \(\big((2+i)z-i\big)(9z+8-4i)=0\)
6) \(\displaystyle\frac{4z+1}{iz+i}=4\)
1) Résoudre \(8+3i+iz+7(z-4i)=0\)
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En développant :
\[ 8+3i+iz+7z-28i=0. \]On regroupe les termes contenant \(z\), puis les termes constants :
\[ (7+i)z+8-25i=0. \]Donc :
\[ (7+i)z=-8+25i. \]Comme \(7+i\neq0\), on peut diviser les deux membres par ce complexe.
\[ z=\frac{-8+25i}{7+i}. \]Pour obtenir la forme algébrique, on multiplie par le conjugué \(7-i\) :
\[ z= \frac{(-8+25i)(7-i)} {(7+i)(7-i)}. \]On obtient :
\[ z=\frac{-31+183i}{50}. \]2) Résoudre \((9+i)z=3+i\)
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Comme \(9+i\neq0\), on obtient :
\[ z=\frac{3+i}{9+i}. \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(9-i\) :
\[ z= \frac{(3+i)(9-i)} {(9+i)(9-i)}. \]Ainsi :
\[ z=\frac{28+6i}{82} =\frac{14}{41}+\frac{3}{41}i. \]3) Résoudre \((3-i)z+3+i=2z-4i\)
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On regroupe les termes contenant \(z\) :
\[ (3-i)z-2z=-3-i-4i. \]Donc :
\[ (1-i)z=-3-5i. \]Comme \(1-i\neq0\), nous pouvons écrire :
\[ z=\frac{-3-5i}{1-i}. \]On utilise le conjugué \(1+i\) :
\[ z= \frac{(-3-5i)(1+i)} {(1-i)(1+i)}. \]On obtient :
\[ z=\frac{2-8i}{2} =1-4i. \]4) Résoudre \(\displaystyle\frac{3z}{z-i}=1+i\sqrt3\)
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Le dénominateur impose :
\[ z-i\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad z\neq i. \]Pour \(z\neq i\), on a :
\[ 3z=(1+i\sqrt3)(z-i). \]En développant le membre de droite :
\[ 3z=(1+i\sqrt3)z+\sqrt3-i. \]On regroupe les termes en \(z\) :
\[ (2-i\sqrt3)z=\sqrt3-i. \]Le complexe \(2-i\sqrt3\) est non nul. Nous pouvons donc diviser :
\[ z=\frac{\sqrt3-i}{2-i\sqrt3}. \]En multipliant par le conjugué \(2+i\sqrt3\), on obtient :
\[ z= \frac{(\sqrt3-i)(2+i\sqrt3)} {(2-i\sqrt3)(2+i\sqrt3)}. \]D'où :
\[ z=\frac{3\sqrt3+i}{7}. \]La solution trouvée est différente de \(i\) : elle respecte donc la condition initiale.
5) Résoudre \(\big((2+i)z-i\big)(9z+8-4i)=0\)
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Un produit de deux nombres complexes est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Premier facteur :
\[ (2+i)z-i=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=\frac{i}{2+i}. \]En utilisant le conjugué :
\[ z=\frac{i(2-i)}{5} =\frac15+\frac25i. \]Deuxième facteur :
\[ 9z+8-4i=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=\frac{-8+4i}{9}. \]Donc :
\[ z=-\frac89+\frac49i. \]6) Résoudre \(\displaystyle\frac{4z+1}{iz+i}=4\)
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On a :
\[ iz+i=i(z+1). \]Comme \(i\neq0\), le dénominateur est non nul si et seulement si :
\[ z\neq-1. \]Pour \(z\neq-1\), on écrit :
\[ 4z+1=4(iz+i)=4iz+4i. \]On rassemble les termes contenant \(z\) :
\[ (4-4i)z=-1+4i. \]Comme \(4-4i\neq0\), on obtient :
\[ z=\frac{-1+4i}{4-4i}. \]En utilisant le conjugué \(4+4i\) :
\[ z= \frac{(-1+4i)(4+4i)} {(4-4i)(4+4i)}. \]Ainsi :
\[ z=\frac{-20+12i}{32} =-\frac58+\frac38i. \]Cette valeur n'est pas égale à \(-1\). Elle est donc admissible.
Exercice 16 — Systèmes dans \(\mathbb C^2\)
Résoudre dans \(\mathbb C^2\) les systèmes suivants :
\[ S_1: \begin{cases} 2z-z'=5\\ z-3iz'=7 \end{cases} \] \[ S_2: \begin{cases} 3z-2z'=-11\\ iz+(1+i)z'=3(4-i) \end{cases} \] \[ S_3: \begin{cases} -5iz+\dfrac32z'=\dfrac{i}{4}\\ 4z-iz'=0 \end{cases} \] \[ S_4: \begin{cases} \dfrac1z+\dfrac1{z'}=1+3i\\ \dfrac{3i}{z}-\dfrac2{z'}=-3-i \end{cases} \]Repère de cours — Systèmes linéaires
Les méthodes de substitution et d'élimination utilisées pour les systèmes réels restent valables lorsque les inconnues et les coefficients sont complexes.
Pour appliquer la substitution, on exprime une inconnue en fonction de l'autre, puis on remplace cette expression dans la deuxième équation.
Lorsqu'un système contient des inverses comme \(1/z\), il est souvent utile de poser de nouvelles inconnues. Il faut alors vérifier que les inverses existent.
1) Résoudre le système \(S_1\)
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Le système est :
\[ \begin{cases} 2z-z'=5\\ z-3iz'=7. \end{cases} \]De \(2z-z'=5\), on tire :
\[ z'=2z-5. \]On remplace cette expression dans la deuxième équation :
\[ z-3i(2z-5)=7. \]On développe :
\[ (1-6i)z+15i=7. \]D'où :
\[ (1-6i)z=7-15i. \]Comme \(1-6i\neq0\), on peut diviser par ce coefficient :
\[ z=\frac{7-15i}{1-6i}. \]En multipliant par le conjugué :
\[ z= \frac{(7-15i)(1+6i)}{37} =\frac{97+27i}{37}. \]Nous revenons ensuite à la première relation :
\[ z'=2z-5. \]Donc :
\[ z'=\frac{194+54i}{37}-\frac{185}{37}. \]Ainsi :
\[ z'=\frac9{37}+\frac{54}{37}i. \]2) Résoudre le système \(S_2\)
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On considère :
\[ \begin{cases} 3z-2z'=-11\\ iz+(1+i)z'=3(4-i). \end{cases} \]De \(3z-2z'=-11\), on obtient :
\[ z=\frac{2z'-11}{3}. \]On remplace dans \(iz+(1+i)z'=3(4-i)=12-3i\) :
\[ i\frac{2z'-11}{3} +(1+i)z'=12-3i. \]En multipliant les deux membres par \(3\) :
\[ 2iz'-11i+3(1+i)z'=36-9i. \]On regroupe les termes contenant \(z'\) :
\[ (3+5i)z'=36+2i. \]Comme \(3+5i\neq0\), nous pouvons écrire :
\[ z'=\frac{36+2i}{3+5i}. \]En utilisant le conjugué :
\[ z'=\frac{(36+2i)(3-5i)}{34}. \]Donc :
\[ z'=\frac{118-174i}{34} =\frac{59}{17}-\frac{87}{17}i. \]On revient à l'expression de \(z\) obtenue au départ :
\[ z=\frac{2z'-11}{3}. \]Donc :
\[ z= \frac{ 2\left(\frac{59}{17}-\frac{87}{17}i\right)-11 }{3}. \]Ainsi :
\[ z=-\frac{23}{17}-\frac{58}{17}i. \]3) Résoudre le système \(S_3\)
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On considère :
\[ \begin{cases} -5iz+\dfrac32z'=\dfrac{i}{4}\\ 4z-iz'=0. \end{cases} \]De \(4z-iz'=0\), on obtient :
\[ 4z=iz' \quad\Longleftrightarrow\quad z'=\frac{4z}{i}=-4iz. \]On remplace dans la première équation :
\[ -5iz+\frac32(-4iz)=\frac{i}{4}. \]En simplifiant :
\[ -5iz-6iz=\frac{i}{4}. \]Donc :
\[ -11iz=\frac{i}{4}. \]Comme \(i\neq0\), nous pouvons diviser les deux membres par \(i\) :
\[ -11z=\frac14. \]Ainsi :
\[ z=-\frac1{44}. \]Puis :
\[ z'=-4iz=\frac{i}{11}. \]4) Résoudre le système \(S_4\)
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Le système initial est :
\[ \begin{cases} \dfrac1z+\dfrac1{z'}=1+3i\\ \dfrac{3i}{z}-\dfrac2{z'}=-3-i. \end{cases} \]Les fractions imposent \(z\neq0\) et \(z'\neq0\).
On pose :
\[ u=\frac1z, \qquad v=\frac1{z'}. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} u+v=1+3i\\ 3iu-2v=-3-i. \end{cases} \]De \(u+v=1+3i\), on tire :
\[ v=1+3i-u. \]Nous remplaçons cette expression dans la deuxième équation :
\[ 3iu-2(1+3i-u)=-3-i. \]En développant :
\[ (2+3i)u-2-6i=-3-i. \]Donc :
\[ (2+3i)u=-1+5i. \]Comme \(2+3i\neq0\), nous obtenons :
\[ u=\frac{-1+5i}{2+3i}. \]En utilisant le conjugué :
\[ u= \frac{(-1+5i)(2-3i)}{13} =1+i. \]On en déduit :
\[ v=1+3i-(1+i)=2i. \]Les deux valeurs \(u=1+i\) et \(v=2i\) sont non nulles. Nous pouvons donc revenir aux inconnues initiales.
On a :
\[ z=\frac1u=\frac1{1+i}. \]Donc :
\[ z=\frac{1-i}{2} =\frac12-\frac12i. \]De même :
\[ z'=\frac1v=\frac1{2i} =-\frac{i}{2}. \]Exercice 17 — Racine et factorisation d'un polynôme complexe
On considère le polynôme :
\[ P(z)=iz^2+(3+4i)z-7i+3. \]1) Vérifier que \(1+i\) est une racine de \(P\).
2) Factoriser \(P(z)\).
Repère de cours — Racine d'un polynôme
Un nombre complexe \(a\) est une racine d'un polynôme \(P\) si et seulement si :
\[ P(a)=0. \]Lorsque \(a\) est une racine de \(P\), le polynôme \(P(z)\) possède le facteur \(z-a\). Dans le cas d'un polynôme de degré \(2\), le facteur complémentaire est de degré \(1\).
1) Vérifier que \(1+i\) est une racine de \(P\)
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On calcule d'abord :
\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i. \]Alors :
\[ P(1+i)= i(1+i)^2+(3+4i)(1+i)-7i+3. \]Donc :
\[ P(1+i)= i(2i)+(3+4i)(1+i)-7i+3. \]Or :
\[ i(2i)=-2, \]et :
\[ (3+4i)(1+i) =3+3i+4i+4i^2 =-1+7i. \]Par conséquent :
\[ P(1+i)=-2+(-1+7i)-7i+3=0. \]Donc \(1+i\) est une racine du polynôme \(P\).
2) Factoriser \(P(z)\)
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Comme \(1+i\) est une racine, le polynôme \(P(z)\) admet le facteur \(z-(1+i)\), c'est-à-dire \(z-1-i\).
Comme le coefficient dominant de \(P\) est \(i\), on cherche une factorisation sous la forme :
\[ P(z)=(z-1-i)(iz+\alpha), \]où \(\alpha\) est un nombre complexe.
Pour déterminer \(\alpha\), nous pouvons comparer les coefficients de \(z\) après développement.
\[ (z-1-i)(iz+\alpha) = iz^2+\big(\alpha-i(1+i)\big)z -(1+i)\alpha. \]Comme le coefficient de \(z\) dans \(P\) est \(3+4i\), on obtient :
\[ \alpha-i(1+i)=3+4i. \]Or :
\[ i(1+i)=i-1. \]Donc :
\[ \alpha=3+4i+i-1=2+5i. \]Nous retrouvons ainsi la factorisation recherchée :
\[ P(z)=(z-1-i)(iz+2+5i). \]Vérifions-la par développement :
\[ (z-1-i)(iz+2+5i) =iz^2+(2+5i)z-i(1+i)z-(1+i)(2+5i). \]Or :
\[ -i(1+i)=1-i. \]Donc le coefficient de \(z\) est :
\[ 2+5i+1-i=3+4i. \]De plus :
\[ -(1+i)(2+5i)=-(-3+7i)=3-7i. \]On retrouve bien :
\[ P(z)=iz^2+(3+4i)z+3-7i. \]On peut aussi écrire le second facteur en mettant \(i\) en facteur :
\[ iz+2+5i=i(z+5-2i). \]D'où :
À retenir
Dans une équation du premier degré à coefficients complexes, la résolution repose sur les règles habituelles du calcul algébrique. Une fois l'inconnue isolée, la mise sous forme algébrique se fait à l'aide du conjugué du dénominateur.
Les équations fractionnaires exigent une précaution supplémentaire : les conditions de définition doivent être établies avant toute multiplication par un dénominateur. Les solutions candidates doivent ensuite respecter ces conditions.
Pour les systèmes dans \(\mathbb C^2\), les méthodes de substitution et d'élimination restent valables. Lorsqu'un système contient des expressions fractionnaires répétées, un changement d'inconnues peut transformer le problème en système linéaire.
Enfin, pour factoriser un polynôme complexe, la recherche ou la vérification d'une racine constitue souvent la première étape. Une fois un facteur connu, on peut déterminer le facteur complémentaire par identification des coefficients, puis vérifier la factorisation par développement.
Parcours Maths Maroc — PMM
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