Nombres complexes : équations du second degré — Exercices 55 à 58
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 55 à 58 montrent que résoudre une équation dans les complexes ne consiste pas toujours à appliquer immédiatement une formule. Il faut d’abord identifier sa structure : second degré, équation bicarrée ou polynôme possédant une solution particulière annoncée par l’énoncé. Cette lecture permet d’organiser les calculs et d’éviter de perdre des solutions.
L’exercice 55 entraîne au calcul de discriminants complexes et au retour à l’inconnue initiale après un changement d’inconnue. Les exercices 56 et 57 utilisent une solution imaginaire pure ou réelle pour factoriser un polynôme de degré 3. L’exercice 58 relie enfin les racines d’une équation à une construction géométrique : les solutions deviennent deux sommets opposés d’un carré. Le passage de l’algèbre à la géométrie demande de conserver le rôle de chaque affixe et de justifier les propriétés des diagonales utilisées.
Repères de cours — Discriminant complexe et factorisation
Pour \(az^2+bz+c=0\), avec \(a\ne0\), on calcule \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\delta^2=\Delta\), les racines sont \((-b+\delta)/(2a)\) et \((-b-\delta)/(2a)\). Lorsque \(\Delta=0\), ces deux expressions désignent la même racine. Un discriminant complexe n’a pas à être positif pour que l’équation admette des solutions dans \(\mathbb C\).
Pour rechercher une racine carrée de \(u+iv\), écrire \(\delta=p+iq\), avec \(p,q\in\mathbb R\), puis identifier \(p^2-q^2=u\) et \(2pq=v\). La vérification finale \(\delta^2=\Delta\) protège des erreurs de signe. Dans une équation bicarrée, le changement \(Z=z^2\) impose ensuite de résoudre chacune des équations donnant \(z^2\).
Si \(P(z_0)=0\), on peut factoriser par \(z-z_0\). Une solution réelle doit annuler simultanément les parties réelle et imaginaire de \(P(x)\) ; une solution imaginaire pure se recherche avec \(z=iy\), \(y\in\mathbb R\). Pour un carré de diagonale \([AC]\), le centre est le milieu de cette diagonale ; une multiplication par \(i\) effectue une rotation d’angle \(\pi/2\) autour de l’origine.
Exercice 55
Objectif et méthode — Exercice 55
Distinguer les équations directement du second degré des équations en \(z^2\). Après le calcul du discriminant, vérifier le carré du complexe choisi comme racine carrée. Dans les équations bicarrées, les racines obtenues pour \(Z\) sont des valeurs de \(z^2\), et non les solutions finales en \(z\). Écrire l’ensemble des solutions après avoir traité toutes les valeurs de \(Z\).
Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :
\[ (E_1):\ z^2-(3+2i)z+5+i=0 \] \[ (E_2):\ (-4-2i)z^2+(7-i)z+1+3i=0 \] \[ (E_3):\ z^4+z^2+1=0 \] \[ (E_4):\ z^2-(\sqrt3-i)z+2(1-i\sqrt3)=0 \] \[ (E_5):\ z^2-(4-i)z+5-5i=0 \] \[ (E_6):\ z^4+(3-6i)z^2+2(16-63i)=0 \]Afficher la correctionMasquer la correction
On considère :
\[ z^2-(3+2i)z+5+i=0. \]Ici :
\[ a=1,\qquad b=-(3+2i),\qquad c=5+i. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Donc :
\[ \Delta=(3+2i)^2-4(5+i). \]Or :
\[ (3+2i)^2=9+12i+4i^2=5+12i. \]Ainsi :
\[ \Delta=5+12i-20-4i=-15+8i. \]On remarque que :
\[ (1+4i)^2=1+8i+16i^2=-15+8i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=1+4i. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{3+2i\pm(1+4i)}{2}. \]On obtient donc :
\[ z_1=2+3i \]et :
\[ z_2=1-i. \]On considère :
\[ (-4-2i)z^2+(7-i)z+1+3i=0. \]Ici :
\[ a=-4-2i,\qquad b=7-i,\qquad c=1+3i. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]On calcule :
\[ (7-i)^2=49-14i+i^2=48-14i. \]Et :
\[ (-4-2i)(1+3i)=2-14i. \]Donc :
\[ \Delta=48-14i-4(2-14i)=40+42i. \]On remarque que :
\[ (7+3i)^2=49+42i+9i^2=40+42i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=7+3i. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{-(7-i)\pm(7+3i)}{2(-4-2i)}. \]Pour le signe \(+\), on obtient :
\[ z=\frac{4i}{-8-4i}. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ z=\frac{4i(-8+4i)}{(-8-4i)(-8+4i)} = \frac{-16-32i}{80} = -\frac15-\frac25i. \]Pour le signe \(-\), on obtient :
\[ z=\frac{-14-2i}{-8-4i}. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ z=\frac{(-14-2i)(-8+4i)}{80} = \frac{120-40i}{80} = \frac32-\frac12i. \]On considère :
\[ z^4+z^2+1=0. \]On utilise l’identité :
\[ z^4+z^2+1=(z^2+z+1)(z^2-z+1). \]L’équation devient :
\[ (z^2+z+1)(z^2-z+1)=0. \]Donc :
\[ z^2+z+1=0 \quad\text{ou}\quad z^2-z+1=0. \]Pour :
\[ z^2+z+1=0, \]le discriminant est :
\[ \Delta=1-4=-3. \]Donc :
\[ z=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}. \]Pour :
\[ z^2-z+1=0, \]le discriminant est aussi :
\[ \Delta=1-4=-3. \]Donc :
\[ z=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}. \]On considère :
\[ z^2-(\sqrt3-i)z+2(1-i\sqrt3)=0. \]Ici :
\[ a=1,\qquad b=-(\sqrt3-i),\qquad c=2(1-i\sqrt3). \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(\sqrt3-i)^2-8(1-i\sqrt3). \]On calcule :
\[ (\sqrt3-i)^2=3-2i\sqrt3+i^2=2-2i\sqrt3. \]Donc :
\[ \Delta=2-2i\sqrt3-8+8i\sqrt3=-6+6i\sqrt3. \]On remarque que :
\[ (\sqrt3+3i)^2=3+6i\sqrt3+9i^2=-6+6i\sqrt3. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=\sqrt3+3i. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{\sqrt3-i\pm(\sqrt3+3i)}{2}. \]On obtient :
\[ z_1=\sqrt3+i \]et :
\[ z_2=-2i. \]On considère :
\[ z^2-(4-i)z+5-5i=0. \]Ici :
\[ a=1,\qquad b=-(4-i),\qquad c=5-5i. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(4-i)^2-4(5-5i). \]On calcule :
\[ (4-i)^2=16-8i+i^2=15-8i. \]Donc :
\[ \Delta=15-8i-20+20i=-5+12i. \]On remarque que :
\[ (2+3i)^2=4+12i+9i^2=-5+12i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2+3i. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{4-i\pm(2+3i)}{2}. \]On obtient :
\[ z_1=3+i \]et :
\[ z_2=1-2i. \]On considère :
\[ z^4+(3-6i)z^2+2(16-63i)=0. \]On pose :
\[ Z=z^2. \]L’équation devient :
\[ Z^2+(3-6i)Z+32-126i=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=(3-6i)^2-4(32-126i). \]On calcule :
\[ (3-6i)^2=9-36i+36i^2=-27-36i. \]Donc :
\[ \Delta=-27-36i-128+504i=-155+468i. \]On remarque que :
\[ (13+18i)^2=169+468i+324i^2=-155+468i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=13+18i. \]Les solutions en \(Z\) sont :
\[ Z=\frac{-(3-6i)\pm(13+18i)}{2}. \]Donc :
\[ Z_1=5+12i \qquad\text{et}\qquad Z_2=-8-6i. \]On résout maintenant :
\[ z^2=5+12i. \]Or :
\[ (3+2i)^2=9+12i+4i^2=5+12i. \]Donc :
\[ z=3+2i \quad\text{ou}\quad z=-3-2i. \]On résout ensuite :
\[ z^2=-8-6i. \]Or :
\[ (1-3i)^2=1-6i+9i^2=-8-6i. \]Donc :
\[ z=1-3i \quad\text{ou}\quad z=-1+3i. \]Exercice 56
Objectif et méthode — Exercice 56
Écrire une solution imaginaire pure sous la forme \(iy\), avec \(y\) réel, puis séparer les parties réelle et imaginaire. Les deux équations obtenues doivent être satisfaites par la même valeur de \(y\). Une fois la racine trouvée, développer le produit demandé et identifier les coefficients pour obtenir le facteur du second degré.
On considère dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ (E):\ z^3+(1+i)z^2+(-1+i)z-i=0. \]1) Montrer que l’équation \((E)\) admet une solution imaginaire pure \(z_0\).
2) Déterminer les nombres complexes \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(z\in\mathbb C\) :
\[ z^3+(1+i)z^2+(-1+i)z-i=(z-z_0)(z^2+bz+c). \]3) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).
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Une solution imaginaire pure s’écrit sous la forme :
\[ z=iy \qquad(y\in\mathbb R). \]On remplace \(z\) par \(iy\) dans :
\[ P(z)=z^3+(1+i)z^2+(-1+i)z-i. \]On a :
\[ (iy)^2=-y^2 \qquad\text{et}\qquad (iy)^3=-iy^3. \]Donc :
\[ P(iy) = -iy^3+(1+i)(-y^2)+(-1+i)iy-i. \]On développe :
\[ P(iy) = -iy^3-y^2-iy^2-y-iy-i. \]On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ P(iy)=(-y^2-y)-i(y^3+y^2+y+1). \]Pour avoir \(P(iy)=0\), il faut :
\[ -y^2-y=0 \quad\text{et}\quad y^3+y^2+y+1=0. \]La première équation donne :
\[ -y(y+1)=0. \]Donc :
\[ y=0 \quad\text{ou}\quad y=-1. \]Si \(y=0\), alors :
\[ y^3+y^2+y+1=1\ne0. \]Si \(y=-1\), alors :
\[ y^3+y^2+y+1=-1+1-1+1=0. \]Donc :
\[ y=-1. \]Ainsi :
\[ z_0=iy=-i. \]Comme \(z_0=-i\), on a :
\[ z-z_0=z+i. \]On cherche donc \(b\) et \(c\) tels que :
\[ z^3+(1+i)z^2+(-1+i)z-i=(z+i)(z^2+bz+c). \]On développe le second membre :
\[ (z+i)(z^2+bz+c) = z^3+bz^2+cz+iz^2+ibz+ic. \]Donc :
\[ (z+i)(z^2+bz+c) = z^3+(b+i)z^2+(c+ib)z+ic. \]On identifie avec :
\[ z^3+(1+i)z^2+(-1+i)z-i. \]Alors :
\[ b+i=1+i. \]Donc :
\[ b=1. \]Ensuite :
\[ c+ib=-1+i. \]Comme \(b=1\), on obtient :
\[ c+i=-1+i. \]Donc :
\[ c=-1. \]Le terme constant vérifie aussi :
\[ ic=i(-1)=-i. \]On a donc :
\[ P(z)=(z+i)(z^2+z-1). \]L’équation \((E)\) devient :
\[ (z+i)(z^2+z-1)=0. \]Donc :
\[ z+i=0 \quad\text{ou}\quad z^2+z-1=0. \]La première équation donne :
\[ z=-i. \]Pour l’équation :
\[ z^2+z-1=0, \]le discriminant est :
\[ \Delta=1+4=5. \]Donc :
\[ z=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}. \]Exercice 57
Objectif et méthode — Exercice 57
La recherche d’une solution réelle fournit deux conditions simultanées. Commencer par la plus simple permet de limiter le nombre de candidats, mais chaque candidat doit être vérifié dans l’autre condition. Contrôler ensuite la factorisation par développement, puis réunir la racine particulière et les racines du facteur restant.
Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ z^3+(2i-11)z^2+(25-19i)z-8(1-3i)=0 \]sachant qu’elle admet une solution réelle.
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On note :
\[ P(z)=z^3+(2i-11)z^2+(25-19i)z-8(1-3i). \]Comme l’équation admet une solution réelle, on pose :
\[ z=x \qquad(x\in\mathbb R). \]Alors :
\[ P(x)=x^3+(2i-11)x^2+(25-19i)x-8+24i. \]On sépare la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ P(x)= \left(x^3-11x^2+25x-8\right) +i\left(2x^2-19x+24\right). \]Pour avoir \(P(x)=0\), il faut :
\[ \begin{cases} x^3-11x^2+25x-8=0,\\ 2x^2-19x+24=0. \end{cases} \]On commence par résoudre la deuxième équation :
\[ 2x^2-19x+24=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=19^2-4\times2\times24=361-192=169. \]Donc :
\[ x=\frac{19\pm13}{4}. \]Ainsi :
\[ x=8 \quad\text{ou}\quad x=\frac32. \]On vérifie maintenant ces deux valeurs dans la partie réelle :
\[ x^3-11x^2+25x-8. \]Pour \(x=8\), on a :
\[ 8^3-11\times8^2+25\times8-8 = 512-704+200-8=0. \]Donc \(x=8\) convient.
Pour \(x=\dfrac32\), on obtient :
\[ \left(\frac32\right)^3 -11\left(\frac32\right)^2 +25\left(\frac32\right)-8 = \frac{65}{8}\ne0. \]Donc \(x=\dfrac32\) ne convient pas.
La seule solution réelle est alors :
\[ z_0=8. \]Comme \(8\) est une racine, le polynôme \(P(z)\) est divisible par :
\[ z-8. \]On cherche donc \(b\) et \(c\) tels que :
\[ P(z)=(z-8)(z^2+bz+c). \]On développe :
\[ (z-8)(z^2+bz+c) = z^3+(b-8)z^2+(c-8b)z-8c. \]On identifie avec :
\[ z^3+(2i-11)z^2+(25-19i)z-8(1-3i). \]On obtient :
\[ b-8=2i-11. \]Donc :
\[ b=-3+2i. \]Ensuite :
\[ -8c=-8(1-3i). \]Donc :
\[ c=1-3i. \]On vérifie le coefficient de \(z\) :
\[ c-8b = 1-3i-8(-3+2i) = 25-19i. \]Ainsi :
\[ P(z)=(z-8)(z^2+(-3+2i)z+1-3i). \]On résout :
\[ z^2+(-3+2i)z+1-3i=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=(-3+2i)^2-4(1-3i). \]On calcule :
\[ (-3+2i)^2=9-12i+4i^2=5-12i. \]Donc :
\[ \Delta=5-12i-4+12i=1. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{3-2i\pm1}{2}. \]On obtient :
\[ z_1=2-i \qquad\text{et}\qquad z_2=1-i. \]Exercice 58
Objectif et méthode — Exercice 58
Calculer d’abord les deux racines de l’équation, puis les choisir comme affixes de \(A\) et \(C\). Le milieu de \([AC]\) est le centre du carré. Pour obtenir les autres sommets, faire tourner autour de ce centre un demi-vecteur de la diagonale d’un quart de tour. Les deux signes possibles permutent les noms de \(B\) et \(D\), sans changer le carré. Le segment \([AC]\) est ici une diagonale du carré.
1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ (E):\ z^2-(3-4i)z-1+7i=0. \]2) Soit \(A\) et \(C\) les images des solutions de \((E)\) dans le plan complexe \(\mathcal P\) muni d’un repère orthonormé. Déterminer les affixes des points \(B\) et \(D\) du plan \(\mathcal P\) pour lesquels \(ABCD\) est un carré de diamètre \([AC]\).
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On considère :
\[ z^2-(3-4i)z-1+7i=0. \]Ici :
\[ a=1,\qquad b=-(3-4i),\qquad c=-1+7i. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Donc :
\[ \Delta=(3-4i)^2-4(-1+7i). \]On calcule :
\[ (3-4i)^2=9-24i+16i^2=-7-24i. \]Ainsi :
\[ \Delta=-7-24i+4-28i=-3-52i. \]On cherche une racine carrée de \(\Delta\). Posons :
\[ \delta=\alpha-i\beta \qquad(\alpha\ge0,\ \beta\ge0). \]On veut :
\[ \delta^2=-3-52i. \]Or :
\[ (\alpha-i\beta)^2=\alpha^2-\beta^2-2i\alpha\beta. \]Il faut donc :
\[ \alpha^2-\beta^2=-3 \qquad\text{et}\qquad 2\alpha\beta=52. \]Le module de \(\Delta\) vaut :
\[ |\Delta|=\sqrt{(-3)^2+(-52)^2}=\sqrt{2713}. \]Donc :
\[ \alpha= \sqrt{\frac{\sqrt{2713}-3}{2}} \qquad\text{et}\qquad \beta= \sqrt{\frac{\sqrt{2713}+3}{2}}. \]Avec ces valeurs, on a bien :
\[ \alpha^2-\beta^2=-3 \]et :
\[ \alpha\beta=26. \]Donc :
\[ \delta= \sqrt{\frac{\sqrt{2713}-3}{2}} -i\sqrt{\frac{\sqrt{2713}+3}{2}} \]vérifie :
\[ \delta^2=-3-52i. \]Les solutions de \((E)\) sont donc :
\[ z=\frac{3-4i\pm\delta}{2}. \]On note :
\[ z_A=\frac{3-4i+\delta}{2} \qquad\text{et}\qquad z_C=\frac{3-4i-\delta}{2}. \]Le centre du carré est le milieu de la diagonale \([AC]\). Son affixe est donc :
\[ m=\frac{z_A+z_C}{2}. \]Or :
\[ z_A+z_C=3-4i. \]Donc :
\[ m=\frac{3-4i}{2}. \]Le demi-vecteur de la diagonale \([AC]\) a pour affixe :
\[ \frac{z_C-z_A}{2}. \]Dans un carré, les deux diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu. On obtient donc les deux autres sommets en multipliant ce demi-vecteur par \(i\) et par \(-i\).
Or :
\[ z_C-z_A=-\delta. \]Les affixes des deux autres sommets sont donc :
\[ z_B=m+\frac{i}{2}(z_C-z_A) \]et :
\[ z_D=m-\frac{i}{2}(z_C-z_A). \]En remplaçant :
\[ z_B=\frac{3-4i}{2}-\frac{i\delta}{2} = \frac{3-4i-i\delta}{2}, \]et :
\[ z_D=\frac{3-4i}{2}+\frac{i\delta}{2} = \frac{3-4i+i\delta}{2}. \]Résultats essentiels
Pour résoudre :
\[ az^2+bz+c=0 \qquad(a\ne0), \]on calcule :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Si \(\delta^2=\Delta\), alors les solutions sont :
\[ z_1=\frac{-b+\delta}{2a} \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{-b-\delta}{2a}. \]Pour une équation contenant \(z^4\) et \(z^2\), on peut poser :
\[ Z=z^2. \]On résout d’abord l’équation en \(Z\), puis on revient à \(z\).
Si une équation polynomiale admet une solution connue \(z_0\), alors le polynôme est divisible par :
\[ z-z_0. \]Si \(A(z_A)\) et \(C(z_C)\) sont deux sommets opposés d’un carré, alors le centre a pour affixe :
\[ m=\frac{z_A+z_C}{2}. \]Les deux autres sommets ont pour affixes :
\[ m+\frac{i}{2}(z_C-z_A) \qquad\text{et}\qquad m-\frac{i}{2}(z_C-z_A). \]- Obtenir le lien
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