Nombres complexes : équations paramétrées et applications géométriques — Exercices 64 à 67
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 64 à 67 demandent de traiter des équations dont les coefficients peuvent dépendre d’un angle ou faire intervenir le module de l’inconnue. L’objectif est de choisir une représentation qui rende visibles les conditions du calcul. Une expression paramétrée peut cesser d’être du second degré pour une valeur particulière : ce cas doit être examiné avant d’utiliser la formule des racines.
Les premières questions combinent discriminant, identités trigonométriques et recherche d’une solution imaginaire pure. La fin de la série exploite les solutions comme affixes de points : angles orientés, triangle équilatéral, milieux et cocyclicité. Chaque interprétation géométrique repose sur des conditions précises, notamment la distinction des points et la non-nullité des dénominateurs. La série permet ainsi de travailler le lien entre une identité algébrique, la forme exponentielle d’un complexe et la configuration du plan qu’elle décrit.
Repères de cours — Paramètres, module et géométrie complexe
La formule de résolution de \(az^2+bz+c=0\) exige \(a\ne0\). Lorsque \(a\) dépend d’un paramètre, les valeurs qui l’annulent sont étudiées séparément dans l’équation initiale. Sur \(]-\pi/2;\pi/2[\), \(\cos\theta>0\) ; en revanche, \(\tan\theta=0\) pour \(\theta=0\).
Pour \(z=x+iy\), avec \(x,y\in\mathbb R\), on a \(z^2=x^2-y^2+2ixy\) et \(|z|^2=x^2+y^2\). Le module est toujours un réel positif ou nul. Une équation comportant simultanément \(z^2\) et \(|z|^2\) ne se traite donc pas comme un polynôme ordinaire en \(z\).
Le milieu de \([AB]\) a pour affixe \((a+b)/2\). Pour quatre points distincts d’affixes \(a,b,c,d\), un quotient croisé réel caractérise une configuration cocyclique ou alignée : l’alignement doit être exclu avant de conclure à l’existence d’un cercle. Les quotients doivent être définis, et les angles orientés sont lus modulo \(2\pi\).
Exercice 64
Objectif et méthode — Exercice 64
Repérer les coefficients qui peuvent s’annuler avant toute division. Dans la troisième équation, traiter \(\theta=0\) dans l’équation initiale, puis travailler avec \(\tan\theta\ne0\). Une racine carrée du discriminant peut être choisie avec un signe quelconque : les deux signes de la formule finale donnent le même ensemble de solutions.
Soit \(\theta\) un réel de l’intervalle :
\[ \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[. \]Résoudre dans \(\mathbb C\) les équations suivantes :
\[ (E_1):\ 2z^2-2(1+\cos\theta)z+1+\cos\theta=0 \] \[ (E_2):\ z^2\cos^2\theta-2z\cos^2\theta+1=0 \] \[ (E_3):\ z^2\tan^2\theta-2z\tan^3\theta+1+\tan^4\theta=0 \] \[ (E_4):\ z^2-2ze^{i\theta}+2i\sin(\theta)e^{i\theta}=0 \]Afficher la correctionMasquer la correction
On considère :
\[ 2z^2-2(1+\cos\theta)z+1+\cos\theta=0. \]On pose :
\[ c=\cos\theta \qquad\text{et}\qquad s=\sin\theta. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=\left[-2(1+c)\right]^2-4\times2\times(1+c). \]Donc :
\[ \Delta=4(1+c)^2-8(1+c). \]On factorise :
\[ \Delta=4(1+c)(1+c-2)=4(1+c)(c-1). \]Ainsi :
\[ \Delta=-4(1+c)(1-c). \]Or :
\[ (1+c)(1-c)=1-c^2=s^2. \]Donc :
\[ \Delta=-4s^2. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2is. \]Les solutions sont alors :
\[ z=\frac{2(1+c)\pm2is}{4}. \]Donc :
\[ z=\frac{1+\cos\theta\pm i\sin\theta}{2}. \]On considère :
\[ z^2\cos^2\theta-2z\cos^2\theta+1=0. \]Comme :
\[ \theta\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, \]on a :
\[ \cos\theta>0. \]Donc \(\cos\theta\ne0\), et l’équation est bien du second degré.
Le discriminant est :
\[ \Delta=(-2\cos^2\theta)^2-4\cos^2\theta. \]Donc :
\[ \Delta=4\cos^4\theta-4\cos^2\theta. \]On factorise :
\[ \Delta=4\cos^2\theta(\cos^2\theta-1). \]Or :
\[ \cos^2\theta-1=-\sin^2\theta. \]Donc :
\[ \Delta=-4\cos^2\theta\sin^2\theta. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2i\cos\theta\sin\theta. \]Les solutions sont :
\[ z= \frac{2\cos^2\theta\pm2i\cos\theta\sin\theta}{2\cos^2\theta}. \]Comme \(\cos\theta\ne0\), on simplifie :
\[ z=1\pm i\tan\theta. \]On considère :
\[ z^2\tan^2\theta-2z\tan^3\theta+1+\tan^4\theta=0. \]On pose :
\[ t=\tan\theta. \]L’équation devient :
\[ t^2z^2-2t^3z+1+t^4=0. \]Si \(t=0\), c’est-à-dire \(\theta=0\), l’équation devient :
\[ 1=0. \]Elle n’a donc aucune solution dans ce cas.
On suppose maintenant :
\[ t\ne0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(-2t^3)^2-4t^2(1+t^4). \]Donc :
\[ \Delta=4t^6-4t^2-4t^6=-4t^2. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2it. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{2t^3\pm2it}{2t^2}. \]Comme \(t\ne0\), on obtient :
\[ z=t\pm\frac{i}{t}. \]En revenant à \(\theta\), cela donne :
\[ z=\tan\theta\pm\frac{i}{\tan\theta}. \]On considère :
\[ z^2-2ze^{i\theta}+2i\sin(\theta)e^{i\theta}=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(-2e^{i\theta})^2-4\times1\times2i\sin\theta\,e^{i\theta}. \]Donc :
\[ \Delta=4e^{2i\theta}-8i\sin\theta\,e^{i\theta}. \]On factorise :
\[ \Delta=4e^{i\theta}\left(e^{i\theta}-2i\sin\theta\right). \]Or :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]Donc :
\[ e^{i\theta}-2i\sin\theta = \cos\theta-i\sin\theta = e^{-i\theta}. \]Ainsi :
\[ \Delta=4e^{i\theta}e^{-i\theta}=4. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{2e^{i\theta}\pm2}{2}. \]Donc :
\[ z=e^{i\theta}+1 \quad\text{ou}\quad z=e^{i\theta}-1. \]Exercice 65
Objectif et méthode — Exercice 65
Remplacer l’inconnue par \(iy\), avec \(y\) réel, et identifier les deux parties de l’égalité. Vérifier le candidat dans l’équation complète. La somme des racines d’une équation monique permet ensuite de retrouver l’autre racine, mais cette propriété doit être appliquée aux coefficients de l’équation initiale.
On considère dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\) suivante :
\[ z^2-\left[4+(1+\sqrt2)i\right]z+4\sqrt2\,i-\sqrt2=0. \]1) Montrer que \((E)\) admet une solution imaginaire pure qu’on déterminera.
2) En déduire l’autre solution de l’équation \((E)\).
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On note :
\[ P(z)=z^2-\left[4+(1+\sqrt2)i\right]z+4\sqrt2\,i-\sqrt2. \]Une solution imaginaire pure s’écrit :
\[ z=iy \qquad(y\in\mathbb R). \]On remplace \(z\) par \(iy\) :
\[ P(iy)=(iy)^2-\left[4+(1+\sqrt2)i\right]iy+4\sqrt2\,i-\sqrt2. \]On calcule :
\[ (iy)^2=-y^2. \]Et :
\[ \left[4+(1+\sqrt2)i\right]iy = 4iy+(1+\sqrt2)i^2y = 4iy-(1+\sqrt2)y. \]Donc :
\[ P(iy) = -y^2-4iy+(1+\sqrt2)y+4\sqrt2\,i-\sqrt2. \]On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ P(iy) = \left[-y^2+(1+\sqrt2)y-\sqrt2\right] +i\left[-4y+4\sqrt2\right]. \]Pour avoir \(P(iy)=0\), il faut en particulier :
\[ -4y+4\sqrt2=0. \]Donc :
\[ y=\sqrt2. \]On vérifie alors la partie réelle :
\[ -(\sqrt2)^2+(1+\sqrt2)\sqrt2-\sqrt2 = -2+\sqrt2+2-\sqrt2=0. \]Donc :
\[ z_0=i\sqrt2. \]Dans une équation du second degré :
\[ z^2-Sz+P=0, \]la somme des deux solutions est \(S\).
Ici, la somme des deux solutions est :
\[ 4+(1+\sqrt2)i. \]Comme une solution est :
\[ z_0=i\sqrt2, \]l’autre solution \(z_1\) vérifie :
\[ z_0+z_1=4+(1+\sqrt2)i. \]Donc :
\[ z_1=4+(1+\sqrt2)i-i\sqrt2. \]Ainsi :
\[ z_1=4+i. \]Exercice 66
Objectif et méthode — Exercice 66
Écrire \(z=x+iy\) avant de remplacer \(z^2\) et \(|z|^2\). La partie imaginaire conduit à une distinction de cas sur \(x\) et \(y\) ; chaque cas doit ensuite satisfaire la partie réelle. Pour chaque complexe trouvé, utiliser un module positif et choisir un angle dont le sinus et le cosinus ont les bons signes.
Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation :
\[ 4z^2+8|z^2|-3=0. \]Puis écrire les solutions sous forme trigonométrique.
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On pose :
\[ z=x+iy \qquad(x,y\in\mathbb R). \]Alors :
\[ z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy. \]De plus :
\[ |z^2|=|z|^2=x^2+y^2. \]L’équation devient :
\[ 4(x^2-y^2+2ixy)+8(x^2+y^2)-3=0. \]On développe :
\[ 12x^2+4y^2-3+8ixy=0. \]Donc :
\[ \begin{cases} 12x^2+4y^2-3=0,\\ 8xy=0. \end{cases} \]La deuxième équation donne :
\[ xy=0. \]Il y a donc deux cas.
La première équation devient :
\[ 12x^2-3=0. \]Donc :
\[ x^2=\frac14. \]Ainsi :
\[ x=\frac12 \quad\text{ou}\quad x=-\frac12. \]On obtient :
\[ z=\frac12 \quad\text{ou}\quad z=-\frac12. \]La première équation devient :
\[ 4y^2-3=0. \]Donc :
\[ y^2=\frac34. \]Ainsi :
\[ y=\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{ou}\quad y=-\frac{\sqrt3}{2}. \]On obtient :
\[ z=\frac{\sqrt3}{2}i \quad\text{ou}\quad z=-\frac{\sqrt3}{2}i. \]Pour \(z=\dfrac12\), le module est \(\dfrac12\) et un argument est \(0\). Donc :
\[ \frac12= \frac12(\cos0+i\sin0). \]Pour \(z=-\dfrac12\), le module est \(\dfrac12\) et un argument est \(\pi\). Donc :
\[ -\frac12= \frac12(\cos\pi+i\sin\pi). \]Pour \(z=\dfrac{\sqrt3}{2}i\), le module est \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) et un argument est \(\dfrac{\pi}{2}\). Donc :
\[ \frac{\sqrt3}{2}i = \frac{\sqrt3}{2} \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right). \]Pour \(z=-\dfrac{\sqrt3}{2}i\), le module est \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) et un argument est \(-\dfrac{\pi}{2}\). Donc :
\[ -\frac{\sqrt3}{2}i = \frac{\sqrt3}{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). \]Exercice 67
Objectif et méthode — Exercice 67
Commencer par la racine réelle indépendante du paramètre, puis factoriser le polynôme. Pour l’angle, utiliser les différences d’affixes des vecteurs ; les identités portant sur \(1+e^{i\theta}\) simplifient le quotient. Pour la cocyclicité, calculer le quotient demandé, vérifier les dénominateurs, puis exclure l’alignement : ici \(A\) et \(O\) sont sur l’axe réel tandis que \(\operatorname{Im}(z_E)=\sin\theta>0\) sur \(]0;\pi[\).
On considère dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\) suivante :
\[ (E):\ z^3+(4\cos\theta-2)z^2+(4-8\cos\theta)z-8=0 \]où \(\theta\) est un réel de l’intervalle :
\[ ]0;\pi[. \]1) a) Résoudre l’équation \((E)\) sachant qu’elle admet une solution réelle indépendante de \(\theta\).
b) Écrire les solutions de l’équation \((E)\) sous forme exponentielle.
2) On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, les points suivants :
\[ A(2),\qquad B(-2e^{-i\theta}),\qquad C(-2e^{i\theta}). \]a) Déterminer une mesure de l’angle :
\[ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right). \]b) Déterminer la valeur de \(\theta\) pour laquelle \(ABC\) est un triangle équilatéral direct.
c) Déterminer \(z_E\) et \(z_F\), affixes des points \(E\) et \(F\) respectivement, milieux des segments \([AB]\) et \([AC]\).
d) Montrer que :
\[ \frac{z_E}{z_F}\times\frac{z_F-z_A}{z_E-z_A}\in\mathbb R \]et en déduire que les points \(A\), \(O\), \(E\) et \(F\) sont cocycliques.
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On note :
\[ P(z)=z^3+(4\cos\theta-2)z^2+(4-8\cos\theta)z-8. \]L’énoncé indique qu’il existe une solution réelle indépendante de \(\theta\). On teste naturellement :
\[ z=2. \]On calcule :
\[ P(2)=8+(4\cos\theta-2)\times4+(4-8\cos\theta)\times2-8. \]Donc :
\[ P(2)=8+16\cos\theta-8+8-16\cos\theta-8=0. \]Ainsi :
\[ z=2 \]est une solution de l’équation \((E)\).
Donc \(P(z)\) est divisible par :
\[ z-2. \]On cherche une factorisation sous la forme :
\[ P(z)=(z-2)(z^2+bz+c). \]En développant :
\[ (z-2)(z^2+bz+c) = z^3+(b-2)z^2+(c-2b)z-2c. \]On identifie avec \(P(z)\). On obtient :
\[ b-2=4\cos\theta-2. \]Donc :
\[ b=4\cos\theta. \]Et :
\[ -2c=-8. \]Donc :
\[ c=4. \]Ainsi :
\[ P(z)=(z-2)(z^2+4\cos\theta\,z+4). \]L’équation \((E)\) devient :
\[ (z-2)(z^2+4\cos\theta\,z+4)=0. \]Donc :
\[ z=2 \]ou :
\[ z^2+4\cos\theta\,z+4=0. \]Pour le second facteur, le discriminant est :
\[ \Delta=(4\cos\theta)^2-16. \]Donc :
\[ \Delta=16\cos^2\theta-16 = -16\sin^2\theta. \]Comme :
\[ \theta\in]0;\pi[, \]on a :
\[ \sin\theta>0. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est donc :
\[ \delta=4i\sin\theta. \]Les deux solutions du second facteur sont :
\[ z=\frac{-4\cos\theta\pm4i\sin\theta}{2}. \]Donc :
\[ z=-2\cos\theta\pm2i\sin\theta. \]On obtient alors :
\[ z=-2e^{-i\theta} \quad\text{ou}\quad z=-2e^{i\theta}. \]La première solution s’écrit :
\[ 2=2e^{i0}. \]Ensuite :
\[ -2e^{-i\theta} = 2e^{i\pi}e^{-i\theta} = 2e^{i(\pi-\theta)}. \]Enfin :
\[ -2e^{i\theta} = 2e^{i\pi}e^{i\theta} = 2e^{i(\pi+\theta)}. \]Les affixes des points sont :
\[ z_A=2,\qquad z_B=-2e^{-i\theta},\qquad z_C=-2e^{i\theta}. \]L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
\[ z_B-z_A=-2e^{-i\theta}-2=-2(1+e^{-i\theta}). \]Or :
\[ 1+e^{-i\theta} = 2\cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]Donc :
\[ z_B-z_A = -4\cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]De même :
\[ z_C-z_A=-2e^{i\theta}-2=-2(1+e^{i\theta}). \]Or :
\[ 1+e^{i\theta} = 2\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\frac{\theta}{2}}. \]Donc :
\[ z_C-z_A = -4\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\frac{\theta}{2}}. \]Comme \(\theta\in]0;\pi[\), on a :
\[ \cos\frac{\theta}{2}>0. \]On calcule alors :
\[ \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{-4\cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\theta}{2}}} {-4\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\theta}{2}}}. \]Donc :
\[ \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\theta}. \]Une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\) est donc :
\[ \arg(e^{i\theta})=\theta\ [2\pi]. \]On remarque d’abord que :
\[ AB=|z_B-z_A| = 4\cos\frac{\theta}{2} \]et :
\[ AC=|z_C-z_A| = 4\cos\frac{\theta}{2}. \]Donc :
\[ AB=AC. \]Pour que \(ABC\) soit un triangle équilatéral direct, il faut que :
\[ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]. \]Or on a trouvé :
\[ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\theta\ [2\pi]. \]Comme \(\theta\in]0;\pi[\), on obtient :
\[ \theta=\frac{\pi}{3}. \]On garde ici :
\[ \theta\in]0;\pi[. \]Les affixes des points sont :
\[ z_A=2,\qquad z_B=-2e^{-i\theta},\qquad z_C=-2e^{i\theta}. \]Le point \(E\) est le milieu de \([AB]\). Donc :
\[ z_E=\frac{z_A+z_B}{2}. \]Ainsi :
\[ z_E=\frac{2-2e^{-i\theta}}{2}=1-e^{-i\theta}. \]Le point \(F\) est le milieu de \([AC]\). Donc :
\[ z_F=\frac{z_A+z_C}{2}. \]Ainsi :
\[ z_F=\frac{2-2e^{i\theta}}{2}=1-e^{i\theta}. \]On doit montrer que :
\[ \frac{z_E}{z_F}\times\frac{z_F-z_A}{z_E-z_A}\in\mathbb R. \]On utilise les affixes obtenues :
\[ z_E=1-e^{-i\theta}, \qquad z_F=1-e^{i\theta}, \qquad z_A=2. \]D’abord :
\[ \frac{z_E}{z_F} = \frac{1-e^{-i\theta}}{1-e^{i\theta}}. \]Or :
\[ 1-e^{-i\theta} = 2i\sin\frac{\theta}{2}\,e^{-i\frac{\theta}{2}}, \]et :
\[ 1-e^{i\theta} = -2i\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i\frac{\theta}{2}}. \]Comme \(\theta\in]0;\pi[\), on a :
\[ \sin\frac{\theta}{2}>0. \]Donc :
\[ \frac{z_E}{z_F} = -e^{-i\theta}. \]Ensuite :
\[ z_F-z_A=1-e^{i\theta}-2=-1-e^{i\theta}, \]et :
\[ z_E-z_A=1-e^{-i\theta}-2=-1-e^{-i\theta}. \]Ainsi :
\[ \frac{z_F-z_A}{z_E-z_A} = \frac{-1-e^{i\theta}}{-1-e^{-i\theta}} = \frac{1+e^{i\theta}}{1+e^{-i\theta}}. \]Or :
\[ 1+e^{i\theta} = 2\cos\frac{\theta}{2}\,e^{i\frac{\theta}{2}}, \]et :
\[ 1+e^{-i\theta} = 2\cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]Comme \(\theta\in]0;\pi[\), on a :
\[ \cos\frac{\theta}{2}>0. \]Donc :
\[ \frac{z_F-z_A}{z_E-z_A}=e^{i\theta}. \]Par conséquent :
\[ \frac{z_E}{z_F}\times\frac{z_F-z_A}{z_E-z_A} = \left(-e^{-i\theta}\right)e^{i\theta} = -1. \]Le critère complexe de cocyclicité permet alors de conclure que les quatre points \(A\), \(O\), \(E\) et \(F\) appartiennent à un même cercle.
Résultats essentiels
Pour résoudre :
\[ az^2+bz+c=0 \qquad(a\ne0), \]on calcule :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Si \(\delta^2=\Delta\), alors :
\[ z=\frac{-b\pm\delta}{2a}. \]Si \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) et \(C(z_C)\), alors :
\[ AB=|z_B-z_A|. \]Une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\) est :
\[ \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]. \]Si \(M\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}. \]Pour quatre points distincts \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), l’expression :
\[ \frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}\times \frac{z_B-z_D}{z_A-z_D} \]réelle permet de reconnaître une configuration cocyclique ou alignée. Dans les exercices usuels, on l’utilise pour montrer que quatre points appartiennent à un même cercle.
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