Nombres complexes : équations, systèmes et solutions trigonométriques — Exercices 59 à 63
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 59 à 63 mettent en relation plusieurs façons de résoudre une équation complexe. Une racine réelle annoncée par l’énoncé permet de réduire une équation cubique au second degré ; un système donnant une somme et un produit peut être remplacé par une équation auxiliaire ; une expression contenant l’inverse de l’inconnue nécessite d’abord de préciser son domaine.
La série comporte également un paramètre trigonométrique et une application à un triangle rectangle. Il faut donc adapter les conclusions à la question posée : distinguer une racine réelle double de deux racines réelles distinctes, présenter les solutions d’un système comme des couples ordonnés, ou contrôler qu’un quotient géométrique est bien défini. La rectification déjà indiquée dans l’exercice 59 concerne la factorisation demandée ; elle est indispensable pour travailler sur le polynôme de la question initiale.
Repères de cours — Racines particulières et systèmes somme-produit
Pour une équation du second degré à coefficients réels, \(\Delta>0\) donne deux racines réelles distinctes, \(\Delta=0\) une racine réelle double, et \(\Delta\lt 0\) deux racines complexes conjuguées non réelles. Une discussion selon un paramètre doit conserver ces trois possibilités, même si la question ne demande que l’une d’elles.
Si \(z_1+z_2=S\) et \(z_1z_2=P\), les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont les racines de \(X^2-SX+P=0\). Réciproquement, deux racines de cette équation, comptées avec leur multiplicité, ont pour somme \(S\) et pour produit \(P\). Si elles sont distinctes, le système possède deux couples ordonnés, obtenus en les permutant.
Un quotient de deux affixes de vecteurs non nuls est imaginaire pur non nul lorsque ces vecteurs sont perpendiculaires. Pour une équation contenant \(1/z\), la condition \(z\ne0\) précède toute multiplication par \(z\). Enfin, une forme trigonométrique s’écrit avec un module positif ; un argument est déterminé modulo \(2\pi\).
Exercice 59
Objectif et méthode — Exercice 59
Rechercher la racine réelle en annulant simultanément les deux parties du polynôme. Dans la factorisation, conserver le coefficient dominant \(i\) : le produit de deux facteurs moniques ne peut pas, à lui seul, avoir ce coefficient dominant. Identifier tous les coefficients, puis vérifier la factorisation avant de résoudre le facteur du second degré.
On considère dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ (E):\ iz^3-2(\sqrt3+i)z^2-4(-\sqrt3+i)z+8i=0. \]1) Montrer que l’équation \((E)\) admet une solution réelle \(z_0\).
2) Déterminer les nombres complexes \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(z\in\mathbb C\) :
\[ iz^3-2(\sqrt3+i)z^2-4(-\sqrt3+i)z+8i = i(z-z_0)(z^2+bz+c). \]3) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).
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On note :
\[ P(z)=iz^3-2(\sqrt3+i)z^2-4(-\sqrt3+i)z+8i. \]Comme on cherche une solution réelle, on pose :
\[ z=x \qquad(x\in\mathbb R). \]Alors :
\[ P(x)=ix^3-2(\sqrt3+i)x^2-4(-\sqrt3+i)x+8i. \]On développe :
\[ P(x)=ix^3-2\sqrt3x^2-2ix^2+4\sqrt3x-4ix+8i. \]On regroupe la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ P(x)=(-2\sqrt3x^2+4\sqrt3x)+i(x^3-2x^2-4x+8). \]Pour avoir \(P(x)=0\), il faut :
\[ \begin{cases} -2\sqrt3x^2+4\sqrt3x=0,\\ x^3-2x^2-4x+8=0. \end{cases} \]La première équation donne :
\[ -2\sqrt3x(x-2)=0. \]Donc :
\[ x=0 \quad\text{ou}\quad x=2. \]On vérifie dans la partie imaginaire :
\[ x^3-2x^2-4x+8. \]Pour \(x=0\), on obtient :
\[ 8\ne0. \]Donc \(x=0\) ne convient pas.
Pour \(x=2\), on obtient :
\[ 2^3-2\times2^2-4\times2+8 = 8-8-8+8=0. \]Donc :
\[ z_0=2. \]On cherche \(b\) et \(c\) tels que :
\[ P(z)=i(z-2)(z^2+bz+c). \]On développe d’abord :
\[ (z-2)(z^2+bz+c) = z^3+(b-2)z^2+(c-2b)z-2c. \]Donc :
\[ i(z-2)(z^2+bz+c) = iz^3+i(b-2)z^2+i(c-2b)z-2ic. \]On identifie avec :
\[ iz^3-2(\sqrt3+i)z^2-4(-\sqrt3+i)z+8i. \]Pour le coefficient de \(z^2\), on a :
\[ i(b-2)=-2(\sqrt3+i). \]Donc :
\[ b-2=\frac{-2(\sqrt3+i)}{i}. \]Comme \(\frac1i=-i\), on obtient :
\[ b-2=(-2\sqrt3-2i)(-i)=-2+2\sqrt3\,i. \]Ainsi :
\[ b=2\sqrt3\,i. \]Pour le terme constant, on a :
\[ -2ic=8i. \]Donc :
\[ c=-4. \]On vérifie le coefficient de \(z\) :
\[ i(c-2b) = i(-4-4\sqrt3\,i) = 4\sqrt3-4i = -4(-\sqrt3+i). \]On a :
\[ P(z)=i(z-2)(z^2+2\sqrt3\,iz-4). \]Comme \(i\ne0\), l’équation \((E)\) équivaut à :
\[ (z-2)(z^2+2\sqrt3\,iz-4)=0. \]Donc :
\[ z=2 \]ou :
\[ z^2+2\sqrt3\,iz-4=0. \]Pour l’équation du second degré, le discriminant est :
\[ \Delta=(2\sqrt3\,i)^2-4(-4). \]Donc :
\[ \Delta=-12+16=4. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{-2\sqrt3\,i\pm2}{2}. \]On obtient :
\[ z=1-\sqrt3\,i \quad\text{ou}\quad z=-1-\sqrt3\,i. \]Exercice 60
Objectif et méthode — Exercice 60
Après la recherche de la racine réelle, factoriser puis résoudre l’équation restante. Pour la question géométrique, choisir explicitement une attribution des trois racines aux points. Le quotient doit porter sur deux vecteurs issus du même sommet ; sa nature permet ensuite d’identifier le sommet de l’angle droit.
1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ z^3-(2+3i)z^2+(4+6i)z-8=0, \]sachant qu’elle admet une solution réelle.
2) Soit \(A\), \(B\) et \(C\) les images des solutions de \((E)\) dans le plan complexe \(\mathcal P\) muni d’un repère orthonormé. Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.
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On note :
\[ P(z)=z^3-(2+3i)z^2+(4+6i)z-8. \]On cherche une solution réelle. On pose donc :
\[ z=x \qquad(x\in\mathbb R). \]Alors :
\[ P(x)=x^3-(2+3i)x^2+(4+6i)x-8. \]On sépare la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ P(x)= (x^3-2x^2+4x-8) +i(-3x^2+6x). \]Pour avoir \(P(x)=0\), il faut :
\[ \begin{cases} x^3-2x^2+4x-8=0,\\ -3x^2+6x=0. \end{cases} \]La deuxième équation donne :
\[ -3x(x-2)=0. \]Donc :
\[ x=0 \quad\text{ou}\quad x=2. \]Pour \(x=0\), la partie réelle vaut :
\[ -8\ne0. \]Donc \(x=0\) ne convient pas.
Pour \(x=2\), on obtient :
\[ 2^3-2\times2^2+4\times2-8 = 8-8+8-8=0. \]Donc la solution réelle est :
\[ z_0=2. \]Comme \(2\) est une racine, on écrit :
\[ P(z)=(z-2)(z^2+bz+c). \]On développe :
\[ (z-2)(z^2+bz+c) = z^3+(b-2)z^2+(c-2b)z-2c. \]On identifie avec :
\[ z^3-(2+3i)z^2+(4+6i)z-8. \]On obtient :
\[ b-2=-(2+3i). \]Donc :
\[ b=-3i. \]Et :
\[ -2c=-8. \]Donc :
\[ c=4. \]Ainsi :
\[ P(z)=(z-2)(z^2-3iz+4). \]On résout :
\[ z^2-3iz+4=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(-3i)^2-4\times4=-9-16=-25. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=5i. \]Donc :
\[ z=\frac{3i\pm5i}{2}. \]On obtient :
\[ z=4i \quad\text{ou}\quad z=-i. \]À un renommage près, on peut prendre :
\[ z_A=2,\qquad z_B=4i,\qquad z_C=-i. \]L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
\[ z_B-z_A=4i-2=-2+4i. \]L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est :
\[ z_C-z_A=-i-2=-2-i. \]On calcule le quotient :
\[ \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A} = \frac{-2+4i}{-2-i}. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ \frac{-2+4i}{-2-i} = \frac{(-2+4i)(-2+i)}{(-2-i)(-2+i)}. \]Le numérateur vaut :
\[ (-2+4i)(-2+i)=4-2i-8i+4i^2=-10i. \]Le dénominateur vaut :
\[ (-2)^2+1^2=5. \]Donc :
\[ \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=-2i. \]Ce quotient est imaginaire pur non nul. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont donc perpendiculaires.
Exercice 61
Objectif et méthode — Exercice 61
Simplifier le discriminant à l’aide de la formule du cosinus de l’angle double. Traduire ensuite la condition de signe en une condition sur \(4\theta\), en tenant compte de l’intervalle imposé à \(\theta\). Pour deux racines réelles distinctes, les bornes où le discriminant s’annule sont exclues ; elles correspondent à une racine double. Dans la seconde question, remplacer le paramètre dans l’équation initiale avant de recalculer les coefficients.
Soit \(\theta\) un réel de l’intervalle :
\[ \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[. \]On considère dans \(\mathbb C\) l’équation suivante :
\[ (E):\ \frac12 z^2+2z\cos(2\theta)+1+2\cos(4\theta)=0. \]1) Déterminer les valeurs de \(\theta\) pour lesquelles \((E)\) a deux solutions réelles.
2) Résoudre l’équation \((E)\) lorsque :
\[ \theta=-\frac{\pi}{12}. \]Afficher la correctionMasquer la correction
L’équation est du second degré, avec :
\[ a=\frac12,\qquad b=2\cos(2\theta),\qquad c=1+2\cos(4\theta). \]Les coefficients sont réels. L’équation admet deux solutions réelles distinctes lorsque son discriminant est strictement positif.
On calcule :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Donc :
\[ \Delta= \left(2\cos(2\theta)\right)^2 - 4\times\frac12\times(1+2\cos(4\theta)). \]Ainsi :
\[ \Delta=4\cos^2(2\theta)-2-4\cos(4\theta). \]On utilise :
\[ \cos(4\theta)=2\cos^2(2\theta)-1. \]Alors :
\[ \Delta = 4\cos^2(2\theta)-2-4(2\cos^2(2\theta)-1). \]Donc :
\[ \Delta = 4\cos^2(2\theta)-2-8\cos^2(2\theta)+4 = 2-4\cos^2(2\theta). \]Or :
\[ 2\cos^2(2\theta)-1=\cos(4\theta). \]Donc :
\[ \Delta=-2\cos(4\theta). \]On veut :
\[ \Delta>0. \]Cela équivaut à :
\[ -2\cos(4\theta)>0, \]donc :
\[ \cos(4\theta)\lt 0. \]Comme :
\[ \theta\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, \]on obtient :
\[ 4\theta\in]-2\pi;2\pi[. \]Sur cet intervalle, \(\cos(4\theta)\lt 0\) lorsque :
\[ 4\theta\in\left]-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right[ \quad\text{ou}\quad 4\theta\in\left]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right[. \]En divisant par \(4\), on obtient :
\[ \theta\in\left]-\frac{3\pi}{8};-\frac{\pi}{8}\right[ \quad\text{ou}\quad \theta\in\left]\frac{\pi}{8};\frac{3\pi}{8}\right[. \]On a :
\[ 2\theta=-\frac{\pi}{6} \quad\text{et}\quad 4\theta=-\frac{\pi}{3}. \]Donc :
\[ \cos(2\theta)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}, \]et :
\[ \cos(4\theta)=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. \]L’équation devient :
\[ \frac12 z^2+2z\times\frac{\sqrt3}{2}+1+2\times\frac12=0. \]Donc :
\[ \frac12 z^2+\sqrt3z+2=0. \]En multipliant par \(2\), on obtient :
\[ z^2+2\sqrt3z+4=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(2\sqrt3)^2-16=12-16=-4. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2i. \]Donc :
\[ z=\frac{-2\sqrt3\pm2i}{2}. \]Ainsi :
\[ z=-\sqrt3+i \quad\text{ou}\quad z=-\sqrt3-i. \]Exercice 62
Objectif et méthode — Exercice 62
Former l’équation dont les racines ont la somme et le produit donnés. Vérifier les deux valeurs obtenues par leur somme et leur produit, puis écrire les couples ordonnés : l’ensemble des racines d’une équation et l’ensemble des solutions d’un système ne sont pas présentés de la même manière.
Résoudre dans \(\mathbb C^2\) les systèmes suivants :
\[ (S_1): \begin{cases} z_1+z_2=4,\\ z_1z_2=7-4i, \end{cases} \qquad (S_2): \begin{cases} z_1+z_2=-2+i,\\ z_1z_2=9+13i. \end{cases} \]Afficher la correctionMasquer la correction
Si \(z_1+z_2=4\) et \(z_1z_2=7-4i\), alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les deux racines de l’équation :
\[ X^2-4X+7-4i=0. \]On calcule le discriminant :
\[ \Delta=(-4)^2-4(7-4i). \]Donc :
\[ \Delta=16-28+16i=-12+16i. \]On remarque que :
\[ (2+4i)^2=4+16i+16i^2=-12+16i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=2+4i. \]Les deux racines sont :
\[ X=\frac{4\pm(2+4i)}{2}. \]On obtient :
\[ X_1=3+2i \qquad\text{et}\qquad X_2=1-2i. \]Comme \(z_1\) et \(z_2\) jouent des rôles symétriques, les solutions du système sont les deux couples :
Si :
\[ z_1+z_2=-2+i \qquad\text{et}\qquad z_1z_2=9+13i, \]alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les deux racines de l’équation :
\[ X^2-(-2+i)X+9+13i=0. \]Donc :
\[ X^2+(2-i)X+9+13i=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(2-i)^2-4(9+13i). \]On calcule :
\[ (2-i)^2=4-4i+i^2=3-4i. \]Donc :
\[ \Delta=3-4i-36-52i=-33-56i. \]On remarque que :
\[ (4-7i)^2=16-56i+49i^2=-33-56i. \]Donc une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ \delta=4-7i. \]Les deux racines sont :
\[ X=\frac{-(2-i)\pm(4-7i)}{2}. \]C’est-à-dire :
\[ X=\frac{-2+i\pm(4-7i)}{2}. \]On obtient :
\[ X_1=1-3i \qquad\text{et}\qquad X_2=-3+4i. \]Les solutions du système sont donc les deux couples :
Exercice 63
Objectif et méthode — Exercice 63
Préciser \(z\ne0\), puis multiplier l’équation par \(z\). Les racines du second degré doivent être vérifiées comme non nulles pour qu’elles soient admissibles dans l’équation initiale. Pour l’écriture trigonométrique, calculer ou reconnaître le module et identifier conjointement le cosinus et le sinus de l’argument.
Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation :
\[ z+\frac1z=\sqrt3. \]Puis écrire les solutions sous forme trigonométrique.
Afficher la correctionMasquer la correction
L’expression \(\dfrac1z\) impose :
\[ z\ne0. \]On part de :
\[ z+\frac1z=\sqrt3. \]Comme \(z\ne0\), on multiplie les deux membres par \(z\) :
\[ z^2+1=\sqrt3z. \]Donc :
\[ z^2-\sqrt3z+1=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(-\sqrt3)^2-4=3-4=-1. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ i. \]Les solutions sont donc :
\[ z=\frac{\sqrt3\pm i}{2}. \]Ainsi :
\[ z_1=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i. \]Pour \(z_1\), on reconnaît :
\[ \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6} \qquad\text{et}\qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6}. \]Donc :
\[ z_1=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}. \]Pour \(z_2\), on a :
\[ \frac{\sqrt3}{2}=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \qquad\text{et}\qquad -\frac12=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right). \]Donc :
\[ z_2=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right). \]Résultats essentiels
Si \(z_0\) est une solution de \(P(z)=0\), alors le polynôme \(P\) est divisible par :
\[ z-z_0. \]Pour résoudre :
\[ az^2+bz+c=0 \qquad(a\ne0), \]on calcule :
\[ \Delta=b^2-4ac. \]Si \(\delta^2=\Delta\), alors :
\[ z=\frac{-b\pm\delta}{2a}. \]Si :
\[ z_1+z_2=S \qquad\text{et}\qquad z_1z_2=P, \]alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les racines de :
\[ X^2-SX+P=0. \]Pour trois points \(A\), \(B\), \(C\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont perpendiculaires lorsque :
\[ \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in i\mathbb R^*. \]Un nombre complexe de module \(1\) et d’argument \(\theta\) s’écrit :
\[ \cos\theta+i\sin\theta. \]- Obtenir le lien
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