Nombres complexes : exponentielle et formules trigonométriques — Exercices 51 et 52
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 51 et 52 utilisent les nombres complexes pour relier plusieurs écritures d’une même information trigonométrique. Une expression comportant une tangente, un quotient complexe et une exponentielle peut sembler difficile à comparer directement. Le choix de la représentation adaptée permet pourtant de passer de l’une à l’autre sans multiplier les développements.
Dans l’exercice 51, la tangente de l’angle moitié conduit à des expressions rationnelles du sinus et du cosinus. Il faut commencer par comprendre la restriction sur l’angle, puis distinguer la recherche d’une écriture exponentielle de celle d’une forme algébrique. L’exercice 52 rassemble deux égalités réelles dans une égalité complexe : le module des trois nombres introduits devient alors une information décisive. Ces situations entraînent à choisir un outil, à vérifier son domaine d’application et à identifier exactement ce qu’une égalité complexe permet de conclure.
Repères de cours — Exponentielle, conjugaison et identification
Pour tout réel \(u\), on a \(e^{iu}=\cos u+i\sin u\), \(|e^{iu}|=1\) et \(\overline{e^{iu}}=e^{-iu}\). Les produits et quotients d’exponentielles se calculent en additionnant ou en soustrayant leurs angles. En particulier, \((e^{iu})^2=e^{2iu}\).
Si \(|a|=1\), alors \(a\ne0\) et \(a\overline a=1\), d’où \(\overline a=1/a\). La condition de module 1 doit être établie avant de remplacer un conjugué par un inverse. Pour trois complexes, la conjugaison d’une somme s’effectue terme à terme.
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires respectives sont égales. Pour obtenir la forme algébrique de \(u/v\), avec \(v\ne0\), on multiplie par \(\overline v/\overline v\) : le dénominateur devient le réel strictement positif \(|v|^2\).
Exercice 51
Objectif et méthode — Exercice 51
Vérifier d’abord que \(\cos(\theta/2)\ne0\), puis que \(1-it\ne0\) pour \(t\in\mathbb R\). Les écritures de \(1+it\) et \(1-it\) avec les sinus et cosinus de l’angle moitié font apparaître deux exponentielles d’angles opposés. Pour la seconde partie, développer le quotient après multiplication par le conjugué, puis identifier les deux coordonnées du complexe. Il faut conserver la même valeur de \(t\) dans les différentes étapes.
Soit \(\theta\) un réel tel que :
\[ \theta\ne \pi\ [2\pi], \]et soit :
\[ t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right). \]1) Montrer que :
\[ \frac{1+it}{1-it}=e^{i\theta}. \]2) a) Montrer que :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2}{1+t^2} +i\frac{2t}{1+t^2}. \]b) En déduire l’expression de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) en fonction de \(t\).
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On a :
\[ t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right). \]La tangente est définie lorsque :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\ne0. \]Or :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=0 \Longleftrightarrow \frac{\theta}{2}\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi] \Longleftrightarrow \theta\equiv\pi\ [2\pi]. \]Comme \(\theta\ne\pi\ [2\pi]\), on a bien :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\ne0. \]Donc \(t\) est bien défini.
Comme :
\[ t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}, \]on obtient :
\[ 1+it = 1+i\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \]On met au même dénominateur :
\[ 1+it = \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) +i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \]De même :
\[ 1-it = 1-i\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} = \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \]Donc :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{ \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} } { \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} }. \]Les dénominateurs \(\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) se simplifient :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) } { \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) }. \]Avec la notation exponentielle :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = e^{i\frac{\theta}{2}}, \]et :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]Alors :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{e^{i\frac{\theta}{2}}}{e^{-i\frac{\theta}{2}}} = e^{i\frac{\theta}{2}-\left(-i\frac{\theta}{2}\right)} = e^{i\theta}. \]On part du quotient :
\[ \frac{1+it}{1-it}. \]Pour obtenir une forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Le conjugué de \(1-it\) est :
\[ 1+it. \]Donc :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{(1+it)(1+it)}{(1-it)(1+it)}. \]Calculons le dénominateur :
\[ (1-it)(1+it)=1-(it)^2. \]Or :
\[ (it)^2=i^2t^2=-t^2. \]Donc :
\[ (1-it)(1+it)=1+t^2. \]Calculons maintenant le numérateur :
\[ (1+it)^2=1+2it+(it)^2. \]Comme \((it)^2=-t^2\), on obtient :
\[ (1+it)^2=1-t^2+2it. \]Ainsi :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2+2it}{1+t^2}. \]On sépare la partie réelle et la partie imaginaire :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2}{1+t^2} + i\frac{2t}{1+t^2}. \]D’après la première question :
\[ \frac{1+it}{1-it}=e^{i\theta}. \]Or :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]D’après la question 2.a :
\[ \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2}{1+t^2} +i\frac{2t}{1+t^2}. \]Donc :
\[ \cos\theta+i\sin\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} +i\frac{2t}{1+t^2}. \]Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. Ainsi :
Exercice 52
Objectif et méthode — Exercice 52
Introduire trois complexes de module 1 permet de réunir les deux hypothèses dans une seule égalité. La conjugaison apporte une seconde relation, utilisable parce que ces complexes sont non nuls. Avant de développer le carré de leur somme, observer le rôle des produits croisés : une somme nulle n’entraîne pas, pour des complexes arbitraires, que la somme de leurs carrés soit nulle. Le module 1 est ici une hypothèse essentielle.
Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) trois réels tels que :
\[ \begin{cases} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\\ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0. \end{cases} \]Montrer que :
\[ \begin{cases} \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)=0,\\ \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=0. \end{cases} \]Afficher la correctionMasquer la correction
On utilise :
\[ e^{ix}=\cos x+i\sin x. \]Posons :
\[ a=e^{i\alpha},\qquad b=e^{i\beta},\qquad c=e^{i\gamma}. \]Alors :
\[ a+b+c = \left(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\right) + i\left(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\right). \]Or, par hypothèse :
\[ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0 \]et :
\[ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0. \]Donc :
\[ a+b+c=0. \]Comme \(a=e^{i\alpha}\), \(b=e^{i\beta}\) et \(c=e^{i\gamma}\), on a :
\[ |a|=|b|=|c|=1. \]Donc :
\[ \overline a=\frac1a,\qquad \overline b=\frac1b,\qquad \overline c=\frac1c. \]On part de :
\[ a+b+c=0. \]En prenant le conjugué des deux membres, on obtient :
\[ \overline a+\overline b+\overline c=0. \]En utilisant \(\overline a=\dfrac1a\), \(\overline b=\dfrac1b\) et \(\overline c=\dfrac1c\), il vient :
\[ \frac1a+\frac1b+\frac1c=0. \]Comme \(a\), \(b\) et \(c\) sont non nuls, on multiplie par \(abc\) :
\[ bc+ac+ab=0. \]Donc :
\[ ab+ac+bc=0. \]On développe :
\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. \]Comme \(a+b+c=0\), on a :
\[ (a+b+c)^2=0. \]Et comme \(ab+ac+bc=0\), on obtient :
\[ a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0. \]Donc :
\[ a^2+b^2+c^2=0. \]Or :
\[ a^2=\left(e^{i\alpha}\right)^2=e^{i2\alpha} = \cos(2\alpha)+i\sin(2\alpha). \]De même :
\[ b^2=\cos(2\beta)+i\sin(2\beta), \]et :
\[ c^2=\cos(2\gamma)+i\sin(2\gamma). \]Comme :
\[ a^2+b^2+c^2=0, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} &\cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\\ &\quad+i\left(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)\right)=0. \end{aligned} \]Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Donc :
Résultats essentiels
Si \(t=\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) et \(\theta\ne\pi\ [2\pi]\), alors :
\[ \boxed{ \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2} } \qquad \boxed{ \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2} }. \]Pour \(t=\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\), on a :
\[ \boxed{ \frac{1+it}{1-it}=e^{i\theta} }. \]Si \(|u|=1\), alors :
\[ \overline u=\frac1u. \]L’égalité :
\[ \begin{cases} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\\ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0 \end{cases} \]équivaut à :
\[ e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\gamma}=0. \]Cette traduction permet souvent de simplifier fortement les calculs.
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