Nombres complexes : forme exponentielle et équation complexe — Exercices 48 à 50
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
La forme exponentielle d’un nombre complexe est un outil essentiel lorsque les calculs font intervenir des angles, des puissances ou le conjugué. Elle permet de séparer l’information concernant le module de celle concernant l’argument. Mais une précaution est indispensable : dans une écriture exponentielle, le module doit être strictement positif. La présence d’un coefficient réel négatif oblige donc à modifier l’argument en ajoutant π.
Les exercices 48 à 50 mettent ces idées en pratique dans trois situations complémentaires. Nous transformerons une expression trigonométrique en tenant compte du signe d’un cosinus ; nous étudierons ensuite une suite de nombres complexes en distinguant les indices pairs et impairs ; enfin, nous résoudrons une équation avec le conjugué en séparant soigneusement la solution nulle des solutions non nulles. Pour chaque question, le rappel de cours précède son application, et les résultats sont interprétés après le calcul.
Repères de cours — Écriture exponentielle
Définition. Un complexe non nul de module \(r>0\) et d’argument \(\alpha\) s’écrit \(z=re^{i\alpha}\), avec \(e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha\). On obtient ainsi immédiatement \(|z|=r\) et \(\arg(z)\equiv\alpha\ [2\pi]\).
Produits et puissances. Les propriétés des exponentielles donnent \(e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}\) et \((e^{ia})^n=e^{ina}\) pour un entier naturel \(n\). La formule de Moivre permet de traiter des puissances sans développement algébrique.
Somme d’exponentielles. Grâce aux formules d’Euler, \(e^{iu}+e^{-iu}=2\cos u\). Il faut donc chercher des angles opposés lorsqu’on veut simplifier une somme de deux exponentielles.
Conjugué. Pour \(z=re^{i\alpha}\), avec \(r>0\), nous avons \(\overline z=re^{-i\alpha}\). Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments congrus modulo \(2\pi\).
Le signe du coefficient réel placé devant une exponentielle ne doit jamais être ignoré. Si ce coefficient est négatif, nous utilisons \(-e^{i\alpha}=e^{i(\alpha+\pi)}\). Et si le complexe est nul, son argument n’existe pas.
Exercice 48 — Module et argument selon le signe du cosinus
Question 1 — Calculer le module et un argument
Pour tout \(\theta\in\mathbb R\), on pose :
\[ z=\sin(2\theta)-2i\cos^2\theta. \]1) On suppose dans cette question que :
\[ -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}. \]Déterminer le module et un argument de \(z\).
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La définition d’une forme exponentielle est \(z=re^{i\alpha}\) avec \(r>0\). Pour reconnaître le facteur de module 1, on utilise \(\cos(\theta-\pi/2)=\sin\theta\) et \(\sin(\theta-\pi/2)=-\cos\theta\).
Pour identifier directement le module et un argument, nous commencerons par écrire \(\sin(2\theta)\) comme un produit puis par reconnaître une exponentielle grâce aux décalages trigonométriques de \(\frac{\pi}{2}\). La condition sur \(\theta\) garantit ensuite que le coefficient réel de cette exponentielle est positif.
Le terme \(\sin(2\theta)\) et le terme \(\cos^2\theta\) possèdent le facteur commun \(2\cos\theta\). Faire apparaître ce facteur permet de séparer la partie réelle du module unitaire.
Transformation de \(z\)
On commence par utiliser l’identité :
\[ \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. \]Donc :
\[ z=2\sin\theta\cos\theta-2i\cos^2\theta. \]On factorise par \(2\cos\theta\) :
\[ z=2\cos\theta(\sin\theta-i\cos\theta). \]Il reste à reconnaître le nombre complexe :
\[ \sin\theta-i\cos\theta. \]Or :
\[ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\theta \]et :
\[ \sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\theta. \]Donc :
\[ \sin\theta-i\cos\theta = \cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) +i\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right). \]Ainsi :
\[ \sin\theta-i\cos\theta=e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}. \]Par conséquent :
\[ z=2\cos\theta\,e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}. \]À ce stade, l’expression est un produit d’un nombre réel et d’un complexe de module 1. Il faut examiner le signe du réel avant de l’appeler module.
1) Cas \(-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}\)
Sur l’intervalle :
\[ -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}, \]on a :
\[ \cos\theta\gt0. \]Donc le coefficient \(2\cos\theta\) est strictement positif. L’écriture :
\[ z=2\cos\theta\,e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)} \]est déjà une forme exponentielle.
Sur l’intervalle indiqué, le module est bien \(2\cos\theta>0\). L’argument \(\theta-\frac{\pi}{2}\) décrit la direction du point d’affixe \(z\). La positivité du coefficient est la raison précise pour laquelle aucune correction de l’angle n’est nécessaire.
Une écriture de la forme \(a e^{i\alpha}\) n’est pas nécessairement une forme exponentielle lorsque \(a\) n’est pas strictement positif. Ici, c’est l’hypothèse de la question qui justifie cette positivité.
Question 2 — Écriture exponentielle lorsque le cosinus est négatif
On considère le même complexe \(z=\sin(2\theta)-2i\cos^2\theta\).
2) On suppose dans cette question que :
\[ \frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi. \]Écrire \(z\) sous forme exponentielle.
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D’après la proposition du cours, \(|-a|=|a|\) et \(\arg(-z)\equiv\arg(z)+\pi\ [2\pi]\) lorsque \(z\ne0\). La condition stricte sur \(\theta\) évite le cas \(\cos\theta=0\), où le complexe serait nul.
Nous réutiliserons la factorisation obtenue à la question 1, mais la nouvelle hypothèse donne cette fois \(\cos\theta<0\). Pour avoir un module strictement positif, nous sortirons le signe moins du coefficient et l’absorberons dans l’exponentielle en ajoutant \(\pi\) à l’argument.
La factorisation de la question précédente donne, pour tout \(\theta\), \(z=2\cos\theta\,e^{i(\theta-\pi/2)}\). Le nouveau domaine change uniquement le signe du coefficient.
2) Cas \(\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi\)
Sur l’intervalle :
\[ \frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi, \]on a :
\[ \cos\theta\lt0. \]Donc \(2\cos\theta\) est négatif. Pour obtenir une forme exponentielle, le module doit être strictement positif. On écrit alors :
\[ 2\cos\theta=-2(-\cos\theta). \]Ainsi :
\[ z=2\cos\theta\,e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)} = (-2\cos\theta)\left[-e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right]. \]Multiplier par \(-1\) revient à ajouter \(\pi\) à l’argument :
\[ -e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)} = e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}+\pi\right)} = e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}. \]Comme \(-2\cos\theta\gt0\), on obtient la forme exponentielle :
Le nombre complexe reste non nul, mais son module vaut maintenant \(-2\cos\theta\). L’angle \(\theta+\frac{\pi}{2}\) représente le même complexe après absorption du signe négatif. Les deux cas de l’exercice illustrent pourquoi il faut toujours distinguer un coefficient réel quelconque d’un module.
Multiplier un complexe non nul par \(-1\) effectue une rotation d’angle \(\pi\). La règle \(-re^{i\alpha}=re^{i(\alpha+\pi)}\) permet d’obtenir une véritable forme exponentielle lorsque \(r>0\).
Exercice 49 — Somme de puissances et parité de l’indice
Question 1 — Établir une formule pour la suite
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ z_n=\frac12\left((1+i)^n+(i-1)^n\right). \]1) Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad z_n=2^{\frac n2}\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)e^{i\frac{n\pi}{2}}. \]Afficher la correctionMasquer la correction
La formule de Moivre s’applique aux nombres non nuls \(1+i\) et \(i-1\). Les formules d’Euler permettent de remplacer deux exponentielles d’angles opposés par deux fois un cosinus.
L’objectif est de transformer la somme de deux puissances en produit d’un facteur réel par une exponentielle. Nous déterminerons les formes exponentielles de \(1+i\) et \(i-1\), appliquerons la formule de Moivre, puis factoriserons l’exponentielle correspondant à l’angle moyen des deux arguments pour faire apparaître un cosinus.
Pour calculer des puissances de complexes, il est généralement plus simple de partir du module et de l’argument que de développer les puissances algébriques. Les deux nombres ici ont même module, mais leurs arguments sont différents.
1) Écriture exponentielle de \(1+i\) et \(i-1\)
On commence par écrire les deux nombres \(1+i\) et \(i-1\) sous forme exponentielle.
Pour \(1+i\), on a :
\[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \]Un argument de \(1+i\) est :
\[ \frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ 1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Pour \(i-1=-1+i\), on a :
\[ |i-1|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2. \]Le point correspondant est dans le deuxième quadrant, donc un argument est :
\[ \frac{3\pi}{4}. \]Ainsi :
\[ i-1=\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \]Les règles de puissance étant établies pour tout \(n\in\mathbb N\), nous pouvons les utiliser directement dans la définition de la suite. Le facteur commun \(2^{n/2}\) apparaît immédiatement.
Calcul de \(z_n\)
On remplace dans la définition de \(z_n\) :
\[ z_n=\frac12\left((1+i)^n+(i-1)^n\right). \] \[ z_n=\frac12\left[ \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n + \left(\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)^n \right]. \]Donc :
\[ z_n=\frac12\left[ 2^{\frac n2}e^{i\frac{n\pi}{4}} + 2^{\frac n2}e^{i\frac{3n\pi}{4}} \right]. \]On factorise par \(2^{\frac n2}\) :
\[ z_n=2^{\frac n2-1} \left( e^{i\frac{n\pi}{4}} + e^{i\frac{3n\pi}{4}} \right). \]Pour utiliser la formule \(e^{iu}+e^{-iu}=2\cos u\), on factorise par \(e^{i\frac{n\pi}{2}}\) :
\[ e^{i\frac{n\pi}{4}} = e^{i\frac{n\pi}{2}}e^{-i\frac{n\pi}{4}}, \]et :
\[ e^{i\frac{3n\pi}{4}} = e^{i\frac{n\pi}{2}}e^{i\frac{n\pi}{4}}. \]Donc :
\[ e^{i\frac{n\pi}{4}}+e^{i\frac{3n\pi}{4}} = e^{i\frac{n\pi}{2}} \left( e^{-i\frac{n\pi}{4}}+e^{i\frac{n\pi}{4}} \right). \]Or :
\[ e^{-iu}+e^{iu}=2\cos u. \]En prenant \(u=\dfrac{n\pi}{4}\), on obtient :
\[ e^{-i\frac{n\pi}{4}}+e^{i\frac{n\pi}{4}} = 2\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right). \]Ainsi :
\[ e^{i\frac{n\pi}{4}}+e^{i\frac{3n\pi}{4}} = 2\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)e^{i\frac{n\pi}{2}}. \]Finalement :
\[ z_n = 2^{\frac n2-1} \times 2\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)e^{i\frac{n\pi}{2}}. \]La formule donne une description explicite de \(z_n\) pour tous les indices, y compris \(n=0\). Le facteur \(e^{in\pi/2}\) indique une direction portée par l’un des deux axes de coordonnées, tandis que le coefficient réel dépend du cosinus. Il ne faut toutefois pas confondre cette identité avec une écriture exponentielle canonique : le cosinus peut être nul ou négatif.
Si \(\cos(n\pi/4)=0\), alors \(z_n=0\) et aucun argument n’est défini. Si le cosinus est négatif, le module du complexe n’est pas \(2^{n/2}\cos(n\pi/4)\), mais sa valeur absolue. La formule démontrée reste néanmoins correcte pour tout entier naturel.
Question 2 — Montrer que les termes pairs sont réels et les termes impairs imaginaires purs
Soit \(p\in\mathbb N\). Montrer que :
\[ z_{2p}\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad z_{2p+1}\in i\mathbb R. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Le cours donne \(e^{ip\pi}=(-1)^p\) pour \(p\in\mathbb N\) et \(e^{i\pi/2}=i\). Un nombre de la forme \(a+0i\), avec \(a\in\mathbb R\), est réel ; un nombre de la forme \(bi\), avec \(b\in\mathbb R\), est imaginaire pur.
La formule obtenue à la question précédente est valable pour tout entier naturel. Nous allons donc y remplacer successivement \(n\) par \(2p\), puis par \(2p+1\). La valeur de \(e^{in\pi/2}\) fera apparaître un facteur réel dans le premier cas et un facteur \(i\) dans le second.
Pour \(n=2p\), l’exponentielle s’écrit \(e^{ip\pi}\), qui est un réel égal à \((-1)^p\). Tous les autres facteurs de la formule étant réels, le terme correspondant est réel.
2) Nature de \(z_{2p}\)
On remplace \(n\) par \(2p\) dans la formule démontrée :
\[ z_{2p} = 2^{p}\cos\left(\frac{2p\pi}{4}\right)e^{i\frac{2p\pi}{2}}. \]Donc :
\[ z_{2p} = 2^{p}\cos\left(\frac{p\pi}{2}\right)e^{ip\pi}. \]Or :
\[ e^{ip\pi}=(-1)^p. \]Donc :
\[ z_{2p} = 2^{p}\cos\left(\frac{p\pi}{2}\right)(-1)^p. \]Les trois facteurs sont réels. Par conséquent :
Pour \(n=2p+1\), l’exponentielle contient au contraire un angle supplémentaire de \(\pi/2\). L’identité \(e^{i\pi/2}=i\) permettra de faire apparaître un imaginaire pur.
Nature de \(z_{2p+1}\)
On remplace maintenant \(n\) par \(2p+1\) :
\[ z_{2p+1} = 2^{\frac{2p+1}{2}} \cos\left(\frac{(2p+1)\pi}{4}\right) e^{i\frac{(2p+1)\pi}{2}}. \]On simplifie l’exponentielle :
\[ e^{i\frac{(2p+1)\pi}{2}} = e^{i\left(p\pi+\frac{\pi}{2}\right)} = e^{ip\pi}e^{i\frac{\pi}{2}}. \]Or :
\[ e^{ip\pi}=(-1)^p \quad\text{et}\quad e^{i\frac{\pi}{2}}=i. \]Donc :
\[ e^{i\frac{(2p+1)\pi}{2}}=(-1)^p i. \]Ainsi :
\[ z_{2p+1} = \left[ 2^{\frac{2p+1}{2}} \cos\left(\frac{(2p+1)\pi}{4}\right) (-1)^p \right]i. \]Le coefficient placé devant \(i\) est réel. Donc :
La suite alterne ainsi entre l’axe réel, pour les indices pairs, et l’axe imaginaire, pour les indices impairs. La valeur zéro apparaît pour certains indices pairs et ne contredit pas la propriété, puisque zéro appartient à la fois à \(\mathbb R\) et à \(i\mathbb R\).
Lorsque des termes d’une suite complexe contiennent le facteur \(e^{in\pi/2}\), étudier séparément les indices pairs et impairs permet souvent de reconnaître immédiatement leur nature algébrique ou géométrique.
Exercice 50 — Équation avec le conjugué
Résoudre dans ℂ l’équation \(z^3=\overline z\)
Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation :
\[ z^3=\overline z. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Pour \(z\ne0\), la forme exponentielle est définie par un module strictement positif. Les identités \((re^{i\theta})^3=r^3e^{i3\theta}\) et \(\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}\) permettent de comparer modules et arguments. Deux nombres non nuls égaux ont des arguments congrus modulo \(2\pi\).
Nous devons rechercher tous les complexes satisfaisant l’égalité, puis vérifier qu’aucune solution n’a été oubliée. Comme l’écriture exponentielle est réservée aux complexes non nuls, nous examinerons d’abord \(z=0\), puis écrirons \(z=re^{i\theta}\) avec \(r>0\). L’équation imposera séparément une condition sur le module et une congruence sur l’argument.
Il est indispensable d’isoler le cas nul avant toute division par \(z\) ou par son module. Le contrôle direct de cette valeur fournit déjà une première solution.
Étude du cas \(z=0\)
On vérifie d’abord si \(z=0\) est solution :
\[ z^3=0^3=0 \quad\text{et}\quad \overline z=\overline0=0. \]Donc :
\[ 0^3=\overline0. \]Ainsi, \(0\) est solution.
Dans le cas non nul, l’existence de la forme exponentielle est garantie. Le conjugué conserve le module et change le signe de l’argument, ce qui rend l’équation particulièrement simple.
Étude du cas \(z\ne0\)
Supposons maintenant que \(z\ne0\). On écrit alors \(z\) sous forme exponentielle :
\[ z=re^{i\theta} \]avec :
\[ r\gt0 \quad\text{et}\quad \theta\in\mathbb R. \]On a :
\[ z^3=\left(re^{i\theta}\right)^3=r^3e^{i3\theta}. \]Et :
\[ \overline z=\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}. \]L’équation \(z^3=\overline z\) devient donc :
\[ r^3e^{i3\theta}=re^{-i\theta}. \]Comparer les modules donne une équation réelle en \(r\). La condition \(r>0\) nous permet d’écarter sans ambiguïté les solutions incompatibles avec un module.
Comparaison des modules
Deux nombres complexes égaux ont le même module. Donc :
\[ |r^3e^{i3\theta}|=|re^{-i\theta}|. \]Comme \(|e^{it}|=1\) pour tout réel \(t\), on obtient :
\[ r^3=r. \]Comme \(r\gt0\), on peut diviser par \(r\) :
\[ r^2=1. \]Donc :
\[ r=1. \]Une fois le module fixé, l’égalité des complexes équivaut à l’égalité de leurs arguments modulo \(2\pi\). Nous résolvons cette congruence puis ne retenons que les quatre valeurs distinctes modulo une période complète.
Comparaison des arguments
Lorsque les modules sont égaux et non nuls, l’égalité des deux nombres impose l’égalité des arguments modulo \(2\pi\) :
\[ 3\theta\equiv-\theta\ [2\pi]. \]Donc :
\[ 4\theta\equiv0\ [2\pi]. \]Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ 4\theta=2k\pi. \]Alors :
\[ \theta=\frac{k\pi}{2}. \]Les valeurs distinctes modulo \(2\pi\) sont obtenues pour :
\[ k=0,\ 1,\ 2,\ 3. \]Comme \(r=1\), les solutions non nulles sont :
\[ e^{i0}=1,\qquad e^{i\frac{\pi}{2}}=i,\qquad e^{i\pi}=-1,\qquad e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i. \]Vérification de la réciproque. La valeur \(0\) vérifie l’équation. Pour les quatre autres nombres trouvés, nous avons \(|z|=1\) et \(z^4=1\), donc \(z^3=z^{-1}=\overline z\). Chaque candidat obtenu satisfait donc bien l’égalité initiale.
L’ensemble des solutions est constitué de l’origine et des quatre points du cercle trigonométrique situés sur les axes de coordonnées. L’origine doit être traitée séparément : sans cette précaution, une résolution limitée aux arguments oublierait une solution.
La notation \(z=re^{i\theta}\) avec \(r>0\) exclut \(z=0\). Dans une équation complexe faisant intervenir des puissances et des conjugués, commencer directement par diviser peut supprimer des solutions.
À retenir — Forme exponentielle, parité et conjugué
Exercice 48. Le signe d’un facteur réel décide de l’argument à retenir dans l’écriture exponentielle. Lorsque le cosinus est négatif, changer le signe du module impose d’ajouter \(\pi\) à l’argument.
Exercice 49. Mettre en facteur l’exponentielle associée à l’angle moyen transforme une somme d’exponentielles en cosinus. La distinction entre indices pairs et impairs permet ensuite de déterminer sur quel axe appartient le terme complexe.
Exercice 50. Pour une équation avec le conjugué, on vérifie d’abord le cas nul. Dans le cas non nul, la comparaison des modules puis des arguments conduit à une famille finie de solutions dont on contrôle la réciproque.
Rappels immédiatement utiles
Un complexe non nul possède une écriture exponentielle seulement avec un module strictement positif :
\[ re^{i\theta}\qquad(r\gt0). \]Si un signe moins précède une exponentielle, il modifie l’argument de \(\pi\) :
\[ -re^{i\theta}=re^{i(\theta+\pi)}. \]La somme d’exponentielles d’angles opposés conduit au cosinus :
\[ e^{iu}+e^{-iu}=2\cos u. \]Le conjugué conserve le module, mais change le signe de l’argument :
\[ z=re^{i\theta}, \]\[ \overline z=re^{-i\theta}. \]Enfin, pour résoudre une équation exponentielle entre complexes non nuls, on étudie successivement :
\[ \text{les modules} \qquad\text{puis}\qquad \text{les arguments modulo }2\pi. \]La démarche générale consiste à reconnaître une propriété du cours, en vérifier les conditions, l’appliquer sans perdre les cas particuliers, puis interpréter l’ensemble des résultats.
Parcours Maths Maroc — PMM
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