Nombres complexes : module d’un nombre complexe — Exercices 26 à 28
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Le module d'un nombre complexe est un réel positif qui permet de mesurer la distance entre l'origine du plan complexe et le point représentant ce nombre. Ses propriétés offrent également des méthodes efficaces pour calculer des expressions contenant des produits, des quotients et des puissances.
Dans ces trois exercices, nous commencerons par calculer plusieurs modules en choisissant la propriété la plus adaptée à chaque expression. Nous déterminerons ensuite les nombres complexes dont les modules vérifient plusieurs égalités simultanées, en combinant les calculs algébriques et leur interprétation géométrique. Enfin, nous démontrerons une identité fondamentale reliant les modules d'une somme et d'une différence. L'objectif est de savoir reconnaître la bonne méthode, vérifier ses conditions d'application et comprendre ce que les résultats signifient dans le plan complexe.
Rappel de cours — Module d'un nombre complexe
Soit \(z=x+iy\), avec \((x;y)\in\mathbb R^2\). Le module de \(z\) est le réel positif :
\[ \boxed{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}. \]Il vérifie également la relation fondamentale :
\[ \boxed{|z|^2=z\overline z}. \]Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), les principales propriétés du module sont :
\[ |zz'|=|z|\,|z'|, \] \[ |z^n|=|z|^n,\qquad n\in\mathbb N, \] \[ \left|\frac{z}{z'}\right| =\frac{|z|}{|z'|}, \qquad z'\neq0, \] \[ |z|=|\overline z|=|-z|, \qquad |i|=1. \]Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, si \(M\) est le point d'affixe \(z\), alors :
\[ |z|=OM. \]Plus généralement, si \(A\) et \(M\) ont pour affixes respectives \(a\) et \(z\), alors :
\[ \boxed{|z-a|=AM}. \]Cette dernière propriété permet d'interpréter les égalités de modules comme des égalités de distances.
Exercice 26 — Calculs de modules
Déterminer le module de chacun des nombres complexes suivants :
\[ \begin{aligned} z_1&=(\sqrt3+i\sqrt2)^2,\\ z_2&=(2+3i)^2+5i,\\ z_3&=(3+2i)^3,\\ z_4&=\frac{2017+2i}{2017-2i},\\ z_5&=\left(\frac{\sqrt{17}-i}{5+3i}\right)^4,\\ z_6&=(\sqrt7+i)(7-i\sqrt{11}),\\ z_8&=i(3-4i)^3(4+i)^2. \end{aligned} \]Avant de développer une expression complexe, il faut examiner sa structure. Lorsqu'il s'agit d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance, les propriétés du module permettent généralement de calculer directement le résultat.
En revanche, lorsqu'une addition intervient entre plusieurs termes, il peut être nécessaire de commencer par déterminer la forme algébrique du nombre complexe.
Nous appliquerons cette distinction dans les sept calculs suivants.
1) Calculer \(|z_1|\)
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Pour tout nombre complexe \(w\) et tout entier naturel \(n\) :
\[ |w^n|=|w|^n. \]Cette propriété permet de calculer le module d'une puissance sans développer l'expression.
On a :
\[ z_1=(\sqrt3+i\sqrt2)^2. \]En appliquant la propriété du module d'une puissance :
\[ |z_1|=|\sqrt3+i\sqrt2|^2. \]Le nombre \(\sqrt3+i\sqrt2\) est déjà sous forme algébrique. Nous utilisons donc la définition du module :
\[ |z_1| =|\sqrt3+i\sqrt2|^2 =\left( \sqrt{(\sqrt3)^2+(\sqrt2)^2} \right)^2 =(\sqrt5)^2=5. \]2) Calculer \(|z_2|\)
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Si \(w=a+ib\), avec \(a,b\in\mathbb R\), alors :
\[ |w|=\sqrt{a^2+b^2}. \]Pour appliquer cette formule, il faut d'abord connaître les parties réelle et imaginaire du nombre considéré.
On considère :
\[ z_2=(2+3i)^2+5i. \]Développons le carré en utilisant l'identité remarquable et la relation \(i^2=-1\) :
\[ (2+3i)^2=4+12i+9i^2=-5+12i. \]Nous ajoutons ensuite \(5i\) et regroupons les termes imaginaires :
\[ z_2=-5+12i+5i=-5+17i. \]Le nombre est maintenant sous forme algébrique. Sa partie réelle est \(-5\) et sa partie imaginaire est \(17\). Nous pouvons donc appliquer la définition du module :
\[ |z_2| =\sqrt{(-5)^2+17^2} =\sqrt{25+289} =\sqrt{314}. \]En général :
\[ |u+v|\neq |u|+|v|. \]Les propriétés de multiplication des modules ne doivent pas être appliquées à une addition.
3) Calculer \(|z_3|\)
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Pour tout complexe \(w\) et tout entier naturel \(n\), nous avons :
\[ |w^n|=|w|^n. \]On a :
\[ z_3=(3+2i)^3. \]Nous appliquons directement la propriété du cours :
\[ |z_3| =|(3+2i)^3| =|3+2i|^3 =(\sqrt{3^2+2^2})^3 =(\sqrt{13})^3 =13\sqrt{13}. \]Dans la dernière transformation, nous avons utilisé \((\sqrt{13})^2=13\).
4) Calculer \(|z_4|\)
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Pour tous complexes \(u\) et \(v\), avec \(v\neq0\) :
\[ \left|\frac uv\right| =\frac{|u|}{|v|}. \]De plus, un nombre complexe et son conjugué possèdent le même module :
\[ |\overline u|=|u|. \]On considère :
\[ z_4=\frac{2017+2i}{2017-2i}. \]Le dénominateur \(2017-2i\) est non nul. Nous pouvons appliquer la propriété du module d'un quotient :
\[ |z_4| =\frac{|2017+2i|}{|2017-2i|} =\frac{\sqrt{2017^2+2^2}} {\sqrt{2017^2+(-2)^2}} =1. \]Les deux radicaux sont égaux parce que \(2^2=(-2)^2\). Cette égalité traduit la propriété générale selon laquelle deux nombres conjugués possèdent le même module.
5) Calculer \(|z_5|\)
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Si \(v\neq0\), alors :
\[ \left|\frac uv\right| =\frac{|u|}{|v|}. \]Pour tout entier naturel \(n\), nous avons également :
\[ |w^n|=|w|^n. \]Ces deux propriétés peuvent être utilisées successivement lorsqu'une puissance porte sur un quotient complexe.
On a :
\[ z_5= \left(\frac{\sqrt{17}-i}{5+3i}\right)^4. \]Le nombre \(5+3i\) est non nul, puisque ses parties réelle et imaginaire ne sont pas simultanément nulles. Le quotient est donc bien défini.
D'après les propriétés du module :
\[ |z_5| =\left|\frac{\sqrt{17}-i}{5+3i}\right|^4 =\left( \frac{|\sqrt{17}-i|}{|5+3i|} \right)^4. \]Nous calculons d'abord le module du numérateur :
\[ |\sqrt{17}-i| =\sqrt{17+1} =\sqrt{18}. \]Puis celui du dénominateur :
\[ |5+3i| =\sqrt{25+9} =\sqrt{34}. \]Nous remplaçons maintenant ces deux valeurs dans l'expression précédente :
\[ |z_5| =\left(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{34}}\right)^4 =\left(\frac{3}{\sqrt{17}}\right)^4 =\frac{81}{289}. \]6) Calculer \(|z_6|\)
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Pour tous complexes \(u\) et \(v\) :
\[ |uv|=|u|\,|v|. \]Cette propriété permet de remplacer le calcul du module d'un produit par le produit de deux réels positifs ou nuls.
On considère :
\[ z_6=(\sqrt7+i)(7-i\sqrt{11}). \]Nous appliquons la propriété du module d'un produit :
\[ |z_6| =|\sqrt7+i|\,|7-i\sqrt{11}|. \]Chaque facteur est déjà sous forme algébrique. Nous utilisons donc la définition du module :
\[ |z_6| =|\sqrt7+i|\,|7-i\sqrt{11}| =\sqrt{7+1}\,\sqrt{49+11} =\sqrt8\sqrt{60}. \]Pour simplifier le résultat, nous extrayons les facteurs carrés des deux radicaux :
\[ |z_6| =2\sqrt2\cdot2\sqrt{15} =4\sqrt{30}. \]7) Calculer \(|z_8|\)
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Pour tous nombres complexes \(u,v\) et tous entiers naturels \(m,n\) :
\[ |u^m v^n|=|u|^m|v|^n. \]En particulier, puisque \(|i|=1\), la multiplication d'un complexe par \(i\) ne change pas son module.
On a :
\[ z_8=i(3-4i)^3(4+i)^2. \]Nous séparons les modules des trois facteurs :
\[ |z_8| =|i|\,|3-4i|^3\,|4+i|^2. \]Nous calculons ensuite les modules élémentaires :
\[ |i|=1, \] \[ |3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5, \] \[ |4+i|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}. \]En remplaçant ces valeurs, il reste uniquement un calcul réel :
\[ |z_8| =1\cdot5^3\cdot(\sqrt{17})^2 =125\cdot17 =2125. \]Pour calculer le module d'une expression complexe, il faut privilégier les propriétés du produit, du quotient et des puissances lorsque la forme de l'expression s'y prête. Le développement algébrique doit être réservé aux cas où il est réellement nécessaire, notamment en présence d'une somme.
Exercice 27 — Égalités de modules
Déterminer tous les nombres complexes \(z\) vérifiant :
\[ |z|=\left|\frac1z\right|=|z-1|. \]Résoudre les égalités de modules
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Si \(M\) est le point d'affixe \(z\), alors \(|z|=OM\).
Si \(A\) est le point d'affixe \(1\), alors :
\[ |z-1|=AM. \]Les égalités \(|z|=1\) et \(|z-1|=1\) décrivent donc deux cercles de rayon \(1\), dont les centres sont respectivement \(O\) et \(A\).
La présence de \(\frac1z\) impose d'abord \(z\neq0\). Nous utiliserons ensuite la propriété du module d'un inverse pour montrer que \(|z|=1\).
Le problème sera alors ramené à deux égalités de distances. Pour déterminer précisément leurs solutions, nous poserons \(z=x+iy\), puis résoudrons un système réel de deux équations.
Première étape — Déterminer les conditions de définition.
L'expression \(\frac1z\) est définie uniquement si :
\[ z\neq0. \]Cette condition entraîne \(|z|>0\), ce qui permettra de multiplier par \(|z|\) sans difficulté.
Deuxième étape — Utiliser l'égalité avec le module de l'inverse.
D'après l'énoncé :
\[ |z|=\left|\frac1z\right|. \]Comme \(z\neq0\), la propriété du module d'un quotient donne :
\[ |z|=\frac1{|z|}. \]Puisque \(|z|>0\), nous pouvons multiplier les deux membres par \(|z|\).
\[ |z|^2=1, \qquad\text{donc}\qquad |z|=1. \]Le module étant positif, nous conservons uniquement la valeur \(1\).
La condition initiale devient alors :
\[ |z|=1 \quad\text{et}\quad |z-1|=1. \]Troisième étape — Passer à la forme algébrique.
Écrivons :
\[ z=x+iy,\qquad (x;y)\in\mathbb R^2. \]D'après la définition du module :
\[ |z|^2=x^2+y^2. \]De même, comme \(z-1=(x-1)+iy\) :
\[ |z-1|^2=(x-1)^2+y^2. \]Les deux modules étant égaux à \(1\), nous obtenons le système réel :
\[ x^2+y^2=1 \quad\text{et}\quad (x-1)^2+y^2=1. \]Quatrième étape — Éliminer une inconnue.
Les deux équations contiennent le même terme \(y^2\). Nous soustrayons donc les deux égalités pour l'éliminer.
\[ (x-1)^2-x^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x+1=0. \]Nous obtenons :
\[ x=\frac12. \]La partie réelle de toute solution est donc nécessairement égale à \(\frac12\).
Cinquième étape — Déterminer la partie imaginaire.
Nous remplaçons \(x\) par \(\frac12\) dans l'équation \(x^2+y^2=1\).
\[ \frac14+y^2=1 \quad\Longleftrightarrow\quad y^2=\frac34. \]Cette équation réelle possède deux solutions opposées :
\[ y=\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{ou}\quad y=-\frac{\sqrt3}{2}. \]En revenant à \(z=x+iy\), nous obtenons deux nombres complexes.
Vérification.
Pour chacune de ces deux valeurs, nous avons \(|z|=1\) et \(|z-1|=1\). Comme \(|z|=1\), le nombre \(z\) est non nul et :
\[ \left|\frac1z\right| =\frac1{|z|}=1. \]Les trois modules sont donc bien égaux pour chacune des deux valeurs trouvées.
Soit \(A\) le point d'affixe \(1\) et \(M\) le point d'affixe \(z\). Les conditions obtenues s'écrivent :
\[ OM=1 \quad\text{et}\quad AM=1. \]Le point \(M\) appartient donc simultanément au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), et au cercle de centre \(A\) et de rayon \(1\).
Ces deux cercles ont deux points d'intersection, symétriques par rapport à l'axe réel. Leurs affixes sont exactement les deux solutions trouvées.
Lorsqu'un exercice contient plusieurs égalités de modules, il faut d'abord rechercher celles qui se simplifient directement grâce aux propriétés du cours. Les égalités restantes peuvent ensuite être interprétées comme des conditions de distance ou résolues à l'aide de la forme algébrique.
Exercice 28 — Une identité sur les modules
Soit \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes. Montrer que :
\[ |z+z'|^2+|z-z'|^2 =2\left(|z|^2+|z'|^2\right). \]Démontrer l'identité
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Pour tout nombre complexe \(w\), nous avons :
\[ |w|^2=w\overline w. \]Nous utiliserons également les propriétés de conjugaison :
\[ \overline{u+v} =\overline u+\overline v, \] \[ \overline{u-v} =\overline u-\overline v. \]Ces propriétés permettent de développer les carrés des modules d'une somme et d'une différence.
Nous allons transformer chacun des deux carrés de modules en un produit utilisant le conjugué. Après développement, nous additionnerons les deux expressions obtenues.
Les termes croisés apparaîtront avec des signes opposés et s'annuleront. Il restera uniquement les carrés des modules de \(z\) et de \(z'\).
Première étape — Développer \(|z+z'|^2\).
Nous appliquons d'abord l'identité \(|w|^2=w\overline w\) au nombre complexe \(w=z+z'\).
\[ |z+z'|^2 =(z+z')\overline{(z+z')}. \]Le conjugué d'une somme étant égal à la somme des conjugués, nous obtenons :
\[ \overline{(z+z')} =\overline z+\overline{z'}. \]Nous remplaçons cette expression, puis développons le produit par distributivité :
\[ \begin{aligned} |z+z'|^2 &=(z+z')\overline{(z+z')}\\ &=(z+z')(\overline z+\overline {z'})\\ &=z\overline z +z\overline {z'} +z'\overline z +z'\overline {z'}. \end{aligned} \]Les deux termes \(z\overline {z'}\) et \(z'\overline z\) sont les termes croisés du développement. Nous allons les retrouver avec des signes opposés dans le calcul suivant.
Deuxième étape — Développer \(|z-z'|^2\).
Nous appliquons maintenant la même propriété au nombre complexe \(w=z-z'\).
\[ |z-z'|^2 =(z-z')\overline{(z-z')}. \]Comme la conjugaison conserve les différences, nous avons :
\[ \overline{(z-z')} =\overline z-\overline {z'}. \]En développant le produit, nous obtenons :
\[ \begin{aligned} |z-z'|^2 &=(z-z')\overline{(z-z')}\\ &=(z-z')(\overline z-\overline {z'})\\ &=z\overline z -z\overline {z'} -z'\overline z +z'\overline {z'}. \end{aligned} \]La différence avec le premier développement réside dans les signes des deux termes croisés. C'est cette observation qui permet de conclure rapidement.
Troisième étape — Additionner les deux égalités.
Nous additionnons les expressions obtenues aux deux premières étapes. Les termes croisés \(z\overline {z'}\) et \(z'\overline z\) s'annulent deux à deux.
Nous retrouvons ainsi le calcul suivant :
\[ \begin{aligned} |z+z'|^2+|z-z'|^2 &=2z\overline z+2z'\overline {z'}\\ &=2\left(|z|^2+|z'|^2\right). \end{aligned} \]Dans la dernière étape, nous avons utilisé :
\[ z\overline z=|z|^2 \quad\text{et}\quad z'\overline {z'}=|z'|^2. \]Aucune restriction n'a été imposée aux deux nombres complexes. L'égalité est donc valable pour tous \(z,z'\in\mathbb C\).
Dans le plan complexe, considérons deux vecteurs d'affixes respectives \(z\) et \(z'\).
Lorsque ces vecteurs sont utilisés comme côtés issus d'un même sommet d'un parallélogramme, les vecteurs d'affixes \(z+z'\) et \(z-z'\) représentent les directions de ses deux diagonales.
Les modules correspondants représentent leurs longueurs. L'identité démontrée signifie donc que la somme des carrés des longueurs des diagonales d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés des longueurs de deux côtés adjacents.
L'égalité algébrique obtenue est ainsi une traduction complexe d'une propriété géométrique du parallélogramme.
Pour démontrer une identité contenant des carrés de modules, l'égalité \(|w|^2=w\overline w\) constitue souvent le meilleur point de départ.
Elle transforme les modules en produits algébriques, puis les propriétés du conjugué et la distributivité permettent de simplifier l'expression.
À retenir — Le module d'un nombre complexe
Les propriétés du module permettent de simplifier considérablement les calculs sur les nombres complexes. Pour un produit, le module du résultat est le produit des modules. Pour un quotient dont le dénominateur est non nul, le module est le quotient des modules. Enfin, le module d'une puissance est égal à la puissance correspondante du module.
Ces propriétés doivent être reconnues avant de commencer un développement algébrique. Dans l'exercice 26, elles ont permis de calculer directement la plupart des modules, tandis qu'une expression contenant une somme a nécessité le passage préalable à la forme algébrique.
Le module possède également une interprétation géométrique. Il représente une distance dans le plan complexe. Cette propriété permet de traduire certaines équations de modules en conditions d'appartenance à des cercles. L'exercice 27 illustre cette méthode et montre comment elle peut être confirmée par un système réel.
Enfin, l'exercice 28 met en évidence l'importance de l'identité \(|z|^2=z\overline z\). En transformant les carrés de modules en produits de nombres complexes, nous avons établi une égalité valable pour tous \(z,z'\in\mathbb C\).
Pour chaque problème, la démarche essentielle reste la même : identifier la structure de l'expression, rappeler la propriété appropriée, vérifier ses conditions d'application, effectuer les transformations nécessaires, puis interpréter le résultat obtenu.
Parcours Maths Maroc — PMM
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