Nombres complexes : module et transformations — Exercices 32 à 34
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
Le module d'un nombre complexe permet d'étudier des expressions fractionnaires, de déterminer le signe de certaines parties réelles ou imaginaires et de traduire des inégalités algébriques en propriétés géométriques. Pour utiliser efficacement ces résultats, il faut commencer par identifier les conditions de définition des expressions et les propriétés adaptées du cours.
Dans l'exercice 32, nous étudierons une transformation complexe reliant le disque unité au demi-plan supérieur. L'exercice 33 montrera comment retrouver un produit de nombres complexes à partir de différences de carrés de modules. Enfin, l'exercice 34 utilisera une comparaison de distances pour caractériser une inégalité sur un quotient complexe. Chaque résolution sera accompagnée de justifications et, lorsque cela est utile, d'une interprétation dans le plan complexe.
Repères de cours — Module et conjugaison
Pour tout nombre complexe \(w\), on a :
\[ \boxed{|w|^2=w\overline w}. \]Si \(w\neq0\), alors \(w\overline w\) est strictement positif. On peut donc multiplier le numérateur et le dénominateur d'un quotient par le conjugué de son dénominateur.
Pour deux nombres complexes \(u\) et \(v\), la propriété du module d'un quotient donne :
\[ \left|\frac uv\right| =\frac{|u|}{|v|}, \qquad v\neq0. \]Si \(w=x+iy\), avec \(x,y\in\mathbb R\), alors :
\[ \operatorname{Re}(w)=x, \qquad \operatorname{Im}(w)=y, \] \[ w-\overline w=2i\operatorname{Im}(w). \]Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, la proposition sur la distance entre deux points d'affixes \(a\) et \(b\) s'écrit :
\[ AB=|b-a|. \]En particulier, \(|z|<1\) représente l'intérieur du cercle unité, tandis que \(\operatorname{Im}(z)>0\) représente le demi-plan supérieur.
Exercice 32 — Une transformation complexe
Pour tout \(z\in\mathbb C\setminus\{1\}\), on pose :
\[ h(z)=i\frac{1+z}{1-z}. \]1) Montrer que si \(|z|=1\), alors \(h(z)\) est réel.
2) Montrer que :
\[ |z|<1 \Longleftrightarrow \operatorname{Im}(h(z))>0. \]Question 1 — Montrer que \(h(z)\) est réel lorsque \(|z|=1\)
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Pour montrer qu'un nombre complexe \(W\) est réel, il suffit de démontrer que :
\[ \operatorname{Im}(W)=0. \]Le calcul d'un quotient complexe devient généralement plus simple lorsqu'on multiplie son numérateur et son dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Nous allons commencer par transformer l'expression de \(h(z)\) pour faire apparaître un dénominateur réel strictement positif. Nous identifierons ensuite sa partie imaginaire, puis nous utiliserons l'hypothèse \(|z|=1\).
Étape 1 — Vérifier la condition de définition.
Par hypothèse, \(z\neq1\). Nous avons donc \(1-z\neq0\), puis :
\[ |1-z|^2>0. \]Nous pouvons ainsi multiplier le numérateur et le dénominateur par \(1-\overline z\), qui est le conjugué de \(1-z\).
Étape 2 — Utiliser le conjugué.
\[ \begin{aligned} h(z) &=i\frac{1+z}{1-z}\\ &=i\frac{(1+z)(1-\overline z)} {|1-z|^2}. \end{aligned} \]Développons maintenant le numérateur. Comme \(z\overline z=|z|^2\), nous obtenons :
\[ \begin{aligned} (1+z)(1-\overline z) &=1-\overline z+z-z\overline z\\ &=1-|z|^2+z-\overline z. \end{aligned} \]Nous remplaçons cette expression dans le quotient :
\[ h(z) =\frac{i(1-|z|^2)+i(z-\overline z)} {|1-z|^2}. \]Étape 3 — Identifier les parties réelle et imaginaire.
D'après les propriétés du conjugué :
\[ z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z). \]En multipliant par \(i\) et en utilisant \(i^2=-1\), il vient :
\[ i(z-\overline z) =-2\operatorname{Im}(z). \]Ainsi, l'expression de \(h(z)\) devient :
\[ \boxed{ h(z)= \frac{-2\operatorname{Im}(z)}{|1-z|^2} +i\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} }. \]Le dénominateur étant réel, nous identifions la partie imaginaire :
\[ \boxed{ \operatorname{Im}(h(z)) =\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} }. \]Étape 4 — Appliquer l'hypothèse de la question.
Supposons maintenant \(|z|=1\). Alors \(|z|^2=1\), d'où :
\[ 1-|z|^2=0. \]Puisque \(|1-z|^2>0\), nous obtenons :
\[ \operatorname{Im}(h(z))=0. \]La partie imaginaire de \(h(z)\) est donc nulle. Par le critère de réalité du cours, \(h(z)\) est un nombre réel.
Un point d'affixe \(z\) vérifiant \(|z|=1\) appartient au cercle unité. Le résultat montre que, lorsque \(z\neq1\), son image par la transformation \(h\) appartient à l'axe réel.
Le point d'affixe \(1\) est exclu, car le dénominateur de \(h(z)\) s'annule en ce point.
Pour étudier la réalité d'un quotient complexe, une stratégie consiste à rendre le dénominateur réel, puis à identifier directement la partie imaginaire de l'expression.
Question 2 — Caractériser le disque unité
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Lorsqu'un quotient réel possède un dénominateur strictement positif, son signe est celui de son numérateur.
Nous utiliserons aussi le fait que, pour tout réel \(r\ge0\) :
\[ r^2<1\Longleftrightarrow r<1. \]La formule obtenue à la question 1 permet de connaître la partie imaginaire de \(h(z)\). Nous allons examiner son signe, puis traduire la condition obtenue en une inégalité sur \(|z|\).
Étape 1 — Utiliser le résultat précédent.
Pour tout \(z\neq1\), nous avons montré :
\[ \operatorname{Im}(h(z)) =\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}. \]Le dénominateur \(|1-z|^2\) est strictement positif. Le signe de cette fraction dépend donc uniquement de \(1-|z|^2\).
Étape 2 — Établir l'équivalence.
\[ \begin{aligned} \operatorname{Im}(h(z))>0 &\Longleftrightarrow \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}>0\\ &\Longleftrightarrow 1-|z|^2>0\\ &\Longleftrightarrow |z|^2<1. \end{aligned} \]Or un module est toujours positif ou nul. Nous pouvons donc écrire :
\[ |z|^2<1 \Longleftrightarrow |z|<1. \]En regroupant les équivalences précédentes, nous obtenons exactement la propriété demandée.
Dans le plan complexe, \(|z|<1\) signifie que le point d'affixe \(z\) est situé strictement à l'intérieur du cercle unité.
D'autre part, \(\operatorname{Im}(h(z))>0\) signifie que le point d'affixe \(h(z)\) est situé strictement au-dessus de l'axe réel.
La transformation \(h\) envoie donc les points du disque unité ouvert dans le demi-plan supérieur. Sur le cercle unité privé du point d'affixe \(1\), les images appartiennent à l'axe réel.
Le disque unité ouvert correspond au demi-plan supérieur par la transformation \(h\). Le cercle unité privé du point \(1\) correspond à l'axe réel.
Lorsqu'une condition géométrique doit être reliée au signe d'une partie réelle ou imaginaire, il est souvent efficace de calculer cette partie, puis d'étudier le signe d'une fraction dont le dénominateur est positif.
Exercice 33 — Différences de carrés de modules
Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes. Montrer que :
\[ \begin{aligned} 4zz' ={}& |\overline z+z'|^2 -|\overline z-z'|^2\\ &+i\left( |\overline z-iz'|^2 -|\overline z+iz'|^2 \right). \end{aligned} \]Démontrer l'identité
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Pour tout nombre complexe \(W\) :
\[ |W|^2=W\overline W. \]Cette propriété transforme un carré de module en produit algébrique. Nous utiliserons également :
\[ \overline{A+B}=\overline A+\overline B, \] \[ \overline{A-B}=\overline A-\overline B, \] \[ A+\overline A=2\operatorname{Re}(A). \]Le membre de droite contient deux différences de carrés de modules. Nous allons commencer par démontrer une identité générale, directement à partir des propriétés du conjugué.
Cette identité permettra d'obtenir séparément la partie réelle et la partie imaginaire de \(zz'\). Nous les regrouperons ensuite pour reconstruire le complexe \(4zz'\).
Étape 1 — Démontrer une identité utile.
Soient \(A\) et \(B\) deux nombres complexes quelconques. Nous appliquons la propriété \(|W|^2=W\overline W\) à la somme \(A+B\).
\[ \begin{aligned} |A+B|^2 &=(A+B)(\overline A+\overline B)\\ &=|A|^2+|B|^2 +A\overline B+\overline A B. \end{aligned} \]Nous procédons de la même manière avec la différence \(A-B\) :
\[ \begin{aligned} |A-B|^2 &=(A-B)(\overline A-\overline B)\\ &=|A|^2+|B|^2 -A\overline B-\overline A B. \end{aligned} \]En soustrayant les deux égalités, les termes \(|A|^2\) et \(|B|^2\) disparaissent. Nous obtenons :
\[ |A+B|^2-|A-B|^2 =2(A\overline B+\overline A B). \]Or :
\[ \overline{A\overline B} =\overline A B. \]Par conséquent :
\[ A\overline B+\overline A B =2\operatorname{Re}(A\overline B). \]Il vient alors :
\[ \boxed{ |A+B|^2-|A-B|^2 =4\operatorname{Re}(A\overline B) }. \]Cette identité relie une différence de carrés de modules à une partie réelle. Elle a été obtenue par développement à partir des propriétés du cours.
Étape 2 — Étudier la première différence.
Pour simplifier les notations, posons :
\[ w=zz'. \]Dans l'identité précédente, choisissons :
\[ A=\overline z, \qquad B=z'. \]Nous obtenons :
\[ \begin{aligned} &|\overline z+z'|^2 -|\overline z-z'|^2\\ &\qquad= 4\operatorname{Re} (\overline z\,\overline{z'}). \end{aligned} \]La propriété du conjugué d'un produit donne :
\[ \overline z\,\overline{z'} =\overline{zz'} =\overline w. \]Un nombre complexe et son conjugué ont la même partie réelle. Il en résulte :
\[ \boxed{ |\overline z+z'|^2 -|\overline z-z'|^2 =4\operatorname{Re}(w) }. \]La première différence permet donc de retrouver quatre fois la partie réelle du produit \(zz'\).
Étape 3 — Étudier la deuxième différence.
Nous reprenons l'identité précédente en inversant les deux termes :
\[ |A-B|^2-|A+B|^2 =-4\operatorname{Re}(A\overline B). \]Choisissons cette fois :
\[ A=\overline z, \qquad B=iz'. \]Nous obtenons :
\[ \begin{aligned} &|\overline z-iz'|^2 -|\overline z+iz'|^2\\ &\qquad= -4\operatorname{Re} \left(\overline z\,\overline{iz'}\right). \end{aligned} \]Pour simplifier le terme qui apparaît dans la partie réelle, utilisons \(\overline i=-i\).
\[ \overline{iz'}=-i\overline{z'}. \]Ainsi :
\[ \overline z\,\overline{iz'} =-i\overline z\,\overline{z'} =-i\overline w. \]Écrivons maintenant :
\[ w=x+iy, \qquad (x;y)\in\mathbb R^2. \]Son conjugué est :
\[ \overline w=x-iy. \]Par conséquent :
\[ -i\overline w =-i(x-iy) =-y-ix. \]Sa partie réelle vaut donc :
\[ \operatorname{Re}(-i\overline w) =-y=-\operatorname{Im}(w). \]En remplaçant dans l'égalité obtenue précédemment, il vient :
\[ \boxed{ \begin{aligned} &|\overline z-iz'|^2 -|\overline z+iz'|^2\\ &\qquad=4\operatorname{Im}(w). \end{aligned} } \]La deuxième différence fournit donc quatre fois la partie imaginaire de \(zz'\).
Étape 4 — Reconstituer le produit complexe.
Nous avons établi séparément :
\[ \begin{aligned} |\overline z+z'|^2 -|\overline z-z'|^2 &=4\operatorname{Re}(w),\\ |\overline z-iz'|^2 -|\overline z+iz'|^2 &=4\operatorname{Im}(w). \end{aligned} \]Nous pouvons donc remplacer chacune des deux différences dans le membre de droite de l'égalité à démontrer :
\[ \begin{aligned} &|\overline z+z'|^2 -|\overline z-z'|^2\\ &\quad+i\left( |\overline z-iz'|^2 -|\overline z+iz'|^2 \right)\\ &=4\operatorname{Re}(w) +4i\operatorname{Im}(w)\\ &=4w. \end{aligned} \]Comme \(w=zz'\), nous obtenons finalement l'identité demandée.
Le membre de droite est construit en associant une partie réelle et une partie imaginaire :
\[ 4\operatorname{Re}(zz') +4i\operatorname{Im}(zz'). \]Or cette expression est précisément égale à \(4zz'\). L'identité permet donc de retrouver un produit complexe à partir de différences de carrés de modules.
Lorsqu'une identité contient des termes comme \(|A+B|^2\) et \(|A-B|^2\), il peut être utile de les développer grâce à \(|W|^2=W\overline W\), puis de soustraire les résultats. Les termes carrés se compensent et il reste des termes liés aux parties réelles.
Exercice 34 — Comparaison de modules
Montrer que, pour tout \(z\in\mathbb C\), si \(\operatorname{Re}(z)<1\), alors :
\[ \left|\frac{z}{2-z}\right|<1. \]Démontrer l'inégalité et l'interpréter géométriquement
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Pour deux nombres complexes \(u\) et \(v\), avec \(v\neq0\), on a :
\[ \left|\frac uv\right| =\frac{|u|}{|v|}. \]Deux modules étant des réels positifs, nous pouvons les comparer en comparant leurs carrés.
Dans le plan complexe, \(|z-a|\) représente la distance entre le point d'affixe \(z\) et le point d'affixe \(a\).
Nous vérifierons d'abord que le quotient proposé est défini. Ensuite, la propriété du module d'un quotient ramènera la question à la comparaison de \(|z|\) et de \(|2-z|\).
Pour comparer ces deux modules, nous calculerons la différence de leurs carrés, puis nous utiliserons l'hypothèse sur la partie réelle de \(z\).
Étape 1 — Vérifier la condition de définition.
Supposons :
\[ \operatorname{Re}(z)<1. \]Le nombre \(z\) ne peut pas être égal à \(2\), puisque :
\[ \operatorname{Re}(2)=2. \]Nous avons donc \(2-z\neq0\). Le quotient \(\frac{z}{2-z}\) est bien défini.
Étape 2 — Transformer l'inégalité de modules.
D'après la propriété du module d'un quotient :
\[ \left|\frac{z}{2-z}\right| =\frac{|z|}{|2-z|}. \]Le dénominateur \(|2-z|\) est strictement positif. Il vient donc :
\[ \begin{aligned} \left|\frac{z}{2-z}\right|<1 &\Longleftrightarrow \frac{|z|}{|2-z|}<1\\ &\Longleftrightarrow |z|<|2-z|. \end{aligned} \]La question revient ainsi à montrer que \(|z|\) est strictement inférieur à \(|2-z|\).
Étape 3 — Comparer les carrés des modules.
Pour faire apparaître la partie réelle de \(z\), calculons :
\[ |2-z|^2-|z|^2. \]D'après l'identité \(|W|^2=W\overline W\), nous obtenons :
\[ |2-z|^2-|z|^2 =(2-z)(2-\overline z) -z\overline z. \]Développons puis regroupons les termes conjugués :
\[ \begin{aligned} |2-z|^2-|z|^2 &=4-2z-2\overline z +z\overline z-z\overline z\\ &=4-2(z+\overline z)\\ &=4-4\operatorname{Re}(z)\\ &=4(1-\operatorname{Re}(z)). \end{aligned} \]Nous avons utilisé ici la relation :
\[ z+\overline z =2\operatorname{Re}(z). \]Étape 4 — Exploiter l'hypothèse.
Puisque \(\operatorname{Re}(z)<1\), nous avons :
\[ 1-\operatorname{Re}(z)>0. \]Par conséquent :
\[ |2-z|^2-|z|^2 =4(1-\operatorname{Re}(z))>0. \]Nous en déduisons :
\[ |2-z|^2>|z|^2. \]Les deux modules étant positifs, la comparaison de leurs carrés entraîne :
\[ |2-z|>|z|. \]En revenant à l'expression initiale du quotient, nous obtenons l'inégalité demandée.
Considérons dans le plan complexe les points \(O\), \(B\) et \(M\) d'affixes respectives \(0\), \(2\) et \(z\).
La distance entre \(O\) et \(M\) est :
\[ OM=|z|. \]La distance entre \(B\) et \(M\) est :
\[ BM=|z-2|=|2-z|. \]La droite d'équation \(x=1\) est la médiatrice du segment \([OB]\). En effet, les points \(O\) et \(B\) ont pour abscisses respectives \(0\) et \(2\).
La condition \(\operatorname{Re}(z)<1\) signifie que \(M\) est situé strictement dans le demi-plan à gauche de cette médiatrice.
Dans ce demi-plan, \(M\) est plus proche de \(O\) que de \(B\). Nous retrouvons ainsi :
\[ OM<BM, \] \[ |z|<|2-z|. \]L'inégalité de modules possède donc une interprétation simple : elle exprime une comparaison de deux distances dans le plan.
À gauche de la médiatrice du segment \([OB]\), le point \(M\) est plus proche de \(O\) que de \(B\). On a donc \(OM<BM\).
Pour comparer deux modules, il peut être plus simple de calculer la différence de leurs carrés. Dans le plan complexe, la comparaison de deux distances permet également de reconnaître une médiatrice ou un demi-plan.
À retenir — Module et transformations
Les trois exercices illustrent différentes utilisations des propriétés du module. Dans l'exercice 32, le passage au conjugué du dénominateur permet d'écrire explicitement la partie imaginaire d'une transformation complexe. L'étude de son signe établit un lien entre le disque unité ouvert et le demi-plan supérieur.
Dans l'exercice 33, le développement de carrés de modules fait apparaître des parties réelles. Un choix adapté des nombres complexes permet ensuite d'obtenir séparément la partie réelle et la partie imaginaire d'un produit, puis de reconstituer ce produit.
Enfin, l'exercice 34 montre que la comparaison de deux modules peut être ramenée à une identité algébrique faisant intervenir \(\operatorname{Re}(z)\). La même inégalité s'interprète géométriquement comme une comparaison des distances d'un point à deux points fixes du plan.
La démarche essentielle consiste à reconnaître la propriété pertinente, vérifier les conditions de son application, transformer l'expression étape par étape, puis donner une interprétation du résultat obtenu.
Parcours Maths Maroc — PMM
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