Nombres complexes : nature et caractéristiques des transformations — Exercice 69
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Dans l’exercice 69, le sens du travail est inversé : l’écriture complexe est donnée et il faut reconnaître la transformation, puis déterminer ses caractéristiques. La lecture du coefficient de l’inconnue fournit une première information, mais elle ne remplace pas la recherche du centre ou du vecteur de déplacement.
Les situations proposées comprennent une translation, une symétrie centrale, des homothéties et une rotation. Deux autres écritures associent une homothétie et une rotation de même centre. Pour les comprendre, il faut séparer le module du coefficient de son argument et absorber correctement un éventuel signe négatif. La méthode commune consiste à retrouver une forme centrée, puis à interpréter précisément le coefficient multiplicatif. Cette démarche évite notamment de confondre une transformation qui change les distances avec une rotation.
Repères de cours — Point fixe et coefficient multiplicatif
Pour une transformation \(z'=az+b\), si \(a=1\), l’écriture est celle d’une translation de vecteur d’affixe \(b\). Si \(a\ne1\), son point fixe unique a pour affixe \(\omega=b/(1-a)\), et l’on obtient \(z'-\omega=a(z-\omega)\).
Un coefficient réel \(a\ne0,1\) donne une homothétie de rapport \(a\) ; pour \(a=-1\), il s’agit aussi d’une symétrie centrale. Si \(|a|=1\) et \(a\ne1\), la transformation est une rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\arg(a)\). Un coefficient nul correspond à une application constante et ne représente pas une rotation.
Pour \(a\ne0,1\), écrire \(a=re^{i\alpha}\), avec \(r=|a|>0\), décrit la composition d’une homothétie de rapport \(r\) et d’une rotation d’angle \(\alpha\), de même centre. Les distances sont multipliées par \(r\). Si un coefficient est écrit \(-r e^{i\beta}\), avec \(r>0\), son argument est \(\beta+\pi\) modulo \(2\pi\).
Exercice 69
Objectif et méthode — Exercice 69
Lire d’abord le coefficient de \(z\), puis chercher le vecteur ou le centre adapté. Lorsqu’une relation est déjà centrée, vérifier le signe de l’affixe du centre en la comparant à \(z'-\omega=a(z-\omega)\). Pour les coefficients non réels, calculer le module avant de conclure qu’il s’agit d’une rotation. Enfin, distinguer le rapport positif \(|a|\) de l’argument de \(a\), en tenant compte du signe moins éventuellement placé devant une exponentielle.
Déterminer la nature de chacune des transformations suivantes puis donner ses caractéristiques :
\[ 1)\ z'=z-3i \] \[ 2)\ z'=1-i-z \] \[ 3)\ z'=-3z+i \] \[ 4)\ z'+2i=-3(z+2i) \] \[ 5)\ z'+3i=(1-i)(z+3i) \] \[ 6)\ z'=\frac{1+i}{\sqrt2}\,z \] \[ 7)\ z'+1+i=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}(z+1+i) \]Afficher la correctionMasquer la correction
On compare avec la forme d’une translation :
\[ z'=z+b. \]Ici :
\[ b=-3i. \]La transformation est donc une translation de vecteur d’affixe \(-3i\).
On écrit :
\[ z'=-z+(1-i). \]On reconnaît la forme d’une symétrie centrale :
\[ z'=2\omega-z. \]On identifie donc :
\[ 2\omega=1-i. \]Ainsi :
\[ \omega=\frac{1-i}{2}. \]La transformation est donc la symétrie centrale de centre \(\Omega\left(\dfrac{1-i}{2}\right)\).
On cherche à mettre cette écriture sous la forme d’une homothétie :
\[ z'-\omega=k(z-\omega). \]Ici, le coefficient de \(z\) est :
\[ k=-3. \]On suppose donc :
\[ z'-\omega=-3(z-\omega). \]En développant, on obtient :
\[ z'=-3z+4\omega. \]Or l’expression donnée est :
\[ z'=-3z+i. \]Donc :
\[ 4\omega=i. \]Ainsi :
\[ \omega=\frac{i}{4}. \]La transformation est donc une homothétie de centre \(\Omega\left(\dfrac{i}{4}\right)\) et de rapport \(-3\).
On écrit :
\[ z'-(-2i)=-3\bigl(z-(-2i)\bigr). \]On reconnaît exactement la forme :
\[ z'-\omega=k(z-\omega). \]Donc :
\[ \omega=-2i \qquad\text{et}\qquad k=-3. \]La transformation est donc une homothétie de centre \(\Omega(-2i)\) et de rapport \(-3\).
On écrit :
\[ z'-(-3i)=(1-i)\bigl(z-(-3i)\bigr). \]On est dans une écriture de la forme :
\[ z'-\omega=a(z-\omega), \qquad a\ne0. \]Ici :
\[ \omega=-3i \qquad\text{et}\qquad a=1-i. \]On écrit \(a\) sous forme exponentielle.
Le module de \(1-i\) est :
\[ |1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2. \]De plus :
\[ 1-i=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-i\frac{1}{\sqrt2}\right) =\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}. \]Donc :
\[ z'-(-3i)=\sqrt2\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\bigl(z-(-3i)\bigr). \]Cette transformation est donc la composée d’une homothétie de centre \(\Omega(-3i)\) et de rapport \(\sqrt2\), avec une rotation de même centre et d’angle \(-\dfrac{\pi}{4}\).
On remarque que :
\[ \frac{1+i}{\sqrt2} =\frac{1}{\sqrt2}+i\frac{1}{\sqrt2} =e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Donc l’écriture devient :
\[ z'=e^{i\frac{\pi}{4}}z. \]On peut encore écrire :
\[ z'-0=e^{i\frac{\pi}{4}}(z-0). \]Il s’agit donc d’une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On écrit :
\[ z'-(-1-i)=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}\bigl(z-(-1-i)\bigr). \]On est encore dans une écriture de la forme :
\[ z'-\omega=a(z-\omega), \qquad a\ne0. \]Ici :
\[ \omega=-1-i \qquad\text{et}\qquad a=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}. \]Le rapport est le module de \(a\) :
\[ |a|=|-2e^{i\frac{2\pi}{3}}|=2. \]Pour l’angle, on écrit :
\[ -2e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2e^{i\pi}e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2e^{i\frac{5\pi}{3}}. \]Or :
\[ \frac{5\pi}{3}\equiv -\frac{\pi}{3}\ [2\pi]. \]Donc :
\[ a=2e^{-i\frac{\pi}{3}}. \]Ainsi :
\[ z'-(-1-i)=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\bigl(z-(-1-i)\bigr). \]Cette transformation est donc la composée d’une homothétie de centre \(\Omega(-1-i)\) et de rapport \(2\), avec une rotation de même centre et d’angle \(-\dfrac{\pi}{3}\).
Résultats essentiels
Une translation de vecteur d’affixe \(b\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'=z+b} \]La symétrie centrale de centre \(\Omega(\omega)\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'=2\omega-z} \]L’homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport réel \(k\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'-\omega=k(z-\omega)} \]La rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d’angle \(\alpha\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)} \]Une transformation de la forme :
\[ z'-\omega=a(z-\omega), \qquad a\ne0, \]peut s’écrire :
\[ z'-\omega=ke^{i\alpha}(z-\omega), \]où :
\[ k=|a| \qquad\text{et}\qquad \alpha=\arg(a)\ [2\pi]. \]Elle est donc la composée d’une homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k\), avec une rotation de même centre et d’angle \(\alpha\).
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