Nombres complexes : notation exponentielle et applications — Exercices 45 à 47
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
La notation exponentielle permet de transformer certaines expressions complexes en produits dont le module et l’argument se lisent plus facilement. Elle devient particulièrement efficace lorsqu’une expression contient des exponentielles d’angles opposés ou lorsqu’il faut calculer une puissance élevée. Toutefois, son emploi demande de maîtriser les identités d’Euler et de vérifier le signe du facteur réel.
Dans les exercices 45 à 47, nous mobilisons trois démarches complémentaires. Nous commencerons par introduire un angle moitié dans une différence d’exponentielles et calculerons une puissance. Nous utiliserons ensuite la forme algébrique d’un complexe et les identités du conjugué pour prouver une égalité de distances. Enfin, nous étudierons la partie réelle d’un quotient en justifiant soigneusement chaque étape d’une équivalence. Dans chaque exercice, le choix de la méthode découlera de la nature du résultat demandé.
Repères de cours
Notation exponentielle. Pour tout réel θ, la formule d’Euler donne \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). Le nombre \(e^{i\theta}\) a un module égal à 1 ; il n’est donc jamais nul. Les règles sur les produits, quotients et puissances des exponentielles restent applicables.
Formule d’Euler et sinus. La différence entre deux exponentielles d’angles opposés fournit un sinus. C’est l’outil clé pour introduire l’angle moitié dans l’exercice 45.
Conjugué et module. Pour \(z=x+iy\), les relations \(z\overline z=x^2+y^2\) et \(z+\overline z=2x\) permettent de revenir à des expressions réelles. Le carré d’un module est non négatif.
Partie réelle d’un quotient. Pour un quotient dont le dénominateur est non nul, multiplier par son conjugué permet de faire apparaître un dénominateur réel strictement positif et d’identifier la partie réelle.
Exercice 45 — Exponentielles et angle moitié
Question 1 — Transformer l’expression de G(θ)
Pour tout réel \(\theta\in]0;2\pi[\), on pose :
\[ G(\theta)=\frac{i(1-e^{i\theta})}{\sqrt3\,e^{i\theta}}. \]1) Montrer que :
\[ G(\theta)=\frac{2}{\sqrt3}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]Afficher la correctionMasquer la correction
La différence \(e^{iu}-e^{-iu}\) se réécrit grâce au sinus. En factorisant une différence d’exponentielles autour de l’angle moyen, nous faisons apparaître un sinus de l’angle moitié.
L’énoncé impose \(0<\theta<2\pi\). Les exponentielles complexes sont toujours non nulles : le quotient définissant \(G(\theta)\) est donc bien défini. Nous factorisons d’abord le numérateur, puis appliquons les règles de calcul sur les exponentielles.
1) Transformation de \(1-e^{i\theta}\)
On veut faire apparaître l’angle moitié \(\dfrac{\theta}{2}\). Pour cela, on factorise par \(e^{i\frac{\theta}{2}}\) :
\[ 1-e^{i\theta} =e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right). \]Or, d’après la formule d’Euler :
\[ e^{iu}-e^{-iu}=2i\sin u. \]Donc :
\[ e^{-iu}-e^{iu}=-2i\sin u. \]En prenant \(u=\dfrac{\theta}{2}\), on obtient :
\[ e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}} =-2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Ainsi :
\[ 1-e^{i\theta} =-2i\,e^{i\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Calcul de \(G(\theta)\)
La factorisation précédente est maintenant introduite dans le quotient. La propriété des exponentielles permet de soustraire les exposants, et la condition e^{iθ} ≠ 0 garantit que cette simplification est licite.
On remplace dans l’expression de \(G(\theta)\) :
\[ G(\theta) = \frac{i(1-e^{i\theta})}{\sqrt3\,e^{i\theta}}. \] \[ G(\theta) = \frac{i\left[-2i\,e^{i\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]} {\sqrt3\,e^{i\theta}}. \]Comme \(i(-2i)=-2i^2=2\), on a :
\[ G(\theta) = \frac{2e^{i\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} {\sqrt3\,e^{i\theta}}. \]On simplifie les exponentielles :
\[ \frac{e^{i\frac{\theta}{2}}}{e^{i\theta}} = e^{i\left(\frac{\theta}{2}-\theta\right)} = e^{-i\frac{\theta}{2}}. \]Puisque \(0<\theta/2<\pi\), le sinus de l’angle moitié est strictement positif. Le coefficient réel obtenu est donc le module de \(G(\theta)\), tandis que \(-\theta/2\) en est un argument. La formule demandée fournit ainsi une véritable écriture exponentielle pour les angles considérés.
Question 2 — Calculer une puissance douzième
2) Calculer :
\[ \left(G\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)^{12}. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Pour un complexe écrit \(r e^{i\varphi}\) avec \(r>0\), la puissance entière se calcule par \(r^n e^{in\varphi}\). Deux arguments différant de \(2k\pi\) définissent le même complexe.
La valeur \(2\pi/3\) appartient à l’intervalle autorisé. Nous évaluons d’abord le module, qui devient égal à 1, puis nous multiplions l’argument par 12. Aucun développement algébrique n’est nécessaire.
2) Calcul de \(\left(G\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)^{12}\)
Le résultat précédent donne une forme exponentielle de G(θ), car le facteur réel est strictement positif sur l’intervalle fixé. On peut donc calculer séparément le module et l’argument avant d’élever à la puissance douze.
On prend :
\[ \theta=\frac{2\pi}{3}. \]Alors :
\[ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3}. \]Donc :
\[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}. \]En remplaçant dans la formule obtenue :
\[ G\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,e^{-i\frac{\pi}{3}}. \] \[ G\left(\frac{2\pi}{3}\right)=e^{-i\frac{\pi}{3}}. \]Par conséquent :
\[ \left(G\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)^{12} = \left(e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)^{12} = e^{-i4\pi}. \]Comme \(e^{-i4\pi}=\cos(4\pi)-i\sin(4\pi)=1\), on obtient :
Le résultat est le complexe réel 1, de module 1 et d’argument nul modulo \(2\pi\). Cela découle de la périodicité des exponentielles, et non d’une approximation numérique.
Exercice 46 — Égalité de modules et distances
Montrer l’égalité de deux distances
Pour tout \(z\in\mathbb C\) tel que \(\operatorname{Re}(z)\ne 2\), on pose :
\[ F(z)=\frac{4-z\overline z}{4-z-\overline z}. \]Montrer que :
\[ |F(z)-z|=|F(z)-2|. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Pour deux points d’affixes \(a\) et \(b\), la distance entre ces points est \(|a-b|\). Pour comparer deux distances, nous pouvons comparer leurs carrés, à condition de rappeler que les modules sont toujours positifs.
L’hypothèse \(\operatorname{Re}(z)\ne2\) est indispensable : elle garantit la définition de \(F(z)\). Nous écrivons ensuite \(z=x+iy\), établissons que \(F(z)\) est réel, puis utilisons la différence de deux carrés de modules.
Écriture de \(z\) sous forme algébrique
L’objectif est une égalité de distances dans le plan complexe. La démarche consiste à écrire F(z) sous forme réelle, puis à comparer les carrés des deux modules, qui sont des nombres réels positifs.
On pose :
\[ z=x+iy \qquad (x,y)\in\mathbb R^2. \]Alors :
\[ \operatorname{Re}(z)=x. \]La condition \(\operatorname{Re}(z)\ne2\) donne :
\[ x\ne2. \]On a aussi :
\[ \overline z=x-iy, \qquad z\overline z=x^2+y^2, \qquad z+\overline z=2x. \]Expression de \(F(z)\)
Nous utilisons les identités sur le conjugué pour remplacer le numérateur et le dénominateur. Il faut d’abord contrôler que le dénominateur ne s’annule pas : c’est précisément le rôle de l’hypothèse Re(z) ≠ 2.
\[ F(z)=\frac{4-z\overline z}{4-z-\overline z}. \]En remplaçant :
\[ F(z)=\frac{4-(x^2+y^2)}{4-2x}. \]Comme \(x\ne2\), on a \(4-2x\ne0\). Donc \(F(z)\) est bien défini.
De plus, le numérateur et le dénominateur sont réels, donc :
\[ F(z)\in\mathbb R. \]Pour simplifier l’écriture, on pose :
\[ t=F(z). \]Ainsi :
\[ t=\frac{4-x^2-y^2}{4-2x} = \frac{4-x^2-y^2}{2(2-x)}. \]Comparaison des deux modules
L’introduction de t = F(z) allège les écritures. Comme t est réel, chaque module peut être calculé directement à partir des composantes réelle et imaginaire, sans rationalisation supplémentaire.
Comme \(t\) est réel, on a :
\[ t-z=t-(x+iy)=(t-x)-iy. \]Donc :
\[ |t-z|^2=(t-x)^2+y^2. \]D’autre part :
\[ t-2\in\mathbb R, \] donc : \[ |t-2|^2=(t-2)^2. \]Il suffit donc de montrer que :
\[ (t-x)^2+y^2=(t-2)^2. \]Calculons la différence :
\[ (t-x)^2+y^2-(t-2)^2 = t^2-2tx+x^2+y^2-(t^2-4t+4). \] \[ (t-x)^2+y^2-(t-2)^2 = 2t(2-x)+x^2+y^2-4. \]Or, d’après l’expression de \(t\) :
\[ t=\frac{4-x^2-y^2}{2(2-x)}. \]Donc :
\[ 2t(2-x)=4-x^2-y^2. \]Ainsi :
\[ (t-x)^2+y^2-(t-2)^2 = (4-x^2-y^2)+x^2+y^2-4=0. \]Donc :
\[ (t-x)^2+y^2=(t-2)^2. \]Par conséquent :
\[ |t-z|^2=|t-2|^2. \]Les deux membres étant des nombres réels positifs, on obtient :
Si M est le point d’affixe \(F(z)\), A le point d’affixe \(z\) et B le point d’affixe 2, alors \(MA=MB\). Le point M appartient donc à la médiatrice de [AB] et, puisque \(F(z)\) est réel, il est aussi situé sur l’axe réel. C’est la signification géométrique de l’égalité obtenue.
Exercice 47 — Partie réelle d’un quotient complexe
Démontrer l’équivalence demandée
Pour tout \(z\in\mathbb C-\{i\}\), on pose :
\[ f(z)=\frac{z+i}{1+iz}. \]Montrer que :
\[ \operatorname{Re}(f(z))=\frac12 \Longleftrightarrow \operatorname{Re}(z)=\frac{|1+iz|^2}{4}. \]Afficher la correctionMasquer la correction
Pour calculer la partie réelle d’un quotient complexe, nous le multiplions par le conjugué du dénominateur. Le produit d’un complexe non nul par son conjugué vaut son module au carré, qui est strictement positif.
L’expression de \(f(z)\) n’a de sens que si \(1+iz\ne0\), ce qui équivaut à \(z\ne i\). Nous vérifierons cette condition avant de passer de \(\operatorname{Re}(f(z))=1/2\) à une équation en \(\operatorname{Re}(z)\).
Écriture de \(z\) sous forme algébrique
On nous demande de démontrer une équivalence portant sur une partie réelle. Il est donc naturel d’écrire z sous forme algébrique, puis de préparer le calcul de la partie réelle d’un quotient complexe.
On pose :
\[ z=x+iy \qquad (x,y)\in\mathbb R^2. \]Alors :
\[ \operatorname{Re}(z)=x. \]Comme \(z\ne i\), on a :
\[ 1+iz\ne0. \]En effet, si \(1+iz=0\), alors \(iz=-1\), donc \(z=i\), ce qui est exclu.
Calcul du dénominateur
Avant de multiplier par un conjugué, nous calculons le module au carré du dénominateur. La condition z ≠ i assure qu’il est strictement positif ; elle sera réutilisée lors de l’équivalence finale.
\[ 1+iz=1+i(x+iy). \] \[ 1+iz=1+ix-y. \]Donc :
\[ 1+iz=(1-y)+ix. \]Son module au carré vaut :
\[ |1+iz|^2=(1-y)^2+x^2. \]Calcul de la partie réelle de \(f(z)\)
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur transforme ce dernier en un réel strictement positif. On peut alors identifier la partie réelle du quotient sans ambiguïté.
On a :
\[ z+i=x+iy+i=x+i(y+1). \]Ainsi :
\[ f(z)=\frac{x+i(y+1)}{1-y+ix}. \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\[ f(z) = \frac{(x+i(y+1))(1-y-ix)}{(1-y)^2+x^2}. \]Développons le numérateur :
\[ (x+i(y+1))(1-y-ix) = x(1-y)-ix^2+i(y+1)(1-y)+x(y+1). \]On regroupe les termes réels :
\[ x(1-y)+x(y+1) = x-xy+xy+x=2x. \]Les autres termes sont imaginaires. Donc la partie réelle du numérateur vaut \(2x\).
Par conséquent :
\[ \operatorname{Re}(f(z)) = \frac{2x}{(1-y)^2+x^2}. \]Comme :
\[ (1-y)^2+x^2=|1+iz|^2, \] on obtient : \[ \operatorname{Re}(f(z)) = \frac{2x}{|1+iz|^2}. \]Étude de l’équivalence
Nous disposons maintenant de l’expression exacte de Re(f(z)). Comme son dénominateur est non nul, chaque multiplication de l’équivalence sera réversible : c’est la justification essentielle du « si et seulement si ».
On a donc :
\[ \operatorname{Re}(f(z))=\frac12 \Longleftrightarrow \frac{2x}{|1+iz|^2}=\frac12. \]Comme \(1+iz\ne0\), on a \(|1+iz|^2>0\). On peut donc multiplier les deux membres par \(2|1+iz|^2\) :
\[ \frac{2x}{|1+iz|^2}=\frac12 \Longleftrightarrow 4x=|1+iz|^2. \]Donc :
\[ x=\frac{|1+iz|^2}{4}. \]Or \(x=\operatorname{Re}(z)\). Ainsi :
L’équivalence vaut pour tout \(z\ne i\). Le contrôle du dénominateur permet de passer de la fraction à l’équation finale dans les deux sens. Lorsque la condition est réalisée, sa partie droite montre aussi que \(\operatorname{Re}(z)>0\), puisque \(|1+iz|^2>0\).
À retenir — Trois stratégies complémentaires
Exercice 45. Face à une différence d’exponentielles, chercher une factorisation autour de l’angle moitié. Vérifier ensuite le signe du coefficient réel afin de reconnaître un module.
Exercice 46. Pour montrer une égalité de modules, choisir la forme algébrique, contrôler l’existence des quotients et comparer les carrés des modules. Le résultat peut recevoir une interprétation comme égalité de distances.
Exercice 47. Une égalité sur la partie réelle d’un quotient se traite en utilisant le conjugué du dénominateur. Pour conserver une équivalence, toutes les divisions et multiplications doivent être justifiées par la non-nullité des dénominateurs.
Différence \(1-e^{i\theta}\)
Pour faire apparaître l’angle moitié, on peut écrire :
\[ 1-e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}}-e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i\,e^{i\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Forme algébrique et module
Si \(z=x+iy\), alors :
\[ \overline z=x-iy,\qquad z\overline z=x^2+y^2,\qquad z+\overline z=2x. \]Partie réelle d’un quotient
Pour calculer la partie réelle d’un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur afin d’obtenir un dénominateur réel positif.
\[ \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}. \]Dans ces trois situations, la démarche reste la même : identifier la propriété pertinente, vérifier ses conditions, effectuer les transformations justifiées, puis interpréter le résultat obtenu.
Parcours Maths Maroc — PMM
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