Nombres complexes : notation exponentielle — Exercices 43 et 44
2e Bac Sciences Mathématiques — Manuel Al Moufid
La notation exponentielle simplifie l'écriture des nombres complexes non nuls et permet de traiter efficacement les produits, les quotients et les puissances. Elle constitue également un outil de lecture géométrique : le module mesure la distance à l'origine, tandis que l'argument indique une direction dans le plan complexe. Pour obtenir une écriture exponentielle correcte, le coefficient placé devant l'exponentielle doit toujours être strictement positif.
Dans l'exercice 43, nous passerons de la notation exponentielle à la forme algébrique, puis nous déterminerons des écritures exponentielles de nombres réels, imaginaires purs, produits, quotients et puissances. L'exercice 44 permettra de construire quatre points à partir de leurs affixes, de transformer des expressions dépendant d'un angle et de linéariser quatre puissances trigonométriques. Chaque correction explique la propriété utilisée, ses conditions d'application, le calcul réalisé et la conclusion qui en découle.
Repères de cours — Notation exponentielle et linéarisation
Définition. Pour tout réel \(\theta\), la formule d'Euler définit \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). Si \(z\neq0\), son écriture exponentielle est \(z=re^{i\theta}\), où \(r=|z|>0\) et \(\theta\) est un argument de \(z\).
\[\boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}\]Propriétés. Pour \(r>0\), \(s>0\), \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) et \(n\in\mathbb N\), les règles de produit, quotient et puissance donnent :
\[ (re^{i\alpha})(se^{i\beta})=rs\,e^{i(\alpha+\beta)},\qquad \frac{re^{i\alpha}}{se^{i\beta}}=\frac{r}{s}e^{i(\alpha-\beta)},\qquad (re^{i\alpha})^n=r^ne^{in\alpha}. \]Signe à contrôler. Un coefficient négatif impose un décalage d'argument de \(\pi\) :
\[-re^{i\theta}=re^{i(\theta+\pi)}\qquad(r>0).\]Formules d'Euler et linéarisation. Le cours donne également :
\[\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\]Pour développer des puissances de sinus et de cosinus, nous utiliserons les identités usuelles des angles doubles, les formules produit-somme et les expressions de \(\cos(3u)\) et \(\sin(3u)\). L'objectif est de remplacer les produits et les puissances par une somme de sinus et de cosinus d'angles multiples.
Exercice 43 — Formes algébrique et exponentielle
Question 1 — Passer de la forme exponentielle à la forme algébrique
Donner la forme algébrique des nombres suivants :
\[a=4e^{-i\frac{\pi}{2}};\qquad b=\frac{\sqrt2}{2}e^{i\frac{3\pi}{4}};\qquad c=8e^{-i\frac{\pi}{3}}.\]Afficher la correctionMasquer la correction
La définition \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) permet de lire directement les parties réelle et imaginaire. Les arguments peuvent être négatifs.
Pour chaque nombre, remplacer son exponentielle par le cosinus et le sinus correspondants, puis utiliser les valeurs usuelles.
Les coefficients \(4\), \(\frac{\sqrt2}{2}\) et \(8\) étant positifs, les écritures de départ ont déjà la forme attendue : il reste à développer.
On utilise :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]Pour \(a\) :
\[ a=4e^{-i\frac{\pi}{2}} =4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). \]Or :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 \quad\text{et}\quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1. \]Donc :
\[ a=4(0-i)=-4i. \]Pour \(b\) :
\[ b=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right). \]Or :
\[ \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2} \quad\text{et}\quad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]Donc :
\[ b=\frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right) =-\frac12+\frac12 i. \]Pour \(c\) :
\[ c=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). \]Or :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12 \quad\text{et}\quad \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}. \]Donc :
\[ c=8\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=4-4\sqrt3\,i. \]Les trois résultats sont des écritures \(x+iy\). Elles permettent de retrouver directement les coordonnées des points correspondants dans le plan complexe.
Question 2. Écrire sous forme exponentielle les onze nombres complexes suivants. Les corrections sont réparties par groupes pour pouvoir consulter séparément chaque méthode.
Question 2 — Cas \(z_1,z_2,z_3,z_4\)
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Un réel positif non nul admet \(0\) comme argument, un réel négatif admet \(\pi\). Les nombres imaginaires purs non nuls ont pour arguments \(\frac\pi2\) ou \(-\frac\pi2\), suivant le signe.
Identifier d’abord le module positif et l’axe sur lequel se situe chaque nombre : aucun calcul de trigonométrie supplémentaire n’est nécessaire.
Nous appliquons les critères du cours pour les réels et les imaginaires purs ; aucun des quatre complexes n’est nul.
Pour les réels strictement positifs, un argument est \(0\). Pour les réels strictement négatifs, un argument est \(\pi\).
Comme \(2018>0\), on a :
\[ \boxed{z_1=2018e^{i0}}. \]Comme \(-15<0\), on a :
\[ \boxed{z_2=15e^{i\pi}}. \]Le nombre \(9i\) est situé sur le demi-axe imaginaire positif, donc :
\[ \boxed{z_3=9e^{i\frac{\pi}{2}}}. \]Le nombre \(-\dfrac{i}{\sqrt5}\) est situé sur le demi-axe imaginaire négatif, et son module vaut \(\dfrac1{\sqrt5}\). Donc :
\[ \boxed{z_4=\frac1{\sqrt5}e^{-i\frac{\pi}{2}}}. \]Une écriture exponentielle n’est pas unique : on peut toujours ajouter un multiple entier de \(2\pi\) à un argument.
Question 2 — Cas \(z_5\)
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Le module de \(x+iy\) vaut \(\sqrt{x^2+y^2}\). Pour l’argument, il faut tenir compte des signes des deux parties.
Calculer le module puis reconnaître le deuxième quadrant pour choisir un angle usuel.
Le complexe est non nul, car ses deux composantes ne s’annulent pas.
\[ z_5=-4+4i. \]Son module vaut :
\[ |z_5|=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2. \]Le point correspondant est dans le deuxième quadrant. Un argument est donc :
\[ \arg(z_5)=\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]. \]L’argument \(3\pi/4\) est cohérent avec une partie réelle négative et une partie imaginaire positive.
Question 2 — Cas \(z_6\)
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La formule de Moivre s’écrit \((re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\), pour une base non nulle et \(r>0\).
Trouver d’abord le module et l’argument de la base, puis élever le module à la puissance 7 et multiplier l’argument par 7.
La base \(1+i\sqrt3\) est non nulle ; les propriétés des puissances s’appliquent.
\[ 1+i\sqrt3=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right). \]Comme :
\[ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12 \quad\text{et}\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \]on obtient :
\[ 1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Donc :
\[ z_6=\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^7 =2^7e^{i\frac{7\pi}{3}}. \]Or :
\[ \frac{7\pi}{3}\equiv\frac{\pi}{3}\ [2\pi]. \]La réduction de \(7\pi/3\) modulo \(2\pi\) donne un angle plus lisible sans changer le nombre complexe.
Question 2 — Cas \(z_7\)
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Pour un quotient de complexes non nuls, diviser les modules et soustraire les arguments.
Le numérateur est positif, donc d’argument nul. Écrire le dénominateur sous forme exponentielle avant de simplifier.
Comme \(|1-i|=\sqrt2>0\), le quotient est défini.
On écrit d’abord le dénominateur sous forme exponentielle :
\[ 1-i=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right) =\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{4}}. \]Alors :
\[ z_7=\frac{5\sqrt2}{\sqrt2e^{-i\frac{\pi}{4}}} =5e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Le module du quotient vaut \(5\) ; son argument est celui de l’inverse de \(1-i\), soit \(\pi/4\).
Question 2 — Cas \(z_8\)
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L’argument de \(z^n\) est égal à \(n\arg z\) modulo \(2\pi\). Un signe moins devant un complexe non nul ajoute \(\pi\) à son argument.
Calculer d’abord la puissance positive \((\sqrt3-i)^{2017}\), puis traiter séparément le signe négatif extérieur.
La base a un module égal à 2, donc elle ne s’annule pas. Pour réduire l’argument, il suffit de remarquer que \(2017=12\times168+1\).
\[ \sqrt3-i=2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right). \]Comme :
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{et}\quad \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12, \]on a :
\[ \sqrt3-i=2e^{-i\frac{\pi}{6}}. \]Donc :
\[ (\sqrt3-i)^{2017}=2^{2017}e^{-i\frac{2017\pi}{6}}. \]On réduit l’argument modulo \(2\pi\). Comme :
\[ -\frac{2017\pi}{6}\equiv-\frac{\pi}{6}\ [2\pi], \]on obtient :
\[ (\sqrt3-i)^{2017}=2^{2017}e^{-i\frac{\pi}{6}}. \]Finalement :
\[ z_8=-2^{2017}e^{-i\frac{\pi}{6}} =2^{2017}e^{i\left(-\frac{\pi}{6}+\pi\right)} =2^{2017}e^{i\frac{5\pi}{6}}. \]Le signe « moins » placé devant la puissance ne modifie pas son module ; il modifie seulement la direction de \(\pi\).
Question 2 — Cas \(z_9\)
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La forme exponentielle permet de calculer le carré du dénominateur sans développement cartésien, puis d’obtenir directement le quotient.
Déterminer le module et l’argument du complexe \(\sqrt6+i\sqrt2\), élever au carré, puis utiliser \(i=e^{i\pi/2}\).
Le module \(2\sqrt2\) du nombre au dénominateur est strictement positif : toutes les divisions sont permises.
\[ \sqrt6+i\sqrt2=2\sqrt2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right). \]Donc :
\[ \sqrt6+i\sqrt2=2\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{6}}. \]Alors :
\[ (\sqrt6+i\sqrt2)^2=\left(2\sqrt2\right)^2e^{i\frac{2\pi}{6}} =8e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Comme \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\), on obtient :
\[ z_9=\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{8e^{i\frac{\pi}{3}}} =\frac18e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)} =\frac18e^{i\frac{\pi}{6}}. \]Le résultat final possède un module \(1/8\) et un argument \(\pi/6\).
Question 2 — Cas \(z_{10}\) et \(z_{11}\)
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Pour des exponentielles complexes, les exposants s’additionnent dans un produit, se soustraient dans un quotient et se multiplient lors d’une puissance.
Traiter chaque opération dans l’ordre indiqué, puis réduire les arguments modulo \(2\pi\).
Chaque exponentielle de la forme \(e^{i\theta}\) a un module égal à 1 : les facteurs et les dénominateurs sont non nuls.
\[ z_{10}=e^{i\frac{3\pi}{2}}\times e^{i\frac{2\pi}{3}} =e^{i\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}\right)}. \]Or :
\[ \frac{3\pi}{2}+\frac{2\pi}{3} =\frac{9\pi}{6}+\frac{4\pi}{6} =\frac{13\pi}{6}. \]Donc :
\[ z_{10}=e^{i\frac{13\pi}{6}}. \]Comme :
\[ \frac{13\pi}{6}\equiv\frac{\pi}{6}\ [2\pi], \]on obtient :
\[ \boxed{z_{10}=e^{i\frac{\pi}{6}}}. \] \[ z_{11}=\frac{e^{-i\pi}}{\left(e^{i\frac{7\pi}{6}}\right)^5}. \]On commence par calculer la puissance :
\[ \left(e^{i\frac{7\pi}{6}}\right)^5=e^{i\frac{35\pi}{6}}. \]Donc :
\[ z_{11}=\frac{e^{-i\pi}}{e^{i\frac{35\pi}{6}}} =e^{-i\pi-i\frac{35\pi}{6}}. \]Or :
\[ -\pi-\frac{35\pi}{6} =-\frac{6\pi}{6}-\frac{35\pi}{6} =-\frac{41\pi}{6}. \]Ainsi :
\[ z_{11}=e^{-i\frac{41\pi}{6}}. \]Comme :
\[ -\frac{41\pi}{6}\equiv\frac{7\pi}{6}\ [2\pi], \]on obtient :
\[ \boxed{z_{11}=e^{i\frac{7\pi}{6}}}. \]La notation exponentielle transforme les opérations sur les nombres complexes en calculs d’angles.
Question 3 — Changer un signe puis retrouver la forme algébrique
a) Écrire sous forme exponentielle les deux nombres suivants. b) En déduire la forme algébrique de \(z_2\).
\[z_1=-7\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right),\qquad z_2=e^{i\frac\pi2}z_1^2.\]Afficher la correctionMasquer la correction
Une forme exponentielle requiert un module strictement positif. Un facteur réel négatif oblige à ajouter \(\pi\) à l’argument ; les puissances utilisent ensuite la formule de Moivre.
Commencer par transformer \(z_1\), calculer son carré, puis multiplier par \(e^{i\pi/2}\). Terminer en revenant à \(x+iy\).
Le nombre \(z_1\) est non nul. Son coefficient initial \(-7\sqrt2\) ne peut pas être conservé comme module, car il est négatif.
On a :
\[ z_1=-7\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \]Le nombre entre parenthèses est de module \(1\) et d’argument \(\frac{\pi}{4}\). Le signe négatif revient à ajouter \(\pi\) à l’argument :
\[ z_1=7\sqrt2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)\right). \] \[ z_1=7\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right). \] \[ \boxed{z_1=7\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{4}}} \]Ensuite :
\[ z_2=e^{i\frac{\pi}{2}}\times z_1^2. \]Or :
\[ z_1^2=(7\sqrt2)^2e^{i\frac{10\pi}{4}} =98e^{i\frac{5\pi}{2}}. \]Donc :
\[ z_2=e^{i\frac{\pi}{2}}\times98e^{i\frac{5\pi}{2}} =98e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{2}\right)} =98e^{i3\pi}. \]Comme :
\[ 3\pi\equiv\pi\ [2\pi], \]on obtient :
\[ \boxed{z_2=98e^{i\pi}}. \]Donc sa forme algébrique est :
\[ z_2=98(\cos\pi+i\sin\pi)=98(-1+0i)=-98. \]Le résultat \(z_2=-98\) est un réel strictement négatif ; sa forme exponentielle \(98e^{i\pi}\) est donc cohérente.
Exercice 44 — Construction, écriture exponentielle et linéarisation
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
Question 1 — Construire quatre points du plan complexe
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\), construire les points d’affixes :
\[A(e^{i\frac\pi4});\quad B(-3e^{i\frac\pi4});\quad C(2e^{-i\frac{5\pi}{6}});\quad D(1+e^{-i\frac\pi3}).\]Afficher la correctionMasquer la correction
Le point d’affixe \(z=x+iy\) a pour coordonnées \((x;y)\). Avec \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), on retrouve ses coordonnées à partir de l’écriture exponentielle.
Convertir chaque affixe en forme algébrique, puis placer les quatre points sur les axes gradués d’un repère orthonormé.
Le point \(B\) est sur la demi-droite opposée à \(OA\), car le coefficient devant \(e^{i\pi/4}\) est négatif. Le point \(D\) correspond à une somme : on commence par développer son exponentielle.
Pour construire les points, on détermine d’abord leurs coordonnées dans le repère.
Pour \(A\) :
\[ z_A=e^{i\frac{\pi}{4}} =\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}. \] \[ \boxed{A\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)} \]Pour \(B\) :
\[ z_B=-3e^{i\frac{\pi}{4}}. \]Le signe négatif revient à ajouter \(\pi\) à l’argument :
\[ z_B=3e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\pi\right)} =3e^{i\frac{5\pi}{4}}. \] \[ z_B=3\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right) =-\frac{3\sqrt2}{2}-i\frac{3\sqrt2}{2}. \] \[ \boxed{B\left(-\frac{3\sqrt2}{2};-\frac{3\sqrt2}{2}\right)} \]Pour \(C\) :
\[ z_C=2e^{-i\frac{5\pi}{6}} =2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right). \] \[ z_C=2\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right) =-\sqrt3-i. \] \[ \boxed{C(-\sqrt3;-1)} \]Pour \(D\) :
\[ z_D=1+e^{-i\frac{\pi}{3}} =1+\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right). \] \[ z_D=1+\frac12-i\frac{\sqrt3}{2} =\frac32-i\frac{\sqrt3}{2}. \] \[ \boxed{D\left(\frac32;-\frac{\sqrt3}{2}\right)} \]Les signes des coordonnées et la distance à l’origine servent de contrôle du placement. Les quatre points sont représentés dans le schéma suivant.
Représentation des quatre points dans un même repère orthonormé ; la lecture géométrique confirme les signes des coordonnées calculées.
Question 2 — Écritures exponentielles avec \(\theta\)
Pour \(\theta\in\mathbb R\), écrire sous forme exponentielle :
\[z_1=ie^{i\theta};\qquad z_2=-3ie^{i\theta};\qquad z_3=-5e^{i\theta}.\]Afficher la correctionMasquer la correction
Les nombres \(i\), \(-i\) et \(-1\) ont respectivement pour arguments \(\pi/2\), \(-\pi/2\) et \(\pi\). Les facteurs réels positifs constituent les modules.
Séparer le signe et le coefficient positif, remplacer les unités imaginaires par leurs exponentielles, puis additionner les arguments.
Les trois nombres sont non nuls pour tout réel \(\theta\), puisque \(|e^{i\theta}|=1\) et que leurs modules valent 1, 3 et 5.
On utilise :
\[ i=e^{i\frac{\pi}{2}},\qquad -i=e^{-i\frac{\pi}{2}},\qquad -1=e^{i\pi}. \]Pour \(z_1\) :
\[ z_1=ie^{i\theta}=e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\theta} =e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}. \] \[ \boxed{z_1=e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}} \]Pour \(z_2\) :
\[ z_2=-3ie^{i\theta}=3(-i)e^{i\theta}. \]Comme \(-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}\), on obtient :
\[ z_2=3e^{-i\frac{\pi}{2}}e^{i\theta} =3e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}. \] \[ \boxed{z_2=3e^{i\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}} \]Pour \(z_3\) :
\[ z_3=-5e^{i\theta}=5(-1)e^{i\theta}. \]Comme \(-1=e^{i\pi}\), on a :
\[ z_3=5e^{i\pi}e^{i\theta} =5e^{i(\theta+\pi)}. \] \[ \boxed{z_3=5e^{i(\theta+\pi)}} \]La multiplication par \(i\) correspond à ajouter \(\pi/2\) à l’argument ; celle par \(-i\) à lui retrancher \(\pi/2\), et celle par \(-1\) à ajouter \(\pi\).
Question 3. Linéariser chacune des quatre expressions suivantes. Chaque correction est indépendante.
Question 3.a — Linéariser A(x)
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Les formules \(\sin^2x=(1-\cos2x)/2\) et \(\cos^2x=(1+\cos2x)/2\) font descendre le degré des puissances.
Développer \(\cos^4x\), multiplier par \(\sin^2x\), puis traiter les termes \(\cos^2(2x)\) et \(\cos(2x)\cos(4x)\).
Pour tout réel \(x\), les identités trigonométriques citées sont valables. Nous suivons les transformations dans le même ordre que la correction.
On commence par utiliser :
\[ \sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}2 \quad\text{et}\quad \cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}2. \]Comme \(\cos^4x=(\cos^2x)^2\), on a :
\[ \cos^4x=\left(\frac{1+\cos(2x)}2\right)^2 =\frac{1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)}4. \]Or :
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2. \]Donc :
\[ \cos^4x =\frac{1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}2}{4}. \] \[ \cos^4x =\frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}8. \]Ainsi :
\[ \sin^2x\cos^4x =\frac{1-\cos(2x)}2\cdot \frac{3+4\cos(2x)+\cos(4x)}8. \] \[ \sin^2x\cos^4x =\frac{(1-\cos(2x))(3+4\cos(2x)+\cos(4x))}{16}. \]En développant :
\[ \sin^2x\cos^4x =\frac{3+\cos(2x)+\cos(4x)-4\cos^2(2x)-\cos(2x)\cos(4x)}{16}. \]On utilise ensuite :
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2 \]et la formule produit-somme :
\[ \cos(2x)\cos(4x) =\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}2. \]Donc :
\[ \sin^2x\cos^4x = \frac{ 3+\cos(2x)+\cos(4x) -2-2\cos(4x) -\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}2 }{16}. \]En réduisant :
\[ \sin^2x\cos^4x = \frac{ 1+\frac12\cos(2x)-\cos(4x)-\frac12\cos(6x) }{16}. \]Donc :
\[ \sin^2x\cos^4x = \frac{2+\cos(2x)-2\cos(4x)-\cos(6x)}{32}. \]L’identité produit-somme élimine le dernier produit de cosinus. Le résultat ne contient plus de puissances trigonométriques.
Question 3.b — Linéariser B(x)
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La formule d’angle double transforme \(\sin^6x\) en cube d’une expression en \(\cos2x\). On utilise ensuite l’identité \(\cos(3u)=4\cos^3u-3\cos u\).
Développer le cube, puis remplacer \(\cos^2(2x)\) et \(\cos^3(2x)\) par des expressions de degrés 1.
Pour tout réel \(x\), les identités trigonométriques citées sont valables. Nous suivons les transformations dans le même ordre que la correction.
On écrit :
\[ \sin^6x=(\sin^2x)^3. \]Or :
\[ \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2. \]Donc :
\[ \sin^6x=\left(\frac{1-\cos(2x)}2\right)^3 =\frac{(1-\cos(2x))^3}{8}. \]En développant :
\[ \sin^6x=\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^2(2x)-\cos^3(2x)}8. \]On utilise :
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2. \]Pour \(\cos^3(2x)\), on part de l’identité :
\[ \cos(3u)=4\cos^3u-3\cos u. \]Donc :
\[ \cos^3u=\frac{\cos(3u)+3\cos u}{4}. \]Avec \(u=2x\), on obtient :
\[ \cos^3(2x)=\frac{\cos(6x)+3\cos(2x)}4. \]Alors :
\[ \sin^6x= \frac{ 1-3\cos(2x) +\frac32(1+\cos(4x)) -\frac14(\cos(6x)+3\cos(2x)) }8. \]On regroupe les termes :
\[ 1+\frac32=\frac52, \] \[ -3\cos(2x)-\frac34\cos(2x) =-\frac{15}{4}\cos(2x). \]Donc :
\[ \sin^6x= \frac{ \frac52-\frac{15}{4}\cos(2x)+\frac32\cos(4x)-\frac14\cos(6x) }8. \]En mettant au même dénominateur :
\[ \sin^6x= \frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{32}. \]L’expression finale n’est qu’une somme de cosinus d’angles multiples et d’une constante.
Question 3.c — Linéariser C(x)
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L’identité \(2\sin x\cos x=\sin2x\) ramène ce produit de puissances à un cube de sinus. Ensuite, \(\sin(3u)=3\sin u-4\sin^3u\).
Regrouper d’abord les facteurs \(\sin x\cos x\), puis exploiter l’angle triple pour supprimer le cube.
Pour tout réel \(x\), les identités trigonométriques citées sont valables. Nous suivons les transformations dans le même ordre que la correction.
On remarque que :
\[ \sin^3x\cos^3x=(\sin x\cos x)^3. \]Or :
\[ 2\sin x\cos x=\sin(2x), \]donc :
\[ \sin x\cos x=\frac12\sin(2x). \]Ainsi :
\[ \sin^3x\cos^3x=\left(\frac12\sin(2x)\right)^3 =\frac18\sin^3(2x). \]On utilise ensuite l’identité :
\[ \sin(3u)=3\sin u-4\sin^3u. \]Donc :
\[ \sin^3u=\frac{3\sin u-\sin(3u)}4. \]Avec \(u=2x\), on obtient :
\[ \sin^3(2x)=\frac{3\sin(2x)-\sin(6x)}4. \]Par conséquent :
\[ \sin^3x\cos^3x =\frac18\cdot\frac{3\sin(2x)-\sin(6x)}4. \] \[ \sin^3x\cos^3x =\frac{3\sin(2x)-\sin(6x)}{32}. \]Comme le produit \(\sin^3x\cos^3x\) est une fonction impaire de \(x\), une expression finale formée de sinus est cohérente.
Question 3.d — Linéariser D(x)
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La formule \(\cos^2x=(1+\cos2x)/2\) permet de développer \(\cos^6x\). L’identité de l’angle triple remplace le cube de cosinus.
Développer le cube, puis linéariser successivement \(\cos^2(2x)\) et \(\cos^3(2x)\).
Pour tout réel \(x\), les identités trigonométriques citées sont valables. Nous suivons les transformations dans le même ordre que la correction.
On écrit :
\[ \cos^6x=(\cos^2x)^3. \]Or :
\[ \cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2. \]Donc :
\[ \cos^6x=\left(\frac{1+\cos(2x)}2\right)^3 =\frac{(1+\cos(2x))^3}{8}. \]En développant :
\[ \cos^6x=\frac{1+3\cos(2x)+3\cos^2(2x)+\cos^3(2x)}8. \]On utilise :
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2, \]et, d’après \(\cos(3u)=4\cos^3u-3\cos u\), on a :
\[ \cos^3(2x)=\frac{\cos(6x)+3\cos(2x)}4. \]Alors :
\[ \cos^6x= \frac{ 1+3\cos(2x) +\frac32(1+\cos(4x)) +\frac14(\cos(6x)+3\cos(2x)) }8. \]On regroupe les termes :
\[ 1+\frac32=\frac52, \] \[ 3\cos(2x)+\frac34\cos(2x) =\frac{15}{4}\cos(2x). \]Donc :
\[ \cos^6x= \frac{ \frac52+\frac{15}{4}\cos(2x)+\frac32\cos(4x)+\frac14\cos(6x) }8. \]En mettant au même dénominateur :
\[ \cos^6x= \frac{10+15\cos(2x)+6\cos(4x)+\cos(6x)}{32}. \]Contrairement à \(\sin^6x\), le coefficient de \(\cos2x\) est ici positif : les deux identités forment une paire utile à retenir.
À retenir — Exponentielle et linéarisation
Passage entre les écritures. La forme exponentielle \(re^{i\theta}\), avec \(r>0\), condense les informations de module et d'argument. La relation d'Euler permet ensuite de retrouver la forme algébrique \(x+iy\) ou les coordonnées d'un point.
Calculs sur les complexes. Les produits additionnent les arguments ; les quotients les soustraient ; les puissances les multiplient. Un signe négatif devant le nombre impose un ajout de \(\pi\) à l'argument avant de présenter une écriture avec module positif.
Construction géométrique. Pour placer un point d'affixe exponentielle, calculer ses coordonnées, vérifier les signes et la distance à l'origine. Une somme telle que \(1+e^{-i\pi/3}\) se traite par addition des parties réelle et imaginaire, non par addition d'arguments.
Linéarisation. La transformation d'un produit de puissances trigonométriques en somme de sinus et de cosinus utilise les formules d'angle double, les relations produit-somme et les identités d'angle triple. À chaque étape, l'expression nouvelle reste égale à celle de départ pour tout réel \(x\).
Parcours Maths Maroc — PMM
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