Nombres complexes : représentation géométrique — Exercices 10 à 14
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
La représentation géométrique des nombres complexes permet de passer des calculs algébriques aux propriétés du plan. Dans cette série, nous utiliserons les affixes pour déterminer des vecteurs, construire des parallélogrammes, calculer des milieux et des barycentres, puis étudier l'alignement, les symétries et les ensembles de points.
La démarche consiste à reconnaître la propriété géométrique adaptée, à la traduire en relation entre affixes, puis à effectuer les calculs nécessaires. Il faut notamment distinguer l'affixe d'un point de celle d'un vecteur, vérifier les conditions d'existence d'un barycentre et tenir compte des valeurs autorisées pour les paramètres réels. Chaque résultat sera interprété géométriquement afin de mieux comprendre la méthode et de pouvoir la réutiliser dans d'autres exercices.
Rappel de cours — Affixes et géométrie du plan
Dans un repère orthonormé direct, tout point \(M(x;y)\) possède une affixe \(z_M=x+iy\). Pour deux points \(A\) et \(B\), l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB})=z_B-z_A. \]Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}. \]Pour un barycentre de deux points pondérés \((A;\alpha)\) et \((B;\beta)\), on doit d'abord vérifier que \(\alpha+\beta\neq0\). Dans ce cas :
\[ z_G=\frac{\alpha z_A+\beta z_B}{\alpha+\beta}. \]Les mêmes principes permettent de traduire les égalités vectorielles, le parallélisme et l'alignement par des relations algébriques.
Exercice 10
On considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives :
\[ z_A=3+4i,\qquad z_B=3i,\qquad z_C=2-i. \]1) Déterminer les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2) Déterminer l'affixe du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
3) Soit \(E\) le point tel que :
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. \]a) Déterminer l'affixe de \(E\).
b) Montrer que \(ABEC\) est un parallélogramme et déterminer son centre.
c) Déterminer l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{DE}\).
1) Affixes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
Afficher la correction Masquer la correction
On applique la formule :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB})=z_B-z_A. \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB}) =3i-(3+4i)=-3-i. \]De même :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{BC})=z_C-z_B. \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{BC}) =(2-i)-3i=2-4i. \]2) Déterminer l'affixe du point \(D\)
Afficher la correction Masquer la correction
Pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme, on utilise :
\[ z_A+z_C=z_B+z_D. \]Donc :
\[ z_D=z_A+z_C-z_B. \]En remplaçant les affixes connues :
\[ z_D=(3+4i)+(2-i)-3i=5. \]3.a) Déterminer l'affixe du point \(E\)
Afficher la correction Masquer la correction
On donne :
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. \]En passant aux affixes :
\[ z_E-z_A=(z_B-z_A)+(z_C-z_A). \]Donc :
\[ z_E=z_B+z_C-z_A. \]Ainsi :
\[ z_E=3i+(2-i)-(3+4i)=-1-2i. \]3.b) Montrer que \(ABEC\) est un parallélogramme et déterminer son centre
Afficher la correction Masquer la correction
On vérifie :
\[ z_A+z_E=(3+4i)+(-1-2i)=2+2i, \]et :
\[ z_B+z_C=3i+(2-i)=2+2i. \]Donc :
\[ z_A+z_E=z_B+z_C. \]Les diagonales \([AE]\) et \([BC]\) ont donc le même milieu.
Son centre est le milieu des diagonales \([AE]\) et \([BC]\). On peut donc écrire :
\[ z_\Omega=\frac{z_A+z_E}{2}. \]Ainsi :
\[ z_\Omega=\frac{3+4i-1-2i}{2} =\frac{2+2i}{2}=1+i. \]3.c) Affixe du vecteur \(\overrightarrow{DE}\)
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On calcule :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{DE})=z_E-z_D. \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{DE}) =(-1-2i)-5=-6-2i. \]Exercice 11
On considère les points \(A\) et \(B\) d'affixes respectives :
\[ z_A=4+i,\qquad z_B=6+3i. \]1) Déterminer l'affixe du milieu du segment \([AB]\).
2) Déterminer l'affixe du barycentre \(G\) du système pondéré :
\[ \{(O;2),(A;1),(B;-1)\}. \]1) Affixe du milieu de \([AB]\)
Afficher la correction Masquer la correction
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}. \]Donc :
\[ z_I=\frac{4+i+6+3i}{2} =\frac{10+4i}{2}=5+2i. \]2) Affixe du barycentre \(G\)
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On vérifie d'abord la condition d'existence du barycentre :
\[ 2+1-1=2\neq0. \]Donc le barycentre existe.
Comme \(z_O=0\), on a :
\[ z_G=\frac{2z_O+z_A-z_B}{2}. \]Donc :
\[ z_G=\frac{0+(4+i)-(6+3i)}{2} =\frac{-2-2i}{2}=-1-i. \]Exercice 12
On considère dans le plan complexe les points :
\[ A(-2+i),\qquad B(3+3i),\qquad C\left(1+\frac{11}{5}i\right). \]1) Déterminer les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3) Construire le point \(C\).
4) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(C\) soit le barycentre de \((A;a)\) et \((B;b)\), avec \(a+b=1\).
5) Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle \(OAB\).
1) Affixes de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
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On a :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB})=z_B-z_A. \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB}) =(3+3i)-(-2+i)=5+2i. \]De même :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AC})=z_C-z_A. \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AC}) =\left(1+\frac{11}{5}i\right)-(-2+i) =3+\frac65 i. \]2) Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés
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On remarque que :
\[ 3+\frac65 i=\frac35(5+2i). \]Donc :
\[ \operatorname{Aff}(\overrightarrow{AC}) =\frac35\,\operatorname{Aff}(\overrightarrow{AB}). \]Ainsi :
\[ \overrightarrow{AC}=\frac35\overrightarrow{AB}. \]Comme \(\frac35\in\mathbb R\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Construire le point \(C\)
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D'après la question précédente :
\[ \overrightarrow{AC}=\frac35\overrightarrow{AB}. \]Comme \(\frac35\in]0;1[\), le point \(C\) appartient au segment \([AB]\).
On a :
\[ AC=\frac35 AB. \]Donc :
\[ CB=AB-AC=\frac25 AB. \]Ainsi :
\[ AC:CB=3:2. \]4) Déterminer les coefficients \(a\) et \(b\)
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On veut que \(C\) soit le barycentre de \((A;a)\) et \((B;b)\), avec :
\[ a+b=1. \]Comme \(a+b=1\), on aura :
\[ z_C=az_A+bz_B. \]Or, d'après :
\[ \overrightarrow{AC}=\frac35\overrightarrow{AB}, \]on obtient :
\[ z_C-z_A=\frac35(z_B-z_A). \]Donc :
\[ z_C=z_A+\frac35z_B-\frac35z_A =\frac25z_A+\frac35z_B. \]Par identification :
\[ a=\frac25,\qquad b=\frac35. \]On vérifie la condition du barycentre :
\[ a+b=\frac25+\frac35=1\neq0. \]5) Affixe du centre de gravité du triangle \(OAB\)
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Soit \(H\) le centre de gravité du triangle \(OAB\). Alors :
\[ z_H=\frac{z_O+z_A+z_B}{3}. \]Comme \(z_O=0\), on obtient :
\[ z_H=\frac{0+(-2+i)+(3+3i)}{3} =\frac{1+4i}{3}. \]Exercice 13
Soit \(b\in\mathbb R\).
Soit \(M\) le point du plan d'affixe :
\[ z=3+ib. \]On désigne par \(M'\) le symétrique de \(M\) par rapport à la droite d'équation :
\[ y=1. \]Déterminer l'affixe \(z'\) du point \(M'\).
Déterminer l'affixe du symétrique \(M'\)
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Comme :
\[ z=3+ib, \]le point \(M\) a pour coordonnées :
\[ M(3;b). \]La droite \(y=1\) est horizontale. La symétrie par rapport à cette droite conserve l'abscisse et transforme l'ordonnée \(b\) en \(2-b\).
Donc :
\[ M'(3;2-b). \]L'affixe du point \(M'\) est alors :
\[ z'=3+(2-b)i. \]Exercice 14
Dessiner dans le plan complexe les ensembles suivants :
\[ E=\{M(\lambda i)\ /\ \lambda\in\mathbb R^*\}, \] \[ F=\{M((1-i)\lambda)\ /\ \lambda\in\mathbb R^*\}, \] \[ G=\{M((\sqrt3+i)k)\ /\ k\in\mathbb R\}. \]Repère de cours — Ensembles de points
Lorsqu'une affixe dépend d'un paramètre réel, la méthode consiste à écrire \(z=x+iy\), puis à identifier la partie réelle et la partie imaginaire.
Il faut également examiner l'ensemble des valeurs autorisées pour le paramètre. En particulier, \(\mathbb R^*\) exclut la valeur zéro, contrairement à \(\mathbb R\).
1) Représenter l'ensemble \(E\)
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On pose :
\[ z=\lambda i. \]Donc :
\[ z=0+\lambda i. \]Ainsi :
\[ x=0,\qquad y=\lambda. \]Comme \(\lambda\in\mathbb R^*\), on a \(\lambda\neq0\).
Donc l'origine \(O\) est exclue de l'ensemble \(E\).
L'ensemble \(E\) est l'axe des ordonnées privé de l'origine :
\[ \boxed{E=\{M(x;y)\ /\ x=0,\ y\neq0\}}. \]2) Représenter l'ensemble \(F\)
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On pose :
\[ z=(1-i)\lambda. \]Donc :
\[ z=\lambda-\lambda i. \]Ainsi :
\[ x=\lambda,\qquad y=-\lambda. \]On en déduit :
\[ y=-x. \]Comme \(\lambda\in\mathbb R^*\), on a \(\lambda\neq0\).
Donc l'origine \(O\) est exclue de l'ensemble \(F\).
L'ensemble \(F\) est la droite d'équation \(y=-x\), privée de l'origine :
\[ \boxed{F=\{M(x;y)\ /\ y=-x,\ M\neq O\}}. \]3) Représenter l'ensemble \(G\)
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On pose :
\[ z=(\sqrt3+i)k. \]Donc :
\[ z=\sqrt3 k+ki. \]Ainsi :
\[ x=\sqrt3 k,\qquad y=k. \]Comme \(k=y\), on obtient :
\[ x=\sqrt3 y. \]Donc :
\[ y=\frac{x}{\sqrt3}. \]Ici \(k\in\mathbb R\), donc \(k=0\) est autorisé.
Par conséquent, l'origine \(O\) appartient à l'ensemble \(G\).
L'ensemble \(G\) est la droite d'équation :
\[ \boxed{y=\frac{x}{\sqrt3}}. \]Lecture du schéma. L'origine est exclue des ensembles \(E\) et \(F\), mais elle appartient à \(G\).
À retenir
Les exercices de représentation géométrique montrent que les nombres complexes offrent une traduction algébrique directe des relations du plan.
Pour calculer l'affixe d'un vecteur, on soustrait l'affixe de l'origine de celle de l'extrémité. Pour un parallélogramme, on peut utiliser les égalités vectorielles ou le fait que les diagonales ont le même milieu.
Le milieu correspond à une moyenne de deux affixes, tandis que le barycentre correspond à une moyenne pondérée, à condition que la somme des coefficients soit non nulle.
Pour prouver un alignement, on peut établir une proportionnalité réelle entre les affixes de deux vecteurs. Cette proportionnalité permet également de construire des points et de retrouver des coefficients barycentriques.
Enfin, pour déterminer un ensemble de points, on identifie les parties réelle et imaginaire d'une affixe paramétrée. Les restrictions sur le paramètre sont essentielles : elles déterminent notamment si l'origine appartient ou non à l'ensemble recherché.
Parcours Maths Maroc — PMM
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