Nombres complexes : systèmes avec le conjugué — Exercice 23
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Un système d'équations dans l'ensemble des nombres complexes peut faire intervenir plusieurs inconnues ainsi que leurs conjugués. Pour le résoudre, il faut reconnaître la structure des équations et choisir une méthode adaptée. La conjugaison d'une équation peut parfois faire disparaître les conjugués et ramener le problème à un système linéaire classique.
Lorsque cette transformation ne suffit pas, une autre démarche consiste à écrire les inconnues sous forme algébrique, puis à identifier les parties réelle et imaginaire. Nous obtenons ainsi un système réel que nous pouvons résoudre par substitution ou élimination. Les quatre systèmes de cet exercice permettent de comparer ces deux méthodes et de comprendre pourquoi chacune est choisie. Nous préciserons les propriétés du cours, les conditions de leur application et les étapes des calculs, avant de vérifier et d'interpréter les résultats.
Rappel de cours — Conjugaison et égalité de deux complexes
Tout nombre complexe \(z\) s'écrit de manière unique :
\[ z=x+iy,\qquad (x;y)\in\mathbb R^2. \]Son conjugué est :
\[ \boxed{\overline z=x-iy}. \]La conjugaison possède les propriétés suivantes, pour tous \(z,w\in\mathbb C\) :
\[ \overline{z+w}=\overline z+\overline w, \] \[ \overline{zw}=\overline z\,\overline w, \] \[ \overline{\overline z}=z. \]De plus, un réel est égal à son conjugué et \(\overline i=-i\).
En particulier, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales :
\[ a+ib=c+id \Longleftrightarrow \begin{cases} a=c,\\ b=d, \end{cases} \qquad a,b,c,d\in\mathbb R. \]Enfin, conjuguer les deux membres d'une égalité conserve cette égalité. Cette transformation est réversible puisque le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est ce nombre lui-même.
Exercice 23 — Systèmes dans \(\mathbb C^2\)
Résoudre dans \(\mathbb C^2\) les systèmes suivants :
1)
\[ \begin{cases} 2z-z'=i,\\ 2\overline z+3i\overline{z'}=17. \end{cases} \]2)
\[ \begin{cases} 2z-3z'=-4+5i,\\ \overline z+\overline{z'}=3. \end{cases} \]3)
\[ \begin{cases} z+\overline t=i,\\ iz+(1-i)t=5+i. \end{cases} \]4)
\[ \begin{cases} 2\overline z+(1-i)t=-2+2i,\\ z-5i\overline t=-8+7i. \end{cases} \]1) Résoudre le premier système
Afficher la correction Masquer la correction
Pour deux nombres complexes \(A\) et \(B\), l'égalité \(A=B\) équivaut à \(\overline A=\overline B\). On peut donc conjuguer les deux membres d'une équation sans changer son ensemble de solutions.
Il faut cependant conjuguer tous les termes, y compris les coefficients complexes. En particulier :
\[ \overline{3i\overline{z'}} =-3iz'. \]Le système considéré est :
\[ \begin{cases} 2z-z'=i,\\ 2\overline z+3i\overline{z'}=17. \end{cases} \]Première étape — Conjuguer la deuxième équation.
Nous appliquons la conjugaison aux deux membres :
\[ \overline{2\overline z+3i\overline{z'}} =\overline{17}. \]Puisque \(2\) et \(17\) sont réels, leurs conjugués sont inchangés. En revanche, le facteur \(i\) devient \(-i\).
On obtient donc :
\[ 2z-3iz'=17. \]La deuxième équation étant remplacée par une équation équivalente, le système devient :
\[ \begin{cases} 2z-z'=i,\\ 2z-3iz'=17. \end{cases} \]Deuxième étape — Éliminer \(z\).
Les deux équations contiennent le même terme \(2z\). En soustrayant la première équation de la deuxième, ce terme disparaît.
\[ (1-3i)z'=17-i. \]Nous retrouvons une équation du premier degré en \(z'\). Comme \(1-3i\neq0\), nous pouvons diviser les deux membres.
\[ z'=\frac{17-i}{1-3i}. \]Pour obtenir la forme algébrique, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(1+3i\).
\[ z'=\frac{17-i}{1-3i} =\frac{(17-i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} =\frac{20+50i}{10} =2+5i. \]Troisième étape — Déterminer \(z\).
Nous utilisons maintenant la première équation du système :
\[ 2z-z'=i. \]En remplaçant \(z'\) par \(2+5i\) :
\[ 2z=i+z'=i+2+5i=2+6i. \]D'où :
\[ z=1+3i. \]2) Résoudre le deuxième système
Afficher la correction Masquer la correction
Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\), nous avons :
\[ \overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}. \]En conjuguant les deux membres de cette égalité, on peut donc revenir de \(\overline z+\overline{z'}\) à \(z+z'\).
On considère le système :
\[ \begin{cases} 2z-3z'=-4+5i,\\ \overline z+\overline{z'}=3. \end{cases} \]Première étape — Utiliser la conjugaison.
La deuxième équation ne contient que les conjugués de \(z\) et de \(z'\). Nous la conjuguons donc entièrement.
Comme \(3\) est réel, on obtient :
\[ z+z'=3. \]Nous exprimons alors \(z'\) en fonction de \(z\) :
\[ z'=3-z. \]Deuxième étape — Effectuer la substitution.
Nous remplaçons \(z'\) par \(3-z\) dans la première équation :
\[ 2z-3(3-z)=-4+5i. \]Nous développons pour regrouper les termes contenant \(z\) :
\[ 5z-9=-4+5i. \]Donc :
\[ 5z=5+5i. \]Comme \(5\neq0\), nous pouvons diviser par \(5\) :
\[ z=1+i. \]Troisième étape — Retrouver \(z'\).
Nous revenons à la relation obtenue après conjugaison :
\[ z'=3-z=3-(1+i)=2-i. \]3) Résoudre le troisième système
Afficher la correction Masquer la correction
Tout nombre complexe \(t\) peut s'écrire de manière unique :
\[ t=a+ib,\qquad (a;b)\in\mathbb R^2. \]Son conjugué est alors :
\[ \overline t=a-ib. \]L'identification des parties réelle et imaginaire permet de transformer une égalité complexe en deux égalités réelles.
Le système étudié est :
\[ \begin{cases} z+\overline t=i,\\ iz+(1-i)t=5+i. \end{cases} \]Première étape — Exprimer \(z\) en fonction de \(t\).
Nous commençons par écrire la deuxième inconnue sous forme algébrique :
\[ t=a+ib,\quad (a;b)\in\mathbb R^2. \]Alors :
\[ \overline t=a-ib. \]D'après la première équation :
\[ z=i-\overline t=i-(a-ib)=-a+i(1+b). \]Nous disposons maintenant d'une expression de \(z\) entièrement déterminée par les deux réels \(a\) et \(b\).
Deuxième étape — Remplacer dans la deuxième équation.
Pour utiliser la deuxième équation, nous calculons séparément ses deux termes.
En multipliant \(z\) par \(i\) et en utilisant \(i^2=-1\) :
\[ iz=i[-a+i(1+b)]=-(1+b)-ai. \]En développant le produit \((1-i)t\), on obtient :
\[ (1-i)t=(1-i)(a+ib)=(a+b)+i(b-a). \]Nous ajoutons les deux expressions. Les termes réels se regroupent d'une part, et les termes imaginaires d'autre part :
\[ iz+(1-i)t=(a-1)+i(b-2a). \]Or le deuxième membre de l'équation initiale est \(5+i\). Nous pouvons donc identifier les parties réelle et imaginaire.
\[ \begin{cases} a-1=5,\\ b-2a=1. \end{cases} \]Troisième étape — Résoudre le système réel.
La première équation donne immédiatement \(a=6\). En remplaçant cette valeur dans la deuxième, on obtient \(b=13\).
Donc :
\[ t=6+13i. \]Nous revenons ensuite à l'expression de \(z\) obtenue à la première étape :
\[ z=-a+i(1+b)=-6+14i. \]4) Résoudre le quatrième système
Afficher la correction Masquer la correction
Lorsque deux inconnues complexes sont présentes avec leurs conjugués, nous pouvons écrire :
\[ z=x+iy,\qquad t=a+ib, \]avec :
\[ (x;y;a;b)\in\mathbb R^4. \]Alors :
\[ \overline z=x-iy, \qquad \overline t=a-ib. \]Chaque équation complexe donne deux équations réelles : une pour les parties réelles et une pour les parties imaginaires. Le système initial peut ainsi être transformé en un système de quatre équations réelles.
On considère :
\[ \begin{cases} 2\overline z+(1-i)t=-2+2i,\\ z-5i\overline t=-8+7i. \end{cases} \]Première étape — Écrire les inconnues sous forme algébrique.
Posons :
\[ z=x+iy,\quad t=a+ib,\quad (x;y;a;b)\in\mathbb R^4. \]Alors :
\[ \overline z=x-iy, \quad \overline t=a-ib. \]Nous allons maintenant transformer chacune des deux équations complexes en deux équations réelles.
Deuxième étape — Étudier la première équation.
La première équation est :
\[ 2\overline z+(1-i)t=-2+2i. \]Nous développons le premier membre en remplaçant \(z\) et \(t\) par leurs formes algébriques.
On obtient :
\[ 2\overline z+(1-i)t=(2x+a+b)+i(-2y+b-a). \]Les deux membres étant égaux, leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales.
Donc :
\[ \begin{cases} 2x+a+b=-2,\\ -2y+b-a=2. \end{cases} \]Ces deux relations seront conservées pour la suite de la résolution.
Troisième étape — Étudier la deuxième équation.
La deuxième équation est :
\[ z-5i\overline t=-8+7i. \]Nous commençons par développer le terme contenant le conjugué de \(t\) :
\[ -5i\overline t=-5i(a-ib)=-5b-5ai. \]En lui ajoutant \(z=x+iy\), nous obtenons :
\[ z-5i\overline t=(x-5b)+i(y-5a). \]En identifiant avec \(-8+7i\) :
\[ \begin{cases} x-5b=-8,\\ y-5a=7. \end{cases} \]Ces deux relations sont particulièrement utiles, car elles permettent d'exprimer directement \(x\) en fonction de \(b\), et \(y\) en fonction de \(a\).
On en déduit :
\[ x=-8+5b, \quad y=7+5a. \]Quatrième étape — Réduire le système réel.
Nous remplaçons maintenant \(x\) et \(y\) par les expressions précédentes dans les deux relations obtenues à partir de la première équation complexe.
Nous éliminons ainsi \(x\) et \(y\) pour obtenir un système portant uniquement sur les deux réels \(a\) et \(b\).
\[ \begin{cases} a+11b=14,\\ b-11a=16. \end{cases} \]Cinquième étape — Déterminer \(a\) et \(b\).
Le système obtenu est linéaire. Pour le résoudre par substitution, nous pouvons commencer par la deuxième équation :
\[ b=16+11a. \]En remplaçant dans la première, nous obtenons :
\[ a+11(16+11a)=14. \]Nous regroupons les termes en \(a\) :
\[ 122a=-162. \]Donc :
\[ a=-\frac{81}{61}. \]Puis, en revenant à \(b=16+11a\) :
\[ b=\frac{85}{61}. \]Nous avons donc :
\[ a=-\frac{81}{61}, \quad b=\frac{85}{61}. \]Sixième étape — Retrouver \(x\), \(y\), puis \(z\) et \(t\).
Nous utilisons les relations obtenues à la troisième étape :
\[ x=-8+5b=-\frac{63}{61}, \quad y=7+5a=\frac{22}{61}. \]Nous pouvons maintenant revenir aux deux inconnues complexes :
\[ z=x+iy, \qquad t=a+ib. \]En remplaçant les quatre valeurs calculées, nous obtenons :
Autrement dit :
\[ \boxed{(z;t)=\left(\frac{-63+22i}{61}\ ;\ \frac{-81+85i}{61}\right)}. \]Choisir la méthode la plus adaptée
Les quatre questions précédentes illustrent deux démarches complémentaires.
Conjugaison d'une équation : lorsque les conjugués des inconnues apparaissent ensemble dans une même équation, conjuguer cette équation peut permettre de retrouver directement les inconnues initiales. Nous pouvons alors appliquer les méthodes usuelles de résolution des systèmes linéaires dans \(\mathbb C\).
Passage aux parties réelles et imaginaires : lorsque les inconnues et leurs conjugués apparaissent simultanément, les écritures \(z=x+iy\) et \(t=a+ib\) permettent d'obtenir un système réel. Nous pouvons ensuite chercher les substitutions qui simplifient le plus rapidement ce système.
Le principe commun à ces deux démarches est de transformer les équations initiales en un système plus simple, sans perdre les conditions qui assurent l'équivalence des transformations.
À retenir
Les systèmes complexes faisant intervenir des nombres et leurs conjugués se résolvent en utilisant les propriétés de la conjugaison et les méthodes de résolution des systèmes linéaires.
Dans les deux premières questions, conjuguer une équation a permis de supprimer les conjugués et de retrouver un système à deux inconnues complexes. Une simple substitution ou une élimination a ensuite suffi.
Dans la troisième question, l'une des inconnues a été exprimée en fonction du conjugué de l'autre. En écrivant cette dernière sous forme algébrique, nous avons obtenu un système réel de deux équations.
Enfin, la quatrième question a montré comment traiter simultanément deux inconnues complexes et leurs conjugués. L'identification des parties réelles et imaginaires a conduit à quatre équations réelles, puis la substitution a permis de réduire progressivement le système.
Avant de commencer les calculs, il est donc essentiel d'examiner la structure du système. Le choix d'une méthode adaptée rend la résolution plus courte, plus lisible et plus facile à vérifier.
Parcours Maths Maroc — PMM
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