Nombres complexes : transformations usuelles du plan — Exercice 68
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
L’exercice 68 demande de traduire des transformations géométriques en égalités entre affixes. La même écriture générale peut apparaître après développement, mais la méthode la plus claire consiste à partir de la définition géométrique : déplacement par un vecteur pour une translation, multiplication d’un vecteur issu du centre pour une homothétie, ou rotation de ce vecteur pour une rotation.
Certaines questions donnent directement le centre et le rapport ou l’angle. D’autres donnent le centre et l’image d’un point : il faut alors retrouver le coefficient multiplicatif à partir d’un quotient. Ce calcul doit être accompagné d’une vérification de nature. Le rapport d’une homothétie est réel, tandis que le coefficient d’une rotation est de module 1. L’exercice entraîne aussi à gérer les signes dans les affixes des centres et à contrôler qu’une transformation obtenue envoie effectivement le point donné sur son image.
Repères de cours — Écritures complexes des transformations
Une translation de vecteur d’affixe \(v\) s’écrit \(z'=z+v\). La translation envoyant \(A(a)\) sur \(B(b)\) a donc pour vecteur \(\overrightarrow{AB}\), d’affixe \(b-a\).
Une homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport réel non nul \(k\) s’écrit \(z'-\omega=k(z-\omega)\), soit \(z'=kz+(1-k)\omega\). Le rapport peut être négatif ; il ne se confond pas avec le rapport des distances, qui vaut \(|k|\).
Une rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d’angle \(\alpha\) s’écrit \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\). Si \(A\ne\Omega\) est envoyé sur \(B\), on obtient \(e^{i\alpha}=(b-\omega)/(a-\omega)\). Ce quotient doit avoir un module égal à 1. Le centre est toujours un point fixe de l’homothétie ou de la rotation considérée.
Exercice 68
Objectif et méthode — Exercice 68
Pour chaque question, écrire d’abord une relation utilisant le centre avant de développer. Dans les questions où l’image d’un point est donnée, calculer les deux différences d’affixes avec le centre, puis leur quotient. Vérifier la nature du coefficient obtenu et contrôler l’image du point dans la formule finale. Un centre d’affixe négative conduit à une addition dans \(z-\omega\) : les signes doivent être suivis jusqu’au dernier développement.
Le plan complexe \(\mathcal P\) est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec e_1,\vec e_2)\).
Déterminer la représentation complexe de chacune des transformations suivantes :
1) La translation du vecteur \(\vec u\) d’affixe :
\[ 3-\frac{2}{7}i. \]2) La translation transformant le point \(A(3-4i)\) en le point \(B(-7+8i)\).
3) L’homothétie de centre \(\Omega(2-i)\) et de rapport \(-3\).
4) L’homothétie de centre \(\Omega(-3i)\) et transformant le point \(A(-3)\) en le point \(B(-4+i)\).
5) La rotation de centre \(\Omega(-3)\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
6) La rotation de centre \(\Omega(-2-i)\) et transformant le point \(A(-1-2i)\) en le point \(B(-1)\).
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Une translation de vecteur d’affixe \(a\) s’écrit :
\[ z'=z+a. \]Ici :
\[ a=3-\frac{2}{7}i. \]Donc la représentation complexe est :
\[ z'=z+3-\frac{2}{7}i. \]La translation qui transforme \(A\) en \(B\) a pour vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Son affixe est :
\[ z_B-z_A. \]Or :
\[ z_A=3-4i \qquad\text{et}\qquad z_B=-7+8i. \]Donc :
\[ z_B-z_A=(-7+8i)-(3-4i). \]Ainsi :
\[ z_B-z_A=-10+12i. \]La translation cherchée est donc :
\[ z'=z-10+12i. \]Une homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k\) s’écrit :
\[ z'-\omega=k(z-\omega). \]Ici :
\[ \omega=2-i \qquad\text{et}\qquad k=-3. \]Donc :
\[ z'-(2-i)=-3\bigl(z-(2-i)\bigr). \]On développe :
\[ z'=2-i-3z+3(2-i). \]Ainsi :
\[ z'=-3z+2-i+6-3i. \]Donc :
\[ z'=-3z+8-4i. \]On note :
\[ \omega=-3i,\qquad z_A=-3,\qquad z_B=-4+i. \]Pour une homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k\), on a :
\[ z_B-\omega=k(z_A-\omega). \]Donc :
\[ k=\frac{z_B-\omega}{z_A-\omega}. \]On calcule :
\[ z_B-\omega=(-4+i)-(-3i)=-4+4i. \]Et :
\[ z_A-\omega=-3-(-3i)=-3+3i. \]Alors :
\[ k=\frac{-4+4i}{-3+3i}. \]On remarque que :
\[ -4+4i=\frac43(-3+3i). \]Donc :
\[ k=\frac43. \]L’homothétie s’écrit :
\[ z'-\omega=\frac43(z-\omega). \]C’est-à-dire :
\[ z'+3i=\frac43(z+3i). \]On développe :
\[ z'=\frac43z+4i-3i. \]Donc :
\[ z'=\frac43z+i. \]Une rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d’angle \(\alpha\) s’écrit :
\[ z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega). \]Ici :
\[ \omega=-3 \qquad\text{et}\qquad \alpha=\frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ z'-(-3)=e^{i\frac{\pi}{4}}\bigl(z-(-3)\bigr). \]Ainsi :
\[ z'+3=e^{i\frac{\pi}{4}}(z+3). \]Comme :
\[ e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{1+i}{\sqrt2}, \]on peut écrire :
\[ z'+3=\frac{1+i}{\sqrt2}(z+3). \]Donc :
\[ z'=\frac{1+i}{\sqrt2}(z+3)-3. \]On note :
\[ \omega=-2-i,\qquad z_A=-1-2i,\qquad z_B=-1. \]Pour une rotation de centre \(\Omega(\omega)\), on a :
\[ z_B-\omega=e^{i\alpha}(z_A-\omega). \]Donc :
\[ e^{i\alpha}=\frac{z_B-\omega}{z_A-\omega}. \]On calcule :
\[ z_B-\omega=-1-(-2-i)=1+i. \]Et :
\[ z_A-\omega=(-1-2i)-(-2-i)=1-i. \]Donc :
\[ e^{i\alpha}=\frac{1+i}{1-i}. \]On multiplie par le conjugué du dénominateur :
\[ \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{1+1}. \]Or :
\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i. \]Donc :
\[ e^{i\alpha}=i. \]Ainsi, une mesure de l’angle de la rotation est :
\[ \alpha=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]La rotation s’écrit donc :
\[ z'-\omega=i(z-\omega). \]C’est-à-dire :
\[ z'+2+i=i(z+2+i). \]On développe :
\[ z'=iz+i(2+i)-2-i. \]Comme :
\[ i(2+i)=2i+i^2=-1+2i, \]on obtient :
\[ z'=iz-1+2i-2-i. \]Donc :
\[ z'=iz-3+i. \]Résultats essentiels
La translation de vecteur d’affixe \(a\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'=z+a}. \]L’homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport réel \(k\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'-\omega=k(z-\omega)}. \]Elle peut aussi s’écrire :
\[ \boxed{z'=kz+(1-k)\omega}. \]La rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d’angle \(\alpha\) a pour représentation complexe :
\[ \boxed{z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)}. \]Si une rotation transforme \(A(z_A)\) en \(B(z_B)\), alors :
\[ \boxed{ e^{i\alpha}=\frac{z_B-\omega}{z_A-\omega} } \]à condition que \(A\ne\Omega\).
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