Multiples • Diviseurs • Parité • Nombres premiers • PGCD • PPCM
- nombres entiers naturels ;
- calcul numérique élémentaire ;
- multiplication et division euclidienne ;
- premières notions de multiple, diviseur, pair et impair.
- utiliser la divisibilité ;
- distinguer pair et impair ;
- reconnaître un nombre premier ;
- décomposer en facteurs premiers ;
- calculer un PGCD et un PPCM.
Parmi les nombres suivants, relever ceux qui sont des entiers naturels :
\[ -3\,;\quad 0\,;\quad \frac52\,;\quad 7\,;\quad 12,4\,;\quad25. \]Que remarque-t-on pour le nombre \(0\) ?
L’ensemble des entiers naturels est noté \(\mathbb N\) :
\[ \boxed{\mathbb N=\{0;1;2;3;\ldots\}}. \]L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb N^\ast\) :
\[ \boxed{\mathbb N^\ast=\{1;2;3;\ldots\}}. \]- \(x\in A\) signifie que \(x\) appartient à \(A\) ; \(x\notin A\) signifie que \(x\) n’appartient pas à \(A\).
- \(A\subset B\) signifie que tout élément de \(A\) appartient à \(B\) ; \(A\not\subset B\) signifie que \(A\) n’est pas inclus dans \(B\).
- \(A\cap B\) désigne l’ensemble des éléments communs à \(A\) et \(B\).
- \(A\cup B\) désigne l’ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\).
Par exemple : \[ 5\in\mathbb N,\qquad 0\notin\mathbb N^\ast,\qquad \mathbb N^\ast\subset\mathbb N. \]
Voir la solution de l’application 1
Un rectangle a une aire de \(60\,\mathrm{cm}^2\) et ses deux dimensions sont des entiers naturels non nuls.
- Donner plusieurs couples possibles de dimensions.
- Compléter : \[ 60=1\times60 =2\times\ldots =3\times\ldots =\ldots \]
- Quel rôle jouent \(2,3,4,5,6,10,12\) et \(15\) par rapport à \(60\) ?
Soient \(a,b\in\mathbb N\) avec \(b\neq0\). On dit que \(b\) divise \(a\) s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que
\[ a=bk. \]On écrit alors \[ b/a. \] On dit aussi que \(a\) est un multiple de \(b\).
- \(1\) divise tout entier naturel ;
- tout entier naturel non nul divise \(0\) ;
- \(0\) est un multiple de tout entier naturel non nul ;
- si \(a/b\) et \(b/c\), alors \(a/c\).
- les diviseurs positifs de \(36\) ;
- les multiples de \(8\) inférieurs à \(50\).
Voir la solution de l’application 2
Les diviseurs positifs de \(36\) sont :
\[ \boxed{ D(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}. } \]Les multiples de \(8\) inférieurs à \(50\) sont :
\[ \boxed{ 0;8;16;24;32;40;48. } \]Chercher ce que l’on peut lire directement à partir des chiffres.
- par \(2\) si son chiffre des unités est \(0,2,4,6\) ou \(8\) ;
- par \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\) ;
- par \(5\) si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) ;
- par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
Voir la solution de l’application 3
La somme des chiffres vaut
\[ 2+3+4+4+5=18. \]Comme \(18\) est divisible par \(3\) et par \(9\), le nombre \(23445\) est divisible par \(3\) et par \(9\).
Son chiffre des unités étant \(5\), il est également divisible par \(5\).
Il n’est pas divisible par \(2\).
Classer les entiers
\[ 18,\quad27,\quad40,\quad63,\quad100,\quad111 \] en deux groupes.Écrire chaque nombre de la première famille sous la forme \(2k\) et chaque nombre de la seconde sous la forme \(2k+1\).
Un entier naturel \(n\) est pair s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que
\[ \boxed{n=2k}. \]Il est impair s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que
\[ \boxed{n=2k+1}. \]- pair + pair = pair ;
- impair + impair = pair ;
- pair + impair = impair ;
- un produit qui possède un facteur pair est pair ;
- le produit de deux nombres impairs est impair.
Voir la solution de l’application 4
On a :
\[ A=6n+4=2(3n+2). \]Comme \(3n+2\in\mathbb N\), \(A\) est pair.
De plus :
\[ B=4n+7=2(2n+3)+1. \]Donc \(B\) est impair.
Déterminer les diviseurs positifs des nombres
\[ 2,\quad3,\quad4,\quad5,\quad7,\quad9,\quad11,\quad15. \]Quels nombres n’ont que deux diviseurs positifs ?
Le nombre \(1\) n’est pas premier.
Les premiers nombres premiers sont :
\[ 2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\;23,\;29,\ldots \]Pour un entier \(n>1\), il suffit de vérifier qu’aucun nombre premier
\[ p\leq\sqrt n \] ne divise \(n\).Voir la solution de l’application 5
Ainsi, \(51\) et \(91\) ne sont pas premiers.
Comparer les décompositions obtenues.
- soit premier ;
- soit décomposable en produit de facteurs premiers.
Voir la solution de l’application 6
On veut répartir \(84\) cahiers et \(126\) stylos en lots identiques, en utilisant tout le matériel.
- Donner quelques nombres possibles de lots.
- Quel est le nombre maximal de lots ?
Le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) est le plus grand entier naturel qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
On le note : \[ \boxed{PGCD(a;b)}. \]Deux signaux lumineux clignotent périodiquement : le premier toutes les \(6\) secondes, le second toutes les \(8\) secondes.
Ils s’allument ensemble à l’instant initial.
- À quels instants le premier se rallume-t-il ?
- À quels instants le second se rallume-t-il ?
- Après combien de secondes se rallument-ils ensemble pour la première fois ?
Le plus petit commun multiple de \(a\) et \(b\) est le plus petit multiple commun non nul de \(a\) et \(b\).
On le note : \[ \boxed{PPCM(a;b)}. \]- pour le PGCD, on conserve les facteurs premiers communs avec leur plus petit exposant ;
- pour le PPCM, on conserve tous les facteurs premiers nécessaires avec leur plus grand exposant.
Voir la solution de l’application 7
Voir la solution de l’application 8
Si la division euclidienne de \(a\) par \(b\) s’écrit
\[ a=bq+r, \qquad 0\leq r<b, \] où \(q\) est le quotient et \(r\) le reste, alors \[ \boxed{PGCD(a;b)=PGCD(b;r)}. \]On recommence jusqu’au premier reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Voir la solution de l’application 9
- \(n\) est pair si et seulement si \[ n=2k \] pour un certain \(k\in\mathbb N\).
- \(n\) est impair si et seulement si \[ n=2k+1 \] pour un certain \(k\in\mathbb N\).
- \(b/a\) signifie qu’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \[ a=bk. \]
- Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
- Tout entier naturel supérieur à \(1\) est premier ou se décompose en produit de facteurs premiers.
- Le PGCD utilise les facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants.
- Le PPCM utilise tous les facteurs premiers nécessaires avec leurs plus grands exposants.
Commentaires
Enregistrer un commentaire