Correction des exercices 01 à 03 — Loi de composition interne

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Cette série permet de mettre en pratique les premières propriétés d’une loi de composition interne : commutativité, associativité, élément neutre, symétrique et stabilité d’une partie. Les trois exercices utilisent des lois très différentes : une loi algébrique sur \(\mathbb R\), une loi faisant intervenir une racine cubique sur \(\mathbb R_+^*\), puis une loi définie sur \(\mathbb C\) à l’aide du conjugué.

L’objectif n’est pas seulement d’effectuer des calculs. Il faut surtout revenir aux définitions du cours, choisir la bonne méthode et vérifier attentivement les conditions d’appartenance aux ensembles considérés. Lorsqu’une propriété universelle est fausse, un contre-exemple correctement choisi suffit pour la réfuter.

Exercice 01

On considère la loi de composition interne \(*\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ x*y=xy-2(x+y)+6. \]

1.a) Montrer que \(*\) est commutative et associative.

1.b) Montrer que \(*\) admet un élément neutre.

2.a) Est-ce que tout élément de \(\mathbb R\) est symétrisable pour la loi \(*\) ? Justifier.

2.b) On pose \[ E=]2,+\infty[. \] Montrer que \(E\) est une partie stable de \((\mathbb R,*)\).

Repère de cours.

Une loi \(*\) est commutative lorsque \[ (\forall x,y)\qquad x*y=y*x. \]

Elle est associative lorsque \[ (\forall x,y,z)\qquad (x*y)*z=x*(y*z). \]

Un élément \(e\) est neutre lorsque \[ (\forall x)\qquad x*e=e*x=x. \]

Question 1.a — Commutativité et associativité

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Méthode. Avant de développer plusieurs fois l’expression de la loi, cherchons une écriture plus simple de \(x*y\).

\[ \begin{aligned} x*y &=xy-2x-2y+6\\ &=xy-2x-2y+4+2\\ &=(x-2)(y-2)+2. \end{aligned} \] \[ \boxed{x*y=2+(x-2)(y-2)}. \]

Cette écriture va permettre d’étudier directement les deux propriétés demandées.

Commutativité

Soient \(x,y\in\mathbb R\). Alors :

\[ \begin{aligned} x*y &=2+(x-2)(y-2)\\ &=2+(y-2)(x-2)\\ &=y*x. \end{aligned} \]

L’égalité est vraie pour tous \(x,y\in\mathbb R\).

\[ \boxed{*\text{ est commutative sur }\mathbb R.} \]

Associativité

Soient maintenant \(x,y,z\in\mathbb R\). Puisque \[ x*y-2=(x-2)(y-2), \] on obtient :

\[ \begin{aligned} (x*y)*z &=2+(x*y-2)(z-2)\\ &=2+(x-2)(y-2)(z-2). \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} x*(y*z) &=2+(x-2)(y*z-2)\\ &=2+(x-2)(y-2)(z-2). \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ (x*y)*z=x*(y*z). \]

\[ \boxed{*\text{ est associative sur }\mathbb R.} \]

À retenir. Pour démontrer une propriété valable pour tous les éléments, on travaille avec des éléments arbitraires \(x,y,z\). Quelques exemples numériques ne permettraient pas de conclure.

Question 1.b — Élément neutre

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Méthode. On cherche \(e\in\mathbb R\) tel que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \(x*e=x\). La commutativité démontrée à la question précédente permettra ensuite d’obtenir également \(e*x=x\).

On doit avoir :

\[ 2+(x-2)(e-2)=x. \]

Or \(x=2+(x-2)\). Ainsi :

\[ (x-2)(e-2)=x-2. \]

Cette égalité devant être vraie pour tout \(x\), on obtient :

\[ e-2=1, \] donc \[ e=3. \]

Vérifions :

\[ \begin{aligned} x*3 &=3x-2(x+3)+6\\ &=x. \end{aligned} \]

Comme \(*\) est commutative, \(3*x=x\) également.

\[ \boxed{e=3} \] est l’élément neutre de \((\mathbb R,*)\).

Question 2.a — Éléments symétrisables

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Méthode. L’élément neutre étant \(3\), un élément \(x\) est symétrisable s’il existe \(x'\in\mathbb R\) tel que \[ x*x'=3. \]

En utilisant l’écriture obtenue précédemment :

\[ x*x'=3 \iff 2+(x-2)(x'-2)=3. \] \[ \iff (x-2)(x'-2)=1. \]

Si \(x=2\), le membre de gauche vaut \(0\), et l’équation devient \(0=1\), ce qui est impossible.

Donc \(2\) n’est pas symétrisable.

Si \(x\neq2\), alors :

\[ x'-2=\frac1{x-2}, \] d’où \[ \boxed{x'=2+\frac1{x-2}}. \]

Tout élément de \(\mathbb R\) n’est donc pas symétrisable.

\[ \boxed{ \text{Les éléments symétrisables sont les éléments de } \mathbb R\setminus\{2\}. } \]

Le point essentiel est de ne pas oublier de traiter séparément le cas \(x=2\) avant de diviser par \(x-2\).

Question 2.b — Stabilité de \(E=]2,+\infty[\)

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Méthode. Pour montrer que \(E\) est stable, on prend deux éléments arbitraires \(x,y\in E\) et on montre que \(x*y\in E\).

Soient donc \(x,y\in E\). Alors :

\[ x>2 \qquad\text{et}\qquad y>2. \]

D’où :

\[ x-2>0 \qquad\text{et}\qquad y-2>0. \] \[ (x-2)(y-2)>0. \]

Or :

\[ x*y=2+(x-2)(y-2). \]

Par conséquent :

\[ x*y>2. \]

Ainsi \(x*y\in]2,+\infty[=E\).

\[ \boxed{E\text{ est une partie stable de }(\mathbb R,*).} \]

Exercice 02

On munit l’ensemble \(\mathbb R_+^*\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :

\[ x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3}. \]

1) Étudier la commutativité et l’associativité de \(*\).

2) La loi \(*\) admet-elle un élément neutre dans \(\mathbb R_+^*\) ?

3) Soient \(n\in\mathbb N^*\) et \(a\in\mathbb R_+^*\). Calculer \[ \underbrace{a*a*\cdots*a}_{n\text{ fois}}. \]

Repère de cours.

Une fois l’associativité établie, le cours permet d’écrire un produit itéré sans ambiguïté de parenthésage. Pour calculer un tel produit, on cherche généralement une formule simple puis on la démontre.

Question 1 — Commutativité et associativité

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Pour \(x,y\in\mathbb R_+^*\), on a \(x^3+y^3>0\), donc \[ \sqrt[3]{x^3+y^3}>0. \] La loi est donc bien interne dans \(\mathbb R_+^*\).

Commutativité

\[ \begin{aligned} x*y &=\sqrt[3]{x^3+y^3}\\ &=\sqrt[3]{y^3+x^3}\\ &=y*x. \end{aligned} \]

\[ \boxed{*\text{ est commutative}.} \]

Associativité

Soient \(x,y,z\in\mathbb R_+^*\).

\[ \begin{aligned} (x*y)*z &=\sqrt[3]{(x*y)^3+z^3}\\ &=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} x*(y*z) &=\sqrt[3]{x^3+(y*z)^3}\\ &=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}. \end{aligned} \]

Les deux expressions sont égales.

\[ \boxed{*\text{ est associative}.} \]

Question 2 — Recherche d’un élément neutre

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Méthode. Supposons qu’il existe un élément neutre \(e\in\mathbb R_+^*\). Il doit vérifier \(x*e=x\) pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\).

\[ \sqrt[3]{x^3+e^3}=x. \]

En élevant les deux membres au cube :

\[ x^3+e^3=x^3, \] donc \[ e^3=0. \]

Ainsi :

\[ e=0. \]

Mais \[ 0\notin\mathbb R_+^*. \]

\[ \boxed{ \text{La loi }*\text{ n’admet aucun élément neutre dans } \mathbb R_+^*. } \]

Il ne suffit pas de trouver un nombre qui conviendrait algébriquement : l’élément neutre doit obligatoirement appartenir à l’ensemble sur lequel la loi est définie.

Question 3 — Produit de \(n\) facteurs égaux

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Méthode. L’associativité étant démontrée, le produit itéré est bien défini. Nous allons établir par récurrence sa valeur.

Posons :

\[ A_n= \underbrace{a*a*\cdots*a}_{n\text{ fois}}. \]

Montrons que :

\[ A_n=\sqrt[3]{na^3}=a\sqrt[3]{n}. \]

Initialisation.

Pour \(n=1\),

\[ A_1=a=a\sqrt[3]{1}. \]

La propriété est donc vraie au rang \(1\).

Hérédité.

Supposons que, pour un certain \(n\geq1\),

\[ A_n=\sqrt[3]{na^3}. \]

Alors :

\[ \begin{aligned} A_{n+1} &=A_n*a\\ &=\sqrt[3]{A_n^3+a^3}\\ &=\sqrt[3]{na^3+a^3}\\ &=\sqrt[3]{(n+1)a^3}. \end{aligned} \]

Puisque \(a>0\),

\[ \sqrt[3]{(n+1)a^3}=a\sqrt[3]{n+1}. \]

La propriété est donc héréditaire.

\[ \boxed{ \underbrace{a*a*\cdots*a}_{n\text{ fois}} =a\sqrt[3]{n} }. \]

Exercice 03

On définit sur l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) la loi de composition interne \(T\) par :

\[ zTz'=z\overline{z'}+i. \]

1) Étudier la commutativité et l’associativité de \(T\).

2) Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation : \[ (zTz)Tz=i. \]

Repère de cours.

Pour montrer qu’une loi n’est pas commutative ou n’est pas associative, il n’est pas nécessaire d’étudier tous les éléments : un contre-exemple suffit, à condition de vérifier correctement les deux expressions comparées.

Question 1 — Commutativité et associativité

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Commutativité

Pour montrer que \(T\) n’est pas commutative, cherchons deux complexes pour lesquels \(zTz'\neq z'Tz\).

Prenons :

\[ z=1 \qquad\text{et}\qquad z'=i. \]

On a :

\[ \begin{aligned} 1Ti &=1\overline{i}+i\\ &=-i+i\\ &=0. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} iT1 &=i\overline1+i\\ &=i+i\\ &=2i. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ 1Ti\neq iT1. \]

\[ \boxed{T\text{ n’est pas commutative}.} \]

Associativité

Pour réfuter l’associativité, il suffit également de construire un contre-exemple.

Prenons :

\[ z=z'=z''=1. \]

D’abord :

\[ 1T1=1+i. \]

Donc :

\[ \begin{aligned} (1T1)T1 &=(1+i)\overline1+i\\ &=1+2i. \end{aligned} \]

Tandis que :

\[ \begin{aligned} 1T(1T1) &=1T(1+i)\\ &=\overline{1+i}+i\\ &=1-i+i\\ &=1. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ (1T1)T1\neq1T(1T1). \]

\[ \boxed{T\text{ n’est pas associative}.} \]

Un seul contre-exemple suffit ici parce que la commutativité et l’associativité sont des propriétés qui doivent être vraies pour tous les éléments concernés.

Question 2 — Résolution de \((zTz)Tz=i\)

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Méthode. On revient directement à la définition de \(T\) et on effectue les compositions dans l’ordre indiqué par les parenthèses.

Tout d’abord :

\[ zTz=z\overline z+i=|z|^2+i. \]

Par conséquent :

\[ \begin{aligned} (zTz)Tz &=(|z|^2+i)\overline z+i. \end{aligned} \]

L’équation \[ (zTz)Tz=i \] devient :

\[ (|z|^2+i)\overline z+i=i. \]

Donc :

\[ (|z|^2+i)\overline z=0. \]

Or le nombre complexe \(|z|^2+i\) ne peut pas être nul : sa partie imaginaire est égale à \(1\).

On doit donc avoir :

\[ \overline z=0, \] puis \[ z=0. \]

Vérification.

\[ 0T0=i, \] puis \[ iT0=i\overline0+i=i. \]

Ainsi \(z=0\) vérifie bien l’équation initiale.

\[ \boxed{S=\{0\}.} \]

À retenir

Ces trois exercices illustrent plusieurs réflexes fondamentaux du chapitre. Pour démontrer une propriété universelle, on travaille avec des éléments arbitraires. Pour montrer qu’une telle propriété est fausse, un contre-exemple valide suffit. La recherche d’un élément neutre ou d’un symétrique doit toujours tenir compte de l’ensemble auquel cet élément doit appartenir.

Enfin, lorsqu’une loi possède une écriture particulière, une transformation algébrique simple peut révéler sa structure et rendre les calculs beaucoup plus naturels. C’est notamment le cas dans l’exercice 01 avec \[ x*y=2+(x-2)(y-2). \]

Parcours Maths Maroc — PMM
Professeur Hammou Boudraa

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