Correction des exercices 04 et 05 — Loi de composition interne
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 04 et 05 approfondissent trois notions fondamentales liées à une loi de composition interne : l’élément neutre, les éléments symétrisables et la stabilité d’une partie. Les deux lois proposées sont proches dans leur écriture, mais chacune doit être étudiée dans son propre ensemble et avec son propre élément neutre.
Une transformation algébrique simple permet ici de faire apparaître la structure des lois et de simplifier tous les calculs. Il faudra notamment distinguer l’existence d’un symétrique dans l’ensemble initial de son appartenance à une partie stable. Cette dernière vérification est indispensable lorsqu’on travaille avec la loi induite sur un sous-ensemble.
Exercice 04
On considère la loi de composition interne \(T\) définie sur \(\mathbb R\) par :
1) Déterminer l’élément neutre de la loi \(T\).
2) Déterminer les éléments symétrisables dans \((\mathbb R;T)\).
3) Montrer que \(]1,+\infty[\) est stable pour la loi \(T\).
4) Montrer que tout élément de \(]1,+\infty[\) est symétrisable dans \((]1,+\infty[;T)\).
Repère de cours.
Un élément \(e\) est neutre pour une loi \(T\) lorsque, pour tout \(x\) de l’ensemble considéré, \[ xTe=eTx=x. \]
Si la loi possède un élément neutre \(e\), un élément \(x\) est symétrisable lorsqu’il existe \(x'\) tel que \[ xTx'=x'Tx=e. \]
Enfin, une partie \(F\) est stable lorsque \[ x,y\in F\Longrightarrow xTy\in F. \]
Question 1 — Déterminer l’élément neutre
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Méthode. Avant de chercher l’élément neutre, réécrivons la loi sous une forme plus adaptée.
Cherchons \(e\in\mathbb R\) tel que \[ xTe=x \] pour tout \(x\in\mathbb R\).
Avec l’écriture précédente :
Or \[ x=1+(x-1). \] Il faut donc :
On obtient :
Vérifions directement :
Question 2 — Éléments symétrisables dans \((\mathbb R;T)\)
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Méthode. L’élément neutre étant \(2\), on cherche, pour \(x\in\mathbb R\), un réel \(x'\) vérifiant \[ xTx'=2. \]
On a :
Si \(x=1\), le membre de gauche vaut \(0\). L’équation \[ 0=1 \] est impossible.
Ainsi, \(1\) n’est pas symétrisable.
Si \(x\neq1\), alors :
La loi étant symétrique en \(x\) et \(y\), la même valeur vérifie également \(x'Tx=2\).
La valeur \(x=1\) doit être isolée avant toute division par \(x-1\). C’est précisément cette valeur qui ne possède aucun symétrique.
Question 3 — Stabilité de \(]1,+\infty[\)
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Méthode. Prenons deux éléments arbitraires de \(]1,+\infty[\) et montrons que leur composé appartient encore à cet intervalle.
Soient \[ x,y\in]1,+\infty[. \]
Alors :
Par conséquent :
Or \[ xTy=1+(x-1)(y-1). \] Donc :
Ainsi :
Question 4 — Symétrisabilité dans \(]1,+\infty[\)
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Méthode. Il ne suffit pas de savoir que \(x\) possède un symétrique dans \(\mathbb R\). Pour être symétrisable dans \(]1,+\infty[\), ce symétrique doit lui aussi appartenir à \(]1,+\infty[\).
D’après la question précédente, \(]1,+\infty[\) est stable pour \(T\).
De plus, l’élément neutre de \((\mathbb R;T)\) est \(2\), et \[ 2\in]1,+\infty[. \] Il reste donc élément neutre pour la loi induite sur \(]1,+\infty[\).
Soit maintenant \[ x\in]1,+\infty[. \]
Son symétrique dans \((\mathbb R;T)\) est :
Comme \(x>1\), on a :
Ainsi :
Donc :
Exercice 05
On munit \(\mathbb R\) de la loi de composition interne \(*\) définie par :
1.a) Déterminer l’élément neutre \(e\) dans \((\mathbb R;*)\).
1.b) Déterminer les éléments symétrisables dans \((\mathbb R;*)\).
2.a) Montrer que \(]3,+\infty[\) est stable dans \((\mathbb R;*)\).
2.b) Soit \(x\in]3,+\infty[\) et \(x'\) son symétrique dans \((\mathbb R;*)\). A-t-on \(x'\in]3,+\infty[\) ? Justifier.
Repère de cours.
Lorsqu’une partie stable contient l’élément neutre de l’ensemble initial, ce même élément reste neutre pour la loi induite sur cette partie. Pour qu’un élément soit symétrisable dans cette partie, son symétrique doit également appartenir à cette partie.
Question 1.a — Élément neutre
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Méthode. Comme dans l’exercice précédent, commençons par faire apparaître une factorisation utile de la loi.
Cherchons \(e\in\mathbb R\) tel que \[ x*e=x \] pour tout \(x\in\mathbb R\).
Comme \[ x=3+(x-3), \] on doit avoir :
On obtient :
Vérification :
Question 1.b — Éléments symétrisables
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Méthode. Un élément \(x\) est symétrisable s’il existe \(x'\) tel que son composé avec \(x\) soit égal à l’élément neutre \(4\).
Si \(x=3\), cette égalité devient :
ce qui est impossible. Donc \(3\) n’est pas symétrisable.
Si \(x\neq3\), alors :
Le réel \(3\) est la seule valeur exclue : il annule le facteur \(x-3\), ce qui rend impossible l’équation caractérisant le symétrique.
Question 2.a — Stabilité de \(]3,+\infty[\)
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Soient \[ x,y\in]3,+\infty[. \]
Alors :
Donc :
Or :
Ainsi :
Par conséquent :
Question 2.b — Le symétrique reste-t-il dans \(]3,+\infty[\) ?
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Méthode. Utilisons l’expression du symétrique obtenue à la question 1.b et étudions son appartenance à l’intervalle.
Soit \[ x\in]3,+\infty[. \]
Son symétrique dans \((\mathbb R;*)\) est :
Comme \(x>3\), on a :
Par conséquent :
Ainsi :
La réponse est donc oui. Comme \(]3,+\infty[\) est stable et contient également le neutre \(4\), tout élément de cet intervalle possède son symétrique dans le même intervalle.
À retenir
Les exercices 04 et 05 reposent sur le même réflexe algébrique : faire apparaître une expression factorisée adaptée à la loi. Ainsi, \[ xTy=1+(x-1)(y-1) \] dans l’exercice 04, tandis que \[ x*y=3+(x-3)(y-3) \] dans l’exercice 05.
Cette écriture permet de déterminer rapidement l’élément neutre, de caractériser les éléments symétrisables et d’étudier la stabilité des intervalles concernés. Lorsqu’on passe à une partie stable, il faut enfin vérifier que le neutre et les symétriques restent bien dans cette partie.
Parcours Maths Maroc — PMM
Professeur Hammou Boudraa
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