Correction des exercices PMM 1 à 8 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique
Exercices personnels PMM · Tronc Commun Scientifique
Exercice 1
Un laboratoire scolaire dispose de \(924\) lames de microscope et de \(693\) lamelles. On veut constituer des lots identiques en utilisant tout le matériel, sans reste.
Question 1 — Expliquer pourquoi le nombre \(r\) de lots doit être un diviseur commun de \(924\) et de \(693\).
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).
Si l’on forme \(r\) lots identiques sans reste, le nombre \(r\) doit diviser \(924\) et \(693\). Ainsi \(r\) est un diviseur commun de ces deux nombres.
Question 2 — Décomposer \(924\) et \(693\) en produits de facteurs premiers.
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Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
\[924=4\times231=2^2\times3\times7\times11,\] \[693=3\times231=3^2\times7\times11.\]
Question 3 — En déduire leur PGCD.
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Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Les facteurs communs avec les plus petits exposants donnent
\[\boxed{\mathrm{PGCD}(924;693)=3\times7\times11=231}.\]
Question 4 — Déterminer toutes les valeurs possibles de \(r\) telles que \(r\gt 20\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.
Les diviseurs positifs de \(231=3\times7\times11\) supérieurs à \(20\) sont
\[\boxed{21,33,77,231}.\]
Question 5 — Déterminer le nombre maximal de lots.
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Le nombre maximal de lots est donc
\[\boxed{231}.\]
Question 6 — Dans ce cas, combien chaque lot contient-il de lames et de lamelles ?
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Chaque lot contient \[\frac{924}{231}=4\quad\text{lames},\qquad \frac{693}{231}=3\quad\text{lamelles}.\] Donc chaque lot contient
\[\boxed{4\text{ lames et }3\text{ lamelles}}.\]
Exercice 2
Dans un laboratoire, deux appareils effectuent automatiquement une mesure. Le premier effectue une mesure toutes les \(84\) secondes et le second toutes les \(126\) secondes. À \(9\,\mathrm h\,00\), les deux appareils effectuent une mesure simultanément.
Question 1 — Décomposer \(84\) et \(126\) en produits de facteurs premiers.
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Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
\[84=2^2\times3\times7, \qquad 126=2\times3^2\times7.\]
Question 2 — Déterminer \(\mathrm{PPCM}(84;126)\).
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Le PPCM est le plus petit multiple commun strictement positif. À partir des décompositions en facteurs premiers, on conserve chaque facteur premier nécessaire avec le plus grand exposant rencontré. Cette lecture permet de calculer le PPCM de façon structurée et de contrôler immédiatement que le résultat est bien multiple des deux entiers.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Le PPCM est le plus petit multiple commun strictement positif. Par décomposition, on conserve tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant.
\[\mathrm{PPCM}(84;126)=2^2\times3^2\times7=\boxed{252\text{ s}}.\]
Question 3 — Au bout de combien de temps les deux appareils effectueront-ils de nouveau une mesure simultanément ?
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Dans une situation périodique, chaque durée donne une suite de multiples. Une nouvelle coïncidence doit donc être un multiple commun des deux durées. La première coïncidence strictement positive correspond au plus petit de ces multiples communs, c’est-à-dire au PPCM.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Ils coïncident à nouveau après \(252\) s, soit
\[252=4\times60+12=\boxed{4\text{ min }12\text{ s}}.\]
Question 4 — Donner l’heure exacte de cette première nouvelle coïncidence.
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Dans une situation périodique, chaque durée donne une suite de multiples. Une nouvelle coïncidence doit donc être un multiple commun des deux durées. La première coïncidence strictement positive correspond au plus petit de ces multiples communs, c’est-à-dire au PPCM.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
À partir de \(9h00\) :
\[\boxed{9h04min12s}.\]
Question 5 — Entre \(9\,\mathrm h\,00\) et \(9\,\mathrm h\,30\), sans compter \(9\,\mathrm h\,00\), combien de fois les deux appareils effectueront-ils une mesure simultanément ?
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Dans une situation périodique, chaque durée donne une suite de multiples. Une nouvelle coïncidence doit donc être un multiple commun des deux durées. La première coïncidence strictement positive correspond au plus petit de ces multiples communs, c’est-à-dire au PPCM.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Trente minutes représentent \(1800\) s. Les coïncidences correspondent aux multiples \[252,504,756,1008,1260,1512,1764,\] tandis que \(2016\gt 1800\). Il y a donc
nouvelles coïncidences avant \(9h30\).
\[\boxed{7}\]
Question 6 — Donner l’heure de la dernière coïncidence avant \(9\,\mathrm h\,30\).
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Dans une situation périodique, chaque durée donne une suite de multiples. Une nouvelle coïncidence doit donc être un multiple commun des deux durées. La première coïncidence strictement positive correspond au plus petit de ces multiples communs, c’est-à-dire au PPCM.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
La dernière a lieu après \(1764\) s. Or \[1764=29\times60+24,\] donc à
\[\boxed{9h29min24s}.\]
Exercice 3
Un terrain rectangulaire mesure \(1260\,\mathrm{cm}\) de longueur et \(924\,\mathrm{cm}\) de largeur. On souhaite le recouvrir entièrement par des dalles carrées identiques, sans découper aucune dalle et sans laisser d’espace vide.
Question 1 — Montrer que la longueur du côté d’une dalle doit être un diviseur commun de \(1260\) et \(924\).
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On part de la définition d’un diviseur commun. Si \(d\) divise deux entiers, chacun d’eux peut s’écrire comme un multiple de \(d\). Par conséquent, toute somme ou différence obtenue à partir de ces deux multiples reste encore un multiple de \(d\). Cette propriété élémentaire permet souvent de remplacer deux expressions compliquées par un petit entier beaucoup plus facile à exploiter.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).
Si le côté de la dalle vaut \(c\), alors \(c\) doit diviser exactement chacune des deux dimensions. Donc \(c\) est un diviseur commun de \(1260\) et \(924\).
Question 2 — Déterminer \(\mathrm{PGCD}(1260;924)\).
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Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
Par l’algorithme des divisions : \[1260=924+336,\] \[924=2\times336+252,\] \[336=252+84,\] \[252=3\times84.\] Ainsi
\[\boxed{\mathrm{PGCD}(1260;924)=84}.\]
Question 3 — En déduire la plus grande longueur possible du côté d’une dalle.
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Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
La plus grande longueur possible du côté d’une dalle est donc
\[\boxed{84\text{ cm}}.\]
Question 4 — Déterminer le nombre de dalles placées sur la longueur puis sur la largeur.
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[1260/84=15, \qquad 924/84=11.\] Il faut \(15\) dalles sur la longueur et \(11\) sur la largeur.
Question 5 — En déduire le nombre total de dalles nécessaires.
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Le nombre total vaut
\[15\times11=\boxed{165}.\]
Exercice 4
Un terrain rectangulaire mesure \(288\,\mathrm m\) sur \(180\,\mathrm m\). On veut planter des arbres régulièrement sur tout le pourtour du terrain. La distance entre deux arbres consécutifs doit être constante et aussi grande que possible. Un arbre doit se trouver à chaque sommet.
Question 1 — Expliquer pourquoi la distance recherchée doit diviser \(288\) et \(180\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Pour placer un arbre à chaque sommet avec un espacement constant \(d\), chaque longueur de côté doit être un multiple de \(d\). Donc \[d/288\quad\text{et}\quad d/180.\]
Question 2 — Calculer \(\mathrm{PGCD}(288;180)\).
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Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.
Idée de résolution. Le calcul sera conduit en gardant les expressions factorisées aussi longtemps que possible, afin de conserver la structure arithmétique du problème et de limiter les erreurs numériques.
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
\[288=2^5\times3^2, \qquad 180=2^2\times3^2\times5.\] Donc
\[\boxed{\mathrm{PGCD}(288;180)=2^2\times3^2=36}.\]
Question 3 — En déduire la distance maximale entre deux arbres consécutifs.
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
La distance maximale est
\[\boxed{36\text{ m}}.\]
Question 4 — Déterminer le nombre d’intervalles sur chacun des deux grands côtés puis sur chacun des deux petits côtés.
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Sur chaque grand côté : \[288/36=8\text{ intervalles}.\] Sur chaque petit côté : \[180/36=5\text{ intervalles}.\]
Question 5 — En comptant chaque sommet une seule fois, en déduire le nombre total d’arbres nécessaires.
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Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Le pourtour compte \[2\times8+2\times5=26\] intervalles. Sur une boucle fermée, le nombre de points est égal au nombre d’intervalles lorsque chaque sommet est compté une seule fois. Donc
\[\boxed{26\text{ arbres}}.\]
Exercice 5
Soit \(n\in\mathbb N^{*}\). On considère \[A=n^2+n+1.\]
Question 1 — Comparer \(A\) à \(n^2\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Comme \(n+1\gt 0\), \[A=n^2+(n+1)\gt n^2.\]
Question 2 — Comparer \(A\) à \((n+1)^2\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[(n+1)^2=n^2+2n+1.\] Or \[(n+1)^2-A=n\gt 0.\] Donc \[A\lt (n+1)^2.\]
Question 3 — Montrer que \(n^2\lt A\lt (n+1)^2\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Ainsi
\[\boxed{n^2\lt A\lt (n+1)^2}.\]
Question 4 — En déduire que \(n^2+n+1\) n’est jamais un carré parfait pour \(n\ge1\).
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Pour décider si un entier peut être un carré parfait, il est souvent efficace de le comparer à deux carrés consécutifs. S’il est strictement compris entre \(m^2\) et \((m+1)^2\), il ne peut être le carré d’aucun entier. On cherche donc un encadrement précis plutôt qu’un calcul numérique inutilement long.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Les carrés parfaits \(n^2\) et \((n+1)^2\) sont deux carrés consécutifs. Aucun carré parfait ne peut être strictement compris entre eux. Donc
\[\boxed{n^2+n+1\text{ n'est jamais un carré parfait pour }n\ge1}.\]
Question 5 — Expliquer, sans effectuer le calcul, pourquoi \(2026^2+2026+1\) n’est pas un carré parfait.
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La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
En prenant \(n=2026\), on obtient immédiatement \[2026^2\lt 2026^2+2026+1\lt 2027^2,\] donc ce nombre n’est pas un carré parfait.
Exercice 6
Soit \(A=\overline{abc}\) un nombre à trois chiffres. On construit le nombre \[N=\overline{abcabc}.\]
Question 1 — Montrer que \(N=1001A\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Le nombre \(A=\overline{abc}\) s’écrit \[A=100a+10b+c.\] De même, \[N=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c.\] On regroupe alors les deux blocs :
\[\begin{aligned} N &=1000(100a+10b+c)+(100a+10b+c)\\ &=1000A+A\\ &=\boxed{1001A}. \end{aligned}\]
Question 2 — Vérifier que \(1001=7\times11\times13\).
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Cette étape sert à établir une identité ou une valeur qui sera utilisée ensuite. On remplace soigneusement les expressions par leurs définitions, on développe ou on simplifie, puis on contrôle que les deux membres coïncident exactement. Le calcul doit rester lisible afin que la justification puisse être réutilisée dans la suite.
Idée de résolution. Il s’agit d’un contrôle direct : on effectue le calcul sans détour, puis on met en évidence l’égalité obtenue. Cette vérification servira de base aux questions suivantes.
On calcule : \[7\times11\times13=77\times13=1001.\] Ainsi,
\[\boxed{1001=7\times11\times13}.\]
Question 3 — En déduire que tout nombre obtenu en répétant deux fois un bloc de trois chiffres est divisible simultanément par \(7\), \(11\) et \(13\).
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Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
D’après la première question, \[N=1001A.\] Or \[1001=7\times11\times13.\] Donc \[N=7\times11\times13\times A.\] Ainsi, \(N\) est simultanément un multiple de \(7\), de \(11\) et de \(13\).
\[\boxed{7/N,\qquad 11/N,\qquad 13/N}.\]
Question 4 — Sans effectuer de division, justifier que \(570570\) est divisible par \(7\), par \(11\) et par \(13\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Le nombre \(570570\) est obtenu en répétant deux fois le bloc \(570\). Donc \[570570=1001\times570.\] D’après le résultat précédent,
\[\boxed{7/570570,\qquad 11/570570,\qquad 13/570570}.\]
Question 5 — Sachant que \(570=2\times3\times5\times19\), décomposer \(570570\) en produit de facteurs premiers.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
On sait que \[570=2\times3\times5\times19\] et \[1001=7\times11\times13.\] Comme \[570570=1001\times570,\] on obtient \[570570=2\times3\times5\times7\times11\times13\times19.\] Tous ces facteurs sont premiers. Donc
\[\boxed{570570=2\times3\times5\times7\times11\times13\times19}.\]
Exercice 7
Question 1. Décomposer \(840\), \(60\) et \(27720\) en produits de facteurs premiers.
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Question 2. À l’aide des exposants dans le PGCD et le PPCM, déterminer la décomposition de \(N\).
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Rappel ciblé. Dans un PGCD, chaque facteur premier commun est pris avec son plus petit exposant ; dans un PPCM, avec son plus grand exposant.
Le facteur \(2\) a l’exposant \(2\) dans \(N\) : cela permet d’obtenir \(2^2\) dans le PGCD et \(2^3\) dans le PPCM. Le facteur \(3\) a l’exposant \(2\). Le facteur \(5\) a l’exposant \(1\). Le facteur \(7\) ne figure pas dans \(N\), et \(11\) y figure à l’exposant \(1\).
\[\boxed{N=2^2\times3^2\times5\times11.}\]Question 3. Calculer \(N\) et vérifier les deux conditions.
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Exercice 8
Question 1. Déterminer le plus petit entier \(u\in\mathbb N^*\) tel que \(Nu\) soit un cube parfait.
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Dans un cube parfait, les exposants des facteurs premiers sont des multiples de \(3\). Les plus petits exposants multiples de \(3\) au moins égaux à \(4,5,2\) sont \(6,6,3\).
Il faut donc multiplier \(N\) par \(2^2\times3\times5\).
\[\boxed{u=60,\qquad Nu=180^3.}\]Question 2. Déterminer le plus petit entier \(v\in\mathbb N^*\) tel que \(Nv\) soit une puissance sixième.
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Les plus petits multiples de \(6\) au moins égaux à \(4,5,2\) sont \(6,6,6\). Il faut donc multiplier par \(2^2\times3\times5^4\).
\[\boxed{v=7500,\qquad Nv=30^6.}\]Question 3. Justifier que toute puissance sixième est également un cube parfait.
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