Correction des exercices PMM 9 à 28 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique

Correction des exercices PMM 9 à 28 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique — Niveau 2

Exercices personnels PMM · Niveau 2 — Raisonnement guidé · Accès gratuit

Cette série appartient au niveau 2 : raisonnement guidé. Les exercices suivent désormais une numérotation continue par niveau : 1 à 8, puis 9 à 38, puis 39 à 52.

Repères de cours utiles

Dans une division euclidienne par un entier naturel non nul \(b\), on écrit \(a=bq+r\) avec \(0\leq r<b\). Ce dernier encadrement distingue le reste d’une simple différence. Pour prouver qu’un nombre est divisible par \(b\), on cherche à l’écrire comme \(b\) multiplié par un entier.

Un nombre premier est un entier naturel au moins égal à \(2\) dont les seuls diviseurs naturels sont \(1\) et lui-même. La décomposition en facteurs premiers permet de repérer les facteurs communs et de calculer un PGCD ou un PPCM. Il faut distinguer un nombre premier d’un couple de nombres premiers entre eux.

Un raisonnement sur la parité distingue les formes \(2k\) et \(2k+1\), avec \(k\) entier naturel. Une factorisation transforme souvent une condition additive en un produit d’entiers. Les contraintes de positivité, d’ordre ou de parité doivent rester présentes lors de la recherche des valeurs possibles.

Exercice 9

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(n\in\mathbb N\). On pose \[a=3n+2\qquad\text{et}\qquad b=5n+3.\]

Question 1 — Calculer et simplifier \(5a-3b\).

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Point de cours à mobiliser.

Cette étape sert à établir une identité ou une valeur qui sera utilisée ensuite. On remplace soigneusement les expressions par leurs définitions, on développe ou on simplifie, puis on contrôle que les deux membres coïncident exactement. Le calcul doit rester lisible afin que la justification puisse être réutilisée dans la suite.

Idée de résolution. Le calcul sera conduit en gardant les expressions factorisées aussi longtemps que possible, afin de conserver la structure arithmétique du problème et de limiter les erreurs numériques.

\[5a-3b=5(3n+2)-3(5n+3)=15n+10-15n-9=1.\]

Question 2 — Soit \(d\) un diviseur commun de \(a\) et \(b\). Montrer que \(d\) divise \(5a-3b\).

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Point de cours à mobiliser.

On part de la définition d’un diviseur commun. Si \(d\) divise deux entiers, chacun d’eux peut s’écrire comme un multiple de \(d\). Par conséquent, toute somme ou différence obtenue à partir de ces deux multiples reste encore un multiple de \(d\). Cette propriété élémentaire permet souvent de remplacer deux expressions compliquées par un petit entier beaucoup plus facile à exploiter.

Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Soit \(d\) un diviseur commun de \(a\) et \(b\). Alors \(a=du\) et \(b=dv\) pour certains entiers \(u,v\). Ainsi \[5a-3b=d(5u-3v),\] donc \(d/(5a-3b)\). D’après la question précédente, \(d/1\).

Question 3 — En déduire que \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\).

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Point de cours à mobiliser.

Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.

Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.

Le seul diviseur naturel positif de \(1\) est \(1\), donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(a;b)=1}.\]

Question 4 — Montrer que la fraction \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) est irréductible pour tout \(n\in\mathbb N\).

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Point de cours à mobiliser.

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun positif autre que 1. Autrement dit, il suffit de montrer que leur PGCD vaut 1. On va donc réutiliser directement l’information obtenue sur les diviseurs communs au lieu de recommencer une simplification de la fraction.

Le numérateur \(3n+2=a\) et le dénominateur \(5n+3=b\) sont premiers entre eux. Par conséquent

\[\boxed{\dfrac{3n+2}{5n+3}\text{ est irréductible}.}\]

Question 5 — Montrer également que \(a\) et \(a+b\) sont premiers entre eux.

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Point de cours à mobiliser.

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.

Rappel du cours — nombres premiers entre eux.

Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à \(1\).

Soit \(d\) un diviseur commun de \(a\) et \(a+b\). Alors \(d\) divise leur différence \[(a+b)-a=b.\] Donc \(d\) est un diviseur commun de \(a\) et \(b\). Comme \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\), on obtient \(d=1\). Ainsi

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(a;a+b)=1}.\]

Exercice 10

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\gt 3\).

Question 1 — Justifier que \(p\) est impair.

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Point de cours à mobiliser.

On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).

Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.

Rappel du cours — parité.

Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.

Si \(p\) était pair, il serait divisible par \(2\). Comme \(p\) est premier, on aurait alors \(p=2\), impossible puisque \(p\gt 3\). Donc \(p\) est impair.

Question 2 — Montrer que \((p-1)(p+1)\) est divisible par \(8\).

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Point de cours à mobiliser.

Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.

Les deux entiers \(p-1\) et \(p+1\) sont pairs. Parmi deux entiers pairs consécutifs, l’un est divisible par \(4\). Leur produit est donc divisible par \(2\times4=8\) :

\[\boxed{8/(p^2-1)}.\]

Question 3 — En considérant les trois entiers consécutifs \(p-1\), \(p\) et \(p+1\), montrer que \(3/(p^2-1)\).

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Point de cours à mobiliser.

Parmi les trois entiers consécutifs \(p-1,p,p+1\), l’un est divisible par \(3\). Comme \(p\gt 3\) est premier, \(p\) n’est pas divisible par \(3\). Ainsi \(3\) divise \(p-1\) ou \(p+1\), donc

\[\boxed{3/(p^2-1)}.\]

Question 4 — En déduire que \(24/(p^2-1)\).

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Point de cours à mobiliser.

Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.

Le nombre \(p^2-1\) est un multiple commun de \(8\) et de \(3\). Or \(\mathrm{PPCM}(8;3)=24\). Donc

\[\boxed{24/(p^2-1)}.\]

Question 5 — Appliquer ce résultat aux nombres premiers \(p=5\), \(p=7\) et \(p=11\).

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

\[5^2-1=24,\qquad 7^2-1=48=2\times24,\qquad 11^2-1=120=5\times24.\]

Exercice 11

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose \[A_n=n^2+7n+22.\]

Question 1 — Vérifier que \(A_n=(n+2)(n+5)+12\).

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Point de cours à mobiliser.

Idée de résolution. Il s’agit d’un contrôle direct : on effectue le calcul sans détour, puis on met en évidence l’égalité obtenue. Cette vérification servira de base aux questions suivantes.

\[(n+2)(n+5)+12=n^2+7n+10+12=n^2+7n+22=A_n.\]

Question 2 — Montrer que \(n+2/ A_n\) si et seulement si \(n+2/12\).

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Point de cours à mobiliser.

De \(A_n=(n+2)(n+5)+12\), on déduit : \[n+2/ A_n\iff n+2/12,\] car \(n+2\) divise déjà \((n+2)(n+5)\).

Question 3 — Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que \(n+2/ A_n\).

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Point de cours à mobiliser.

On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.

Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.

Comme \(n\in\mathbb N\), on a \(n+2\ge2\). Les diviseurs positifs de \(12\) qui sont \(\ge2\) sont \[2,3,4,6,12.\] Donc \[n+2\in\{2,3,4,6,12\}\] et

\[\boxed{n\in\{0,1,2,4,10\}}.\]

Question 4 — Pour chacune des valeurs obtenues, calculer \(\dfrac{A_n}{n+2}\).

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Point de cours à mobiliser.

À partir de \[\frac{A_n}{n+2}=n+5+\frac{12}{n+2},\] on obtient successivement \[11,\ 10,\ 10,\ 11,\ 16.\]

Question 5 — En déduire toutes les valeurs de \(n\) pour lesquelles ce quotient est un nombre premier.

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Les seuls nombres premiers de cette liste sont les deux valeurs \(11\). Elles correspondent à \(n=0\) et \(n=4\). Ainsi

\[\boxed{n=0\text{ ou }n=4}.\]

Exercice 12

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On considère \[A=2^5\times3^4\times5^3\times7.\]

Question 1 — Le nombre \(A\) est-il un carré parfait ? Justifier.

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Point de cours à mobiliser.

La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.

Un carré parfait possède des exposants pairs dans sa décomposition en facteurs premiers. Ici les exposants de \(2\), \(5\) et \(7\) sont impairs. Donc \(A\) n’est pas un carré parfait.

Question 2 — Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(kA\) soit un carré parfait.

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Point de cours à mobiliser.

Pour rendre tous les exposants pairs avec le plus petit facteur possible, il faut multiplier par \[2\times5\times7.\] Ainsi

\[\boxed{k=70}.\]

Question 3 — Déterminer l’entier \(u\) tel que \(kA=u^2\).

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Point de cours à mobiliser.

\[kA=2^6 3^4 5^4 7^2 =\left(2^3 3^2 5^2 7\right)^2.\] Or \[2^3 3^2 5^2 7=8\times9\times25\times7=12600.\] Donc

\[\boxed{u=12600}.\]

Question 4 — Justifier soigneusement pourquoi la valeur de \(k\) obtenue est la plus petite possible.

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Point de cours à mobiliser.

Si l’on omettait l’un des facteurs \(2\), \(5\) ou \(7\) dans \(k\), l’exposant correspondant resterait impair. Le produit ne serait donc pas un carré. Ainsi \(70\) est bien le plus petit entier possible.

Question 5 — Déterminer le nombre de diviseurs positifs de \(kA\).

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Point de cours à mobiliser.

La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.

Le nombre de diviseurs positifs de \(kA=2^6 3^4 5^4 7^2\) vaut

\[(6+1)(4+1)(4+1)(2+1)=7\times5\times5\times3=\boxed{525}.\]

Exercice 13

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On cherche deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), avec \(a\lt b\), tels que \[\mathrm{PGCD}(a;b)=18\qquad\text{et}\qquad \mathrm{PPCM}(a;b)=756.\]

Question 1 — En utilisant la relation entre le produit, le PGCD et le PPCM, montrer que \(ab=13608\).

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Point de cours à mobiliser.

Le PPCM est le plus petit multiple commun strictement positif. À partir des décompositions en facteurs premiers, on conserve chaque facteur premier nécessaire avec le plus grand exposant rencontré. Cette lecture permet de calculer le PPCM de façon structurée et de contrôler immédiatement que le résultat est bien multiple des deux entiers.

Pour deux entiers naturels non nuls, \[ab=\mathrm{PGCD}(a;b)\,\mathrm{PPCM}(a;b).\] Ainsi

\[ab=18\times756=\boxed{13608}.\]

Question 2 — On pose \(a=18x\) et \(b=18y\). Montrer que \(\mathrm{PGCD}(x;y)=1\).

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Point de cours à mobiliser.

Puisque \(18\) est le PGCD de \(a\) et \(b\), on peut écrire \[a=18x,\qquad b=18y\] avec

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(x;y)=1}.\]

Question 3 — Montrer que \(xy=42\).

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Point de cours à mobiliser.

En remplaçant dans \(ab=13608\) : \[(18x)(18y)=13608\quad\Longrightarrow\quad324xy=13608,\] d’où

\[\boxed{xy=42}.\]

Question 4 — Décomposer \(42\) en produits de deux facteurs premiers entre eux.

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombres premiers entre eux.

Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à \(1\).

Les décompositions de \(42\) en deux facteurs premiers entre eux, avec le premier plus petit que le second, sont \[(1;42),(2;21),(3;14),(6;7).\]

Question 5 — Déterminer tous les couples \((x;y)\), avec \(x\lt y\).

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Point de cours à mobiliser.

Pour déterminer tous les couples, il ne suffit pas de trouver un exemple : il faut montrer que la liste est exhaustive. On part de la relation numérique déjà obtenue, on énumère méthodiquement les couples de facteurs compatibles, puis on élimine ceux qui ne respectent pas les conditions de l’énoncé. Cette organisation garantit qu’aucune solution n’est oubliée.

Donc

\[\boxed{(x;y)=(1;42),(2;21),(3;14),(6;7)}.\]

Question 6 — En déduire tous les couples \((a;b)\) répondant au problème.

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Point de cours à mobiliser.

En multipliant par \(18\) :

\[\boxed{(a;b)=(18;756),(36;378),(54;252),(108;126)}.\]

Exercice 14

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(n\ge3\) un entier naturel et \[P=2\times3\times4\times\cdots\times n.\] Soit \(k\) un entier tel que \(2\le k\le n\).

Question 1 — Montrer que \(k/ P\).

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Point de cours à mobiliser.

Pour tout \(k\) tel que \(2\le k\le n\), le nombre \(k\) apparaît parmi les facteurs de \(P\). Donc

\[\boxed{k/ P}.\]

Question 2 — En déduire que \(k/(P+k)\).

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Point de cours à mobiliser.

Comme \(k/ P\) et \(k/ k\), on a

\[\boxed{k/(P+k)}.\]

Question 3 — Montrer que \(P+k\gt k\gt 1\).

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Point de cours à mobiliser.

On a \(P\ge2\times3=6\), donc \[P+k\gt k\gt 1.\]

Question 4 — En déduire que \(P+k\) n’est pas un nombre premier.

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Ainsi \(P+k\) possède le diviseur \(k\), avec \[1\lt k\lt P+k.\] Donc \(P+k\) n’est pas premier.

Question 5 — Montrer ainsi que \(P+2,P+3,\ldots,P+n\) sont tous composés.

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Point de cours à mobiliser.

Ceci est valable pour chaque \(k=2,3,\ldots,n\). Donc

\[\boxed{P+2,P+3,\ldots,P+n\text{ sont tous composés}}.\]

Question 6 — Que peut-on en déduire sur l’existence de suites de nombres composés consécutifs ?

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Point de cours à mobiliser.

Il y a \(n-1\) nombres composés consécutifs dans cette liste. Comme \(n\) peut être choisi aussi grand que l’on veut, il existe des suites de nombres composés consécutifs de longueur arbitrairement grande.

Exercice 15

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(n\in\mathbb N^{*}\). On pose \[A=n(n+1)\qquad\text{et}\qquad B=(n+1)(n+2).\]

Question 1 — Soit \(d\) un diviseur commun de \(n\) et \(n+2\). Montrer que \(d\) divise \(2\).

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Si \(d\) divise \(n\) et \(n+2\), alors \(d\) divise leur différence \[(n+2)-n=2.\] Donc tout diviseur commun de \(n\) et \(n+2\) divise \(2\).

Question 2 — En déduire que \[\mathrm{PGCD}(n;n+2)=\begin{cases}1,&\text{si }n\text{ est impair},\\2,&\text{si }n\text{ est pair}.\end{cases}\]

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — parité.

Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.

Si \(n\) est impair, \(n\) et \(n+2\) sont impairs ; leur PGCD ne peut donc pas être \(2\), et vaut \(1\). Si \(n\) est pair, \(n\) et \(n+2\) sont tous deux pairs et leur PGCD divise \(2\) ; il vaut donc \(2\). Ainsi

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(n;n+2)=\begin{cases}1,&n\text{ impair},\\2,&n\text{ pair}. \end{cases}}\]

Question 3 — Déterminer \(\mathrm{PGCD}(A;B)\) suivant la parité de \(n\).

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — PGCD.

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.

Comme \[A=(n+1)n,\qquad B=(n+1)(n+2),\] on obtient \[\mathrm{PGCD}(A;B)=(n+1)\mathrm{PGCD}(n;n+2).\] Donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(A;B)=\begin{cases}n+1,&n\text{ impair},\\2(n+1),&n\text{ pair}. \end{cases}}\]

Question 4 — Vérifier les résultats obtenus pour \(n=5\) puis pour \(n=8\).

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Point de cours à mobiliser.

Pour \(n=5\) : \[A=30,\ B=42,\ \mathrm{PGCD}(30;42)=6=n+1.\] Pour \(n=8\) : \[A=72,\ B=90,\ \mathrm{PGCD}(72;90)=18=2(n+1).\]

Exercice 16

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(p\) un nombre premier impair. On cherche les couples \((x;y)\in\mathbb N^2\), avec \(x\gt y\), vérifiant \[x^2-y^2=p.\]

Question 1 — Montrer que \((x-y)(x+y)=p\).

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Point de cours à mobiliser.

\[(x-y)(x+y)=p.\]

Question 2 — En utilisant le fait que \(p\) est premier, montrer nécessairement que \(x-y=1\) et \(x+y=p\).

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Les deux facteurs \(x-y\) et \(x+y\) sont des entiers naturels positifs. Comme leur produit est le nombre premier \(p\), nécessairement

\[\boxed{x-y=1\quad\text{et}\quad x+y=p}.\]

Question 3 — En déduire \(x=\dfrac{p+1}{2}\) et \(y=\dfrac{p-1}{2}\).

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Point de cours à mobiliser.

En additionnant et en soustrayant : \[2x=p+1,\qquad2y=p-1.\] Donc

\[\boxed{x=\frac{p+1}{2},\qquad y=\frac{p-1}{2}}.\]

Question 4 — Montrer que \(x\) et \(y\) sont deux entiers naturels consécutifs.

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Point de cours à mobiliser.

On a immédiatement \[x-y=1,\] donc \(x\) et \(y\) sont consécutifs.

Question 5 — En déduire que \(\mathrm{PGCD}(x;y)=1\).

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Point de cours à mobiliser.

Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux : tout diviseur commun divise leur différence \(1\). Donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(x;y)=1}.\]

Question 6 — Montrer finalement que tout nombre premier impair peut s’écrire d’une manière unique comme différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs.

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

La factorisation d’un nombre premier en deux facteurs positifs est unique à l’ordre près ; avec \(x-y\lt x+y\), la représentation obtenue est donc unique.

Exercice 17

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On considère le nombre à quatre chiffres \[N=\overline{53xy},\] où \(x\) et \(y\) sont des chiffres. On suppose que \(N\) est divisible à la fois par \(4\) et par \(9\).

Question 1 — Traduire la divisibilité par \(9\) en une condition portant sur \(x+y\).

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Point de cours à mobiliser.

La somme des chiffres vaut \[5+3+x+y=8+x+y.\] La divisibilité par \(9\) impose que \(8+x+y\) soit un multiple de \(9\). Comme \(0\le x+y\le18\), on a \[8+x+y\in\{9,18\},\] donc

\[\boxed{x+y=1\quad\text{ou}\quad x+y=10}.\]

Question 2 — Utiliser le critère de divisibilité par \(4\) pour déterminer tous les couples possibles \((x;y)\).

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Point de cours à mobiliser.

Pour \(x+y=1\), les couples \((0;1)\) et \((1;0)\) donnent les deux derniers chiffres \(01\) ou \(10\), non divisibles par \(4\).

Pour \(x+y=10\), on teste les nombres à deux chiffres \(10x+y\). Parmi \[19,28,37,46,55,64,73,82,91,\] seuls \(28\) et \(64\) sont divisibles par \(4\). Ainsi

\[\boxed{(x;y)=(2;8)\text{ ou }(6;4)}.\]

Question 3 — En déduire toutes les valeurs possibles de \(N\).

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Point de cours à mobiliser.

Les deux nombres sont donc

\[\boxed{N_1=5328,\qquad N_2=5364}.\]

Question 4 — Décomposer chacune de ces valeurs en produit de facteurs premiers.

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — décomposition en facteurs premiers.

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.

\[5328=16\times333=2^4\times3^2\times37,\] \[5364=4\times1341=2^2\times3^2\times149.\] Les nombres \(37\) et \(149\) sont premiers.

Question 5 — Si les deux nombres obtenus sont notés \(N_1\) et \(N_2\), déterminer \(\mathrm{PGCD}(N_1;N_2)\) puis \(\mathrm{PPCM}(N_1;N_2)\).

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Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — PGCD.

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.

Ainsi \[\mathrm{PGCD}(N_1;N_2)=2^2\times3^2=\boxed{36},\] et

\[\mathrm{PPCM}(N_1;N_2)=2^4\times3^2\times37\times149=\boxed{793872}.\]

Exercice 18

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On considère un entier naturel \(N\) divisible par \(3600\).

Question 1 — Vérifier que \(3600=2^4\times3^2\times5^2\).

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Point de cours à mobiliser.

\[3600=36\times100=(2^2 3^2)(2^2 5^2)=\boxed{2^4 3^2 5^2}.\]

Question 2 — Déterminer le nombre de diviseurs positifs de \(3600\).

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Point de cours à mobiliser.

Le nombre de diviseurs de \(3600\) vaut

\[(4+1)(2+1)(2+1)=5\times3\times3=\boxed{45}.\]

Question 3 — On suppose maintenant que \(N\) possède exactement \(45\) diviseurs positifs. Montrer que tout diviseur de \(3600\) est aussi un diviseur de \(N\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Soit \(d\) un diviseur de \(3600\). Il existe un entier \(u\) tel que \(3600=du\). Comme \(3600/ N\), il existe \(v\) tel que \(N=3600v\). Alors \[N=duv,\] donc \(d/ N\). Ainsi les \(45\) diviseurs de \(3600\) sont aussi des diviseurs de \(N\).

Question 4 — Supposons que \(N\gt 3600\). Expliquer pourquoi \(N\) constituerait alors un diviseur de \(N\) supplémentaire aux \(45\) diviseurs de \(3600\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(N\gt 3600\), alors \(N\) est lui-même un diviseur de \(N\) et ne figure pas parmi les diviseurs de \(3600\), tous inférieurs ou égaux à \(3600\). \(N\) aurait donc au moins \(46\) diviseurs, contradiction.

Question 5 — En déduire la valeur de \(N\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(3600/ N\), on a \(N\ge3600\). La question précédente exclut \(N\gt 3600\). Ainsi

\[\boxed{N=3600}.\]

Question 6 — Vérifier que \(N\) est un carré parfait et déterminer sa racine carrée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[3600=60^2.\] Donc

\[\boxed{\sqrt N=60}.\]

Exercice 19

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose \[A_n=n^4+4.\]

Question 1 — Vérifier que \(n^4+4=(n^2+2)^2-(2n)^2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[(n^2+2)^2-(2n)^2=n^4+4n^2+4-4n^2=n^4+4.\]

Question 2 — En déduire la factorisation \(A_n=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

La factorisation est ici l’étape décisive : elle transforme une relation additive ou quadratique en un produit d’entiers. Une fois le produit obtenu, les valeurs possibles sont contrôlées par les couples de diviseurs du nombre fixé. Il faut ensuite appliquer les contraintes supplémentaires de l’énoncé, notamment l’ordre, la positivité ou la parité.

C’est une différence de deux carrés : \[A_n=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n),\] d’où

\[\boxed{A_n=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}.\]

Question 3 — Montrer que, pour \(n\ge2\), \(n^2-2n+2=(n-1)^2+1\ge2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[n^2-2n+2=(n-1)^2+1.\] Si \(n\ge2\), alors \((n-1)^2\ge1\), donc \[n^2-2n+2\ge2.\]

Question 4 — Montrer que le second facteur est également strictement supérieur à \(1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le second facteur vérifie \[n^2+2n+2=(n+1)^2+1\gt 1.\]

Question 5 — En déduire que \(A_n\) n’est pas premier pour tout \(n\ge2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

La notion centrale ici est celle de nombre premier. On utilise le fait qu’un nombre premier ne peut avoir de diviseur positif autre que 1 et lui-même. Cette contrainte permet de transformer une relation de divisibilité ou une factorisation en une information très précise sur les facteurs possibles.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Pour \(n\ge2\), \(A_n\) est donc produit de deux entiers strictement supérieurs à \(1\). Il n’est pas premier.

Question 6 — Étudier séparément les cas \(n=0\) et \(n=1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[n=0\Rightarrow A_0=4\text{ non premier},\] \[n=1\Rightarrow A_1=5\text{ premier}.\]

Question 7 — Déterminer tous les entiers naturels \(n\) pour lesquels \(n^4+4\) est premier.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Finalement

est l’unique valeur pour laquelle \(n^4+4\) est premier.

\[\boxed{n=1}\]

Exercice 20

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(p\gt 3\) un nombre premier tel que \(p+2\) soit également premier.

Question 1 — Montrer que \(p\) et \(p+2\) sont impairs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Les nombres premiers supérieurs à \(2\) sont impairs. Donc \(p\) et \(p+2\) sont impairs.

Question 2 — Parmi les trois entiers consécutifs \(p,p+1,p+2\), l’un est divisible par \(3\). Pourquoi ce nombre ne peut-il être ni \(p\) ni \(p+2\) ?

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Parmi trois entiers consécutifs \(p,p+1,p+2\), un seul au moins est divisible par \(3\). Il ne peut être \(p\) ni \(p+2\), car ces deux nombres sont premiers et strictement supérieurs à \(3\). Donc

\[\boxed{3/(p+1)}.\]

Question 3 — En déduire que \(3/(p+1)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Cela donne directement le résultat demandé.

Question 4 — Montrer aussi que \(2/(p+1)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(p\) est impair, \(p+1\) est pair, donc

\[\boxed{2/(p+1)}.\]

Question 5 — En déduire qu’il existe \(k\in\mathbb N^{*}\) tel que \(p+1=6k\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Ainsi \(p+1\) est un multiple commun de \(2\) et \(3\). Comme \(\mathrm{PPCM}(2;3)=6\), il existe \(k\in\mathbb N^{*}\) tel que

\[\boxed{p+1=6k}.\]

Question 6 — Conclure que \(p=6k-1\) et \(p+2=6k+1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Par conséquent

\[\boxed{p=6k-1,\qquad p+2=6k+1}.\]

Question 7 — Vérifier cette propriété sur les couples \((5;7)\), \((11;13)\) et \((17;19)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[5=6\times1-1,\ 7=6\times1+1;\] \[11=6\times2-1,\ 13=6\times2+1;\] \[17=6\times3-1,\ 19=6\times3+1.\]

Exercice 21

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soient \(a,b\in\mathbb N^{*}\). On considère \[N=2^a3^b5.\] On sait que \(540/ N\) et que \(N\) possède exactement \(40\) diviseurs positifs.

Question 1 — Décomposer \(540\) en produit de facteurs premiers.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — décomposition en facteurs premiers.

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.

\[540=54\times10=2^2\times3^3\times5.\]

Question 2 — En déduire des conditions sur \(a\) et \(b\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(540/2^a3^b5\),

\[\boxed{a\ge2,\qquad b\ge3}.\]

Question 3 — Montrer que le nombre de diviseurs de \(N\) est \(2(a+1)(b+1)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Un diviseur de \(N\) est de la forme \(2^i3^j5^k\) avec \[0\le i\le a,\quad0\le j\le b,\quad k\in\{0,1\}.\] Il y a donc

diviseurs.

\[\boxed{2(a+1)(b+1)}\]

Question 4 — En déduire \((a+1)(b+1)=20\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Puisque ce nombre vaut \(40\),

\[\boxed{(a+1)(b+1)=20}.\]

Question 5 — Déterminer tous les couples \((a;b)\) possibles.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Avec \(a+1\ge3\) et \(b+1\ge4\), les seules possibilités sont \[(a+1;b+1)=(4;5)\text{ ou }(5;4).\] Donc

\[\boxed{(a;b)=(3;4),(4;3)}.\]

Question 6 — En déduire toutes les valeurs possibles de \(N\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[2^3 3^4 5=3240, \qquad 2^4 3^3 5=2160.\]

Question 7 — Déterminer la plus petite d’entre elles.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Ainsi

\[\boxed{N_{\min}=2160}.\]

Exercice 22

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(n\in\mathbb N\). On pose \[a=n+6,\qquad b=2n+15.\]

Question 1 — Montrer que \(b-2a=3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[b-2a=(2n+15)-2(n+6)=\boxed{3}.\]

Question 2 — Soit \(d\) un diviseur commun de \(a\) et \(b\). Montrer que \(d/3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Si \(d\) divise \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise toute combinaison entière de \(a\) et \(b\), en particulier \[b-2a=3.\] Donc

\[\boxed{d/3}.\]

Question 3 — En déduire que \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) ne peut prendre que les valeurs \(1\) ou \(3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le PGCD est un diviseur positif de \(3\). Donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(a;b)\in\{1,3\}}.\]

Question 4 — Montrer que si \(3/ n\), alors \(3/ a\) et \(3/ b\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(3/ n\), alors \(n=3k\). Ainsi \[a=3k+6=3(k+2),\] \[b=6k+15=3(2k+5),\] donc \(3\) divise \(a\) et \(b\).

Question 5 — Montrer que si \(3\) ne divise pas \(n\), alors \(3\) ne peut pas diviser simultanément \(a\) et \(b\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(3\) ne divise pas \(n\), alors \(a=n+6\) n’est pas divisible par \(3\) puisque \(6\) l’est. Ainsi \(3\) ne peut pas diviser simultanément \(a\) et \(b\).

Question 6 — En déduire \[\mathrm{PGCD}(n+6;2n+15)=\begin{cases}3,&\text{si }3/ n,\\1,&\text{sinon.}\end{cases}\]

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

On obtient donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(n+6;2n+15)=\begin{cases}3,&3/ n,\\1,&3\text{ ne divise pas }n. \end{cases}}\]

Question 7 — Dans quels cas la fraction \(\dfrac{n+6}{2n+15}\) est-elle irréductible ?

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

La fraction est irréductible exactement lorsque le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut \(1\). Donc

\[\boxed{\frac{n+6}{2n+15}\text{ est irréductible}\iff 3\text{ ne divise pas }n.}\]

Exercice 23

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Un fournisseur dispose de \(840\) articles de type \(A\) et de \(630\) articles de type \(B\). Il souhaite constituer des cartons strictement identiques en utilisant tous les articles, sans reste. Chaque carton doit contenir au moins cinq articles de type \(A\).

Question 1 — Si \(r\) désigne le nombre de cartons, montrer que \(r\) est un diviseur commun de \(840\) et \(630\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Dans ce type de problème concret, il faut d’abord traduire la contrainte matérielle en divisibilité. Le même nombre doit partager exactement les deux quantités ou les deux longueurs, sans reste. On cherche donc un diviseur commun ; si l’on veut le plus grand nombre de groupes ou la plus grande dimension possible, le PGCD devient naturellement l’outil adapté.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Si \(r\) cartons identiques utilisent tous les articles sans reste, alors \[r/840\quad\text{et}\quad r/630.\] Donc \(r\) est un diviseur commun.

Question 2 — Montrer que la contrainte sur les articles de type \(A\) impose \(r\le168\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Chaque carton contient \(840/r\) articles \(A\). La contrainte impose \[\frac{840}{r}\ge5.\] Comme \(r\gt 0\),

\[840\ge5r\quad\Longrightarrow\quad\boxed{r\le168}.\]

Question 3 — Déterminer \(\mathrm{PGCD}(840;630)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — PGCD.

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Par décomposition, on conserve les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.

\[840=2^3\times3\times5\times7,\] \[630=2\times3^2\times5\times7.\] Donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(840;630)=2\times3\times5\times7=210}.\]

Question 4 — Déterminer tous les diviseurs communs de \(840\) et \(630\) qui sont inférieurs ou égaux à \(168\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Les diviseurs de \(210\) inférieurs ou égaux à \(168\) sont

\[\boxed{1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105}.\]

Question 5 — En déduire le nombre maximal de cartons pouvant être réalisés.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le plus grand est

\[\boxed{r=105}.\]

Question 6 — Déterminer alors le contenu de chaque carton.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Chaque carton contient \[840/105=8\quad\text{articles }A,\] \[630/105=6\quad\text{articles }B.\] Donc

\[\boxed{8\text{ articles }A\text{ et }6\text{ articles }B}.\]

Exercice 24

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(p\) un nombre premier. On suppose que \(p\), \(p+2\) et \(p+4\) sont tous premiers.

Question 1 — Montrer que parmi les trois nombres \(p\), \(p+2\) et \(p+4\), l’un est divisible par \(3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Dans la division par \(3\), les trois nombres \(p,p+2,p+4\) ont trois restes différents. L’un d’eux est donc divisible par \(3\).

Question 2 — Supposons \(p\gt 3\). Expliquer pourquoi on obtient alors une contradiction.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(p\gt 3\), alors chacun des trois nombres est strictement supérieur à \(3\). Un nombre premier strictement supérieur à \(3\) ne peut pas être divisible par \(3\). Contradiction.

Question 3 — Étudier les cas \(p=2\) et \(p=3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(p=2\), alors \(p+2=4\) n’est pas premier. Si \(p=3\), on obtient \[3,5,7,\] qui sont tous premiers.

Question 4 — En déduire que la seule possibilité est \(p=3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

La seule possibilité est donc

\[\boxed{p=3}.\]

Question 5 — Vérifier que \(3\), \(5\) et \(7\) sont effectivement premiers.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Vérification : \(3,5,7\) n’ont pas d’autres diviseurs positifs que \(1\) et eux-mêmes.

Exercice 25

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On cherche deux entiers naturels non nuls \(a\lt b\) tels que \[\mathrm{PGCD}(a;b)=12\qquad\text{et}\qquad a+b=180.\]

Question 1 — Montrer qu’il existe \(x,y\in\mathbb N^{*}\) tels que \(a=12x\), \(b=12y\) et \(\mathrm{PGCD}(x;y)=1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(12\) est le PGCD, on écrit \[a=12x,\qquad b=12y,\] avec

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(x;y)=1}.\]

Question 2 — Montrer que \(x+y=15\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[12x+12y=180\quad\Longrightarrow\quad x+y=15.\] Donc

\[\boxed{x+y=15}.\]

Question 3 — Déterminer tous les couples \((x;y)\), avec \(x\lt y\), vérifiant ces deux conditions.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Les couples positifs \((x;y)\) avec \(x\lt y\) et \(x+y=15\) sont \[(1;14),(2;13),(3;12),(4;11),(5;10),(6;9),(7;8).\] On garde seulement ceux qui sont premiers entre eux :

\[\boxed{(1;14),(2;13),(4;11),(7;8)}.\]

Question 4 — En déduire tous les couples \((a;b)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

D’où

\[\boxed{(a;b)=(12;168),(24;156),(48;132),(84;96)}.\]

Question 5 — Pour chacun des couples obtenus, déterminer \(\mathrm{PPCM}(a;b)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — PPCM.

Le PPCM est le plus petit multiple commun strictement positif. Par décomposition, on conserve tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant.

Puisque \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux, \[\mathrm{PPCM}(a;b)=12xy.\] Ainsi : \[12\times1\times14=168,\] \[12\times2\times13=312,\] \[12\times4\times11=528,\] \[12\times7\times8=672.\]

Question 6 — Quel couple donne le plus petit PPCM ? Quel couple donne le plus grand ?

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le plus petit PPCM est \[\boxed{168}\quad\text{pour }(a;b)=(12;168),\] et le plus grand est

\[\boxed{672}\quad\text{pour }(a;b)=(84;96).\]

Exercice 26

Niveau 2 — Raisonnement guidé

On cherche les couples \((a;b)\in(\mathbb N^{*})^2\) tels que \[ab=1715\qquad\text{et}\qquad \mathrm{PGCD}(a;b)=7.\]

Question 1 — Posons \(a=7x\) et \(b=7y\). Montrer que \(xy=35\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Écrivons \[a=7x,\qquad b=7y.\] Alors \[49xy=1715.\] Comme \(1715=49\times35\),

\[\boxed{xy=35}.\]

Question 2 — Montrer que \(\mathrm{PGCD}(x;y)=1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Puisque \(7\) est exactement le PGCD de \(a\) et \(b\), aucun entier \(\gt 1\) ne divise simultanément \(x\) et \(y\). Ainsi

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(x;y)=1}.\]

Question 3 — Décomposer \(35\) en produits de deux facteurs.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[35=1\times35=5\times7.\]

Question 4 — Déterminer les couples \((x;y)\) premiers entre eux.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombres premiers entre eux.

Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à \(1\).

Les couples ordonnés sont

et ils sont tous premiers entre eux.

\[\boxed{(x;y)=(1;35),(5;7),(7;5),(35;1)},\]

Question 5 — En déduire tous les couples \((a;b)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

En multipliant par \(7\) :

\[\boxed{(a;b)=(7;245),(35;49),(49;35),(245;7)}.\]

Question 6 — Parmi eux, déterminer ceux pour lesquels \(a\lt b\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Sous la condition \(a\lt b\) :

\[\boxed{(a;b)=(7;245)\text{ ou }(35;49)}.\]

Exercice 27

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose \[A=2n+1,\qquad B=n^2+n+1.\]

Question 1 — Montrer que \(4B-A^2=3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[4B-A^2=4(n^2+n+1)-(2n+1)^2\]

\[=4n^2+4n+4-(4n^2+4n+1)=\boxed{3}.\]

Question 2 — Soit \(d\) un diviseur commun de \(A\) et \(B\). Montrer que \(d/3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Si \(d\) divise \(A\) et \(B\), alors \(d\) divise \(4B\) et \(A^2\). Il divise donc leur différence :

\[\boxed{d/3}.\]

Question 3 — En déduire que \(\mathrm{PGCD}(A;B)\in\{1,3\}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le PGCD est un diviseur positif de \(3\), donc

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(A;B)\in\{1,3\}}.\]

Question 4 — Écrire successivement \(n=3k\), \(n=3k+1\) et \(n=3k+2\), puis étudier dans chaque cas la divisibilité de \(A\) et \(B\) par \(3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Si \(n=3k\), alors \[A=6k+1,\] qui n’est pas divisible par \(3\) ; le PGCD vaut donc \(1\).

Si \(n=3k+1\), alors \[A=6k+3=3(2k+1),\] et \[B=(3k+1)^2+(3k+1)+1=9k^2+9k+3=3(3k^2+3k+1).\] Donc \(3\) divise \(A\) et \(B\), et le PGCD vaut \(3\).

Si \(n=3k+2\), alors \[A=6k+5,\] qui n’est pas divisible par \(3\) ; le PGCD vaut \(1\).

Question 5 — En déduire la valeur de \(\mathrm{PGCD}(2n+1;n^2+n+1)\) suivant la forme de \(n\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Ainsi

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(2n+1;n^2+n+1)= \begin{cases} 3,&n=3k+1,\\ 1,&n=3k\text{ ou }n=3k+2. \end{cases}}\]

Exercice 28

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p+10\) et \(p+20\) soient également premiers.

Question 1 — Lorsqu’un entier est divisé par \(3\), quels sont les trois restes possibles ?

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

On exploite ici la division euclidienne : tout entier peut être classé selon un nombre fini de restes possibles. En étudiant séparément ces formes, on obtient une conclusion valable pour tous les entiers, sans utiliser de résultat extérieur au chapitre.

Dans la division par \(3\), les restes possibles sont

\[\boxed{0,1,2}.\]

Question 2 — Montrer que parmi \(p\), \(p+10\) et \(p+20\), l’un est divisible par \(3\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(10=3\times3+1\) et \(20=3\times6+2\), les trois nombres \[p,\ p+10,\ p+20\] ont des restes différents dans la division par \(3\). L’un d’eux est donc divisible par \(3\).

Question 3 — Pourquoi un nombre premier divisible par \(3\) est-il nécessairement égal à \(3\) ?

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

Un nombre premier divisible par \(3\) ne peut être que

\[\boxed{3}.\]

Question 4 — En déduire la valeur de \(p\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Les nombres \(p+10\) et \(p+20\) sont strictement supérieurs à \(p\). Ils ne peuvent donc pas être égaux à \(3\) si \(p\) est naturel premier. Ainsi le nombre divisible par \(3\) est \(p\), d’où

\[\boxed{p=3}.\]

Question 5 — Vérifier que les trois nombres correspondants sont effectivement premiers.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — nombre premier.

Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.

On obtient \[3,13,23.\] Les nombres \(13\) et \(23\) ne sont divisibles par aucun nombre premier inférieur ou égal à leur racine carrée ; ils sont donc premiers. Ainsi la condition est vérifiée.

MATHS PARCOURS MAROC