Correction détaillée des exercices 22 à 27 — Arithmétique dans ℤ — Théorème de Bézout et théorème de Gauss — Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 22 à 27 — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

Les exercices 22 à 27 mettent en pratique Bézout et Gauss. Les premiers demandent des identités qui prouvent la coprimalité pour tout entier \(n\) ; les suivants utilisent cette coprimalité pour paramétrer des solutions ou réunir deux divisibilités.

La méthode ne s’arrête pas à l’introduction d’un paramètre : il faut traduire les bornes, vérifier les fractions définies et prouver la réciproque. Le texte imprimé de l’équation \((E_2)\) de l’exercice 24 est respecté, avec son analyse explicite, afin de ne pas modifier le problème sans le signaler.

Repères de cours — Bézout, Gauss et paramétrage entier

Deux entiers \(a,b\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe \(u,v\in\mathbb Z\) tels que \(ua+vb=1\). Exhiber cette identité suffit à prouver le PGCD \(1\) ; il faut que les coefficients soient entiers pour toutes les valeurs du paramètre.

Si \(\gcd(r,s)=1\) et \(rx=sy\), avec \(r,s\) non nuls, Gauss donne \(x=sk\) et \(y=rk\) pour un entier \(k\). Les contraintes de signe et d’encadrement se reportent ensuite sur \(k\).

Lorsque \(\gcd(r,s)=1\), les conditions \(r\mid N\) et \(s\mid N\) équivalent à \(rs\mid N\). Pour une égalité de fractions, vérifier les dénominateurs avant le produit en croix. Pour une recherche de couples, contrôler que chaque couple paramétré satisfait toutes les conditions initiales.

22 23 24 25 26 27

Exercice 22

Objectif et méthode — Exercice 22

Chercher une combinaison des deux nombres qui vaut exactement \(1\), plutôt que de lancer un algorithme numérique avec le paramètre \(n\). Les expressions affines se traitent par élimination ; les expressions polynomiales par une division ou une soustraction bien choisie. Les coefficients peuvent dépendre de \(n\), mais doivent être entiers pour chaque \(n\in\mathbb N\).

Énoncé

En utilisant le théorème de Bézout, montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ \begin{aligned} 1)&\quad n\wedge(2n+1)=1,\\ 2)&\quad (2n+3)\wedge(3n+5)=1,\\ 3)&\quad n\wedge(n^3+1)=1,\\ 4)&\quad (7n+2)\wedge(11n+3)=1,\\ 5)&\quad (n+2)\wedge(2n^2+4n+1)=1. \end{aligned} \]

Question 1 \[ n\wedge(2n+1)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Théorème de Bézout. Pour montrer que deux entiers sont premiers entre eux, il suffit d’obtenir une combinaison linéaire entière égale à \(1\).

Or :

\[ (2n+1)-2n=1. \]

Ainsi, \(1\) est une combinaison linéaire de \(n\) et \(2n+1\).

Donc \[ \boxed{n\wedge(2n+1)=1}. \]

Question 2 \[ (2n+3)\wedge(3n+5)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On remarque que :

\[ 2(3n+5)-3(2n+3)=1. \]

D’après le théorème de Bézout, \(1\) est une combinaison linéaire de \(2n+3\) et \(3n+5\).

Par conséquent, \[ \boxed{(2n+3)\wedge(3n+5)=1}. \]

Question 3 \[ n\wedge(n^3+1)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ (n^3+1)-n^2\times n=1. \]

Le nombre \(1\) est donc une combinaison linéaire de \(n\) et \(n^3+1\).

D’après le théorème de Bézout, \[ \boxed{n\wedge(n^3+1)=1}. \]

Question 4 \[ (7n+2)\wedge(11n+3)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On obtient :

\[ 11(7n+2)-7(11n+3)=1. \]

D’après le théorème de Bézout, les deux entiers sont premiers entre eux.

Donc \[ \boxed{(7n+2)\wedge(11n+3)=1}. \]

Question 5 \[ (n+2)\wedge(2n^2+4n+1)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme :

\[ (2n^2+4n+1)-2n(n+2)=1, \]

le nombre \(1\) est une combinaison linéaire de \(n+2\) et \(2n^2+4n+1\).

D’après le théorème de Bézout, \[ \boxed{(n+2)\wedge(2n^2+4n+1)=1}. \]

Exercice 23

Objectif et méthode — Exercice 23

Dans la première question, faire apparaître \(n(n+4)+1\). Dans la seconde, développer les puissances demandées afin d’organiser une combinaison de \(A=(n^2+1)^2\) et \(B=n^4+3n^2+3\) qui vaut \(1\). Une identité de Bézout vérifiée pour tout \(n\) prouve directement la coprimalité, sans recherche de diviseurs.

Question 1

Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ (n^2+4n+1)\wedge(n+4)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On remarque que :

\[ n^2+4n+1=n(n+4)+1. \]

D’où :

\[ (n^2+4n+1)-n(n+4)=1. \]

D’après le théorème de Bézout, \(1\) est une combinaison linéaire des deux nombres.

\[ \boxed{(n^2+4n+1)\wedge(n+4)=1}. \]

Question 2.a

Développer :

\[ (n^2+1)^2 \qquad\text{et}\qquad (n^2+1)^3. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On obtient :

\[ (n^2+1)^2 = n^4+2n^2+1. \]

Et :

\[ (n^2+1)^3 = n^6+3n^4+3n^2+1. \]

\[ \boxed{ (n^2+1)^2=n^4+2n^2+1 } \] et \[ \boxed{ (n^2+1)^3=n^6+3n^4+3n^2+1 }. \]

Question 2.b

En déduire, à l’aide du théorème de Bézout, que :

\[ (\forall n\in\mathbb N)\quad (n^4+2n^2+1)\wedge(n^4+3n^2+3)=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Repère méthodologique. Les développements précédents ont été demandés afin de faire apparaître directement une combinaison linéaire égale à \(1\).

Posons :

\[ A=n^4+2n^2+1 \] et \[ B=n^4+3n^2+3. \]

D’après la question précédente :

\[ (n^2+1)A = n^6+3n^4+3n^2+1. \] D’autre part : \[ n^2B = n^6+3n^4+3n^2. \]

Par conséquent :

\[ (n^2+1)A-n^2B=1. \]

D’après le théorème de Bézout, \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.

\[ \boxed{ (n^4+2n^2+1)\wedge(n^4+3n^2+3)=1 }. \]

Exercice 24

Objectif et méthode — Exercice 24

Appliquer Gauss aux égalités de deux produits avec coefficients premiers entre eux, puis introduire un seul paramètre entier. Pour les bornes sur \(\alpha\) et \(\beta\), intersecter les deux intervalles autorisés pour ce paramètre. Lire attentivement \((E_2)\) : le texte imprimé utilise deux fois \(x\), et conduit à \(x=-1/3\). Cette équation n’a donc aucune solution entière avec son écriture actuelle.

Question 1

Déterminer \((a;b)\in\mathbb Z^2\) sachant :

\[ 3a=2b. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La relation donne :

\[ 3a=2b. \]

Ainsi :

\[ 3/(2b). \]

Théorème de Gauss. Comme \[ 3/(2b) \qquad\text{et}\qquad 3\wedge2=1, \] le théorème de Gauss donne \[ 3/b. \]

Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :

\[ b=3k. \]

En remplaçant dans \(3a=2b\) :

\[ 3a=6k, \] d’où : \[ a=2k. \]

Réciproquement, ces couples vérifient bien \(3a=2b\).

\[ \boxed{ (a;b)=(2k;3k), \qquad k\in\mathbb Z }. \]

Question 2 — \((E_1)\)

Résoudre dans \(\mathbb Z^2\) :

\[ (E_1):\quad 7x=5y. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ 7/(5y). \]

Comme :

\[ 7\wedge5=1, \]

le théorème de Gauss donne :

\[ 7/y. \]

Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que \(y=7k\). La relation \(7x=5y\) donne alors :

\[ x=5k. \]

\[ \boxed{ (x;y)=(5k;7k), \qquad k\in\mathbb Z }. \]

Question 2 — \((E_2)\)

Résoudre dans \(\mathbb Z^2\) :

\[ (E_2):\quad 5(x-1)=2(x-3). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On développe :

\[ 5x-5=2x-6. \] Donc : \[ 3x=-1. \] D’où : \[ x=-\frac13. \]

Or \(x\) doit être un entier relatif. Cette valeur n’appartient pas à \(\mathbb Z\).

L’équation \((E_2)\) n’admet donc aucune solution dans \(\mathbb Z^2\) : \[ \boxed{\varnothing}. \]

Question 3

Trouver \((\alpha;\beta)\in\mathbb Z^2\) tel que :

\[ 4(\alpha-1)=7(\beta+2) \] avec : \[ -20\le\alpha\le21 \qquad\text{et}\qquad -34\le\beta\le25. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ 4(\alpha-1)=7(\beta+2). \]

Donc :

\[ 7/4(\alpha-1). \]

Comme \(7\wedge4=1\), le théorème de Gauss donne :

\[ 7/(\alpha-1). \]

Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :

\[ \alpha-1=7k. \] D’où : \[ \alpha=7k+1. \]

En remplaçant dans la relation initiale :

\[ \beta+2=4k, \] donc : \[ \beta=4k-2. \]

La première condition donne :

\[ -20\le7k+1\le21, \] d’où : \[ -3\le k\le2. \]

La deuxième condition est satisfaite pour toutes ces valeurs de \(k\). Ainsi :

\[ k\in\{-3;-2;-1;0;1;2\}. \]

Les couples cherchés sont : \[ \boxed{ \{ (-20;-14); (-13;-10); (-6;-6); (1;-2); (8;2); (15;6) \} }. \]

Exercice 25

Objectif et méthode — Exercice 25

Réduire l’équation modulo \(3\) pour obtenir une divisibilité de \(y\), puis modulo \(7\) pour obtenir une divisibilité de \(x-z\). Les simplifications sont justifiées par Gauss et les PGCD des coefficients. Leur produit donne alors un facteur \(21\) dans \(y(x-z)\).

Énoncé

Soit \((x;y;z)\in\mathbb N^3\) tel que :

\[ 3x-7y-24z=0. \]

En utilisant le théorème de Gauss, montrer que \(21\) divise \(y(x-z)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Repère méthodologique. On transforme d’abord l’égalité afin de faire apparaître successivement un multiple de \(3\), puis un multiple de \(7\).

La relation :

\[ 3x-7y-24z=0 \] donne : \[ 3(x-8z)=7y. \]

On a donc :

\[ 3/(7y). \]

Comme \[ 3\wedge7=1, \] le théorème de Gauss donne :

\[ 3/y. \]

D’autre part :

\[ 7/\bigl(3(x-8z)\bigr). \]

Comme \[ 7\wedge3=1, \] le théorème de Gauss donne :

\[ 7/(x-8z). \]

Or :

\[ x-z=(x-8z)+7z. \]

Donc :

\[ 7/(x-z). \]

Il existe ainsi \(p,q\in\mathbb Z\) tels que :

\[ y=3p \qquad\text{et}\qquad x-z=7q. \] Par conséquent : \[ y(x-z) = 3p\times7q = 21pq. \]

\[ \boxed{21/y(x-z)}. \]

Exercice 26

Objectif et méthode — Exercice 26

Soustraire \(5\) : \(n-5\) est divisible par \(139\) et \(140\). Ces deux entiers sont consécutifs, donc premiers entre eux ; leur produit divise \(n-5\). Écrire \(n=5+19460k\), puis utiliser simultanément \(0\leq n\leq100000\) pour obtenir la liste complète des valeurs.

Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que :

\[ n\le10^5 \] et : \[ n\equiv5[139] \qquad\text{et}\qquad n\equiv5[140]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La première congruence donne :

\[ 139/(n-5). \]

La deuxième donne :

\[ 140/(n-5). \]

Comme \(139\) et \(140\) sont deux entiers consécutifs :

\[ 139\wedge140=1. \]

Par conséquent :

\[ 139\vee140 = 139\times140 = 19460. \]

Comme \(139\) et \(140\) divisent tous les deux \(n-5\), leur PPCM divise \(n-5\). Ainsi :

\[ 19460/(n-5). \]

Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :

\[ n=5+19460k. \]

Comme \(n\in\mathbb N\), on doit avoir \(k\ge0\). De plus :

\[ 5+19460k\le100000. \] D’où : \[ 19460k\le99995. \] Ainsi : \[ k\le5. \]

Par conséquent :

\[ k\in\{0;1;2;3;4;5\}. \]

On obtient successivement :

\[ \begin{aligned} k=0&\Longrightarrow n=5,\\ k=1&\Longrightarrow n=19465,\\ k=2&\Longrightarrow n=38925,\\ k=3&\Longrightarrow n=58385,\\ k=4&\Longrightarrow n=77845,\\ k=5&\Longrightarrow n=97305. \end{aligned} \]

Les entiers naturels cherchés sont : \[ \boxed{ \{5;19465;38925;58385;77845;97305\} }. \]

Exercice 27

Objectif et méthode — Exercice 27

Vérifier d’abord que les quotients sont définis, puis effectuer le produit en croix. L’égalité obtenue se simplifie en \(4y=5x\), ce qui impose \((x,y)=(4k,5k)\). La condition \(\gcd(x,y)=1\) détermine \(k\). Terminer par une vérification dans l’égalité de fractions initiale.

Énoncé

Déterminer dans \(\mathbb N^2\) tous les couples \((x;y)\) tels que :

\[ \frac{x+12}{y+15} = \frac{x}{y} \] et : \[ x\wedge y=1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme le quotient \(\dfrac{x}{y}\) est défini, on a \(y\ne0\).

La première relation donne :

\[ y(x+12)=x(y+15). \] En développant : \[ xy+12y=xy+15x. \] Donc : \[ 12y=15x. \] En divisant par \(3\) : \[ 4y=5x. \]

Ainsi :

\[ 4/(5x). \]

Théorème de Gauss. Comme \[ 4/(5x) \qquad\text{et}\qquad 4\wedge5=1, \] on obtient : \[ 4/x. \]

Il existe donc \(k\in\mathbb N^*\) tel que :

\[ x=4k. \]

La relation \(4y=5x\) donne alors :

\[ y=5k. \]

Par conséquent :

\[ x\wedge y = (4k)\wedge(5k) = k(4\wedge5) = k. \]

Or l’énoncé impose :

\[ x\wedge y=1. \] Donc : \[ k=1. \] Ainsi : \[ x=4 \qquad\text{et}\qquad y=5. \]

Réciproquement :

\[ \frac{4+12}{5+15} = \frac{16}{20} = \frac45 \] et : \[ 4\wedge5=1. \]

Le seul couple cherché est : \[ \boxed{(x;y)=(4;5)}. \]

↑ Retour au menu principalTous les exercices d’arithmétique — Al Moufid

Note : Ce site est une ressource pédagogique indépendante et n'est pas affilié aux éditeurs du manuel Al Moufid.