Correction détaillée des exercices 28 à 32 — Arithmétique dans Z — L’ensemble Z/nZ — Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 28 à 32 — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques · L’ensemble \(\mathbb Z/n\mathbb Z\)

Les exercices 28 à 32 portent sur les équations dans ℤ/nℤ et leur traduction en congruences dans ℤ. Les modules premiers permettent l’usage des inverses et de la règle du produit nul ; les modules composés demandent davantage de prudence.

La série fait comparer les méthodes : factorisation, élimination, table complète des classes et étude modulo une puissance de nombre premier. Elle montre notamment qu’une équation quadratique peut avoir plus de deux solutions lorsque le module est composé. Le retour aux entiers exige enfin de décrire toutes les familles de solutions.

Repères de cours — Classes, inverses et modules composés

Pour \(n\geq2\), dans \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), chaque classe possède un représentant parmi \(0,1,\ldots,n-1\). La classe de \(a\) est inversible si et seulement si \(\gcd(a,n)=1\). Une identité de Bézout fournit alors l’inverse modulo \(n\).

Si \(p\) est premier, \(\overline u\,\overline v=\overline0\) implique \(\overline u=\overline0\) ou \(\overline v=\overline0\). Cette règle ne vaut pas en général pour un module composé : modulo \(6\), les classes non nulles de \(2\) et \(3\) ont un produit nul.

Une classe solution modulo \(n\) donne une famille \(x=nk+r\) dans \(\mathbb Z\). Une table portant sur toutes les classes peut prouver l’exhaustivité. Pour \(p\) premier, \(p^2\mid a^2\) équivaut à \(p\mid a\), d’où \(p\) classes solutions de \(x^2=\overline0\) modulo \(p^2\).

28 29 30 31 32

Exercice 28

Objectif et méthode — Exercice 28

Dans les modules premiers \(5\) et \(7\), chercher les inverses des coefficients, puis factoriser les polynômes lorsque cela simplifie l’équation. Dans les modules composés \(8\) et \(6\), tester toutes les classes pour obtenir une liste exhaustive. Ne jamais utiliser la règle du produit nul sans justifier que l’anneau considéré n’a pas de diviseurs de zéro.

Énoncé

Résoudre les équations suivantes :

\[ \begin{aligned} 1)&\quad x\in\mathbb Z/5\mathbb Z \ ;\ \overline3x=\overline1,\\[1mm] 2)&\quad x\in\mathbb Z/7\mathbb Z \ ;\ \overline5x=\overline2,\\[1mm] 3)&\quad x\in\mathbb Z/7\mathbb Z \ ;\ \overline6x^2+\overline4=\overline0,\\[1mm] 4)&\quad x\in\mathbb Z/8\mathbb Z \ ;\ \overline5x^2+x-\overline4=\overline0,\\[1mm] 5)&\quad x\in\mathbb Z/6\mathbb Z \ ;\ (\overline4x+\overline5)(\overline2x+\overline3)=\overline0,\\[1mm] 6)&\quad x\in\mathbb Z/7\mathbb Z \ ;\ x^3=\overline5x^2-\overline4. \end{aligned} \]

Question 1 \[ \overline3x=\overline1 \qquad\text{dans }\mathbb Z/5\mathbb Z. \]

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Propriété utilisée. Comme \(5\) est premier, toute classe non nulle de \(\mathbb Z/5\mathbb Z\) admet un inverse.

On a :

\[ \overline3\,\overline2 = \overline6 = \overline1. \]

Ainsi, \(\overline2\) est l’inverse de \(\overline3\). En multipliant l’égalité par \(\overline2\), on obtient :

\[ x=\overline2. \]

\[ \boxed{S=\{\overline2\}}. \]

Question 2 \[ \overline5x=\overline2 \qquad\text{dans }\mathbb Z/7\mathbb Z. \]

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On remarque que :

\[ \overline5\,\overline3 = \overline{15} = \overline1. \]

Donc \(\overline3\) est l’inverse de \(\overline5\). Par conséquent :

\[ x = \overline3\,\overline2 = \overline6. \]

\[ \boxed{S=\{\overline6\}}. \]

Question 3 \[ \overline6x^2+\overline4=\overline0 \qquad\text{dans }\mathbb Z/7\mathbb Z. \]

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L’équation équivaut à :

\[ \overline6x^2 = -\overline4 = \overline3. \]

Or :

\[ \overline6\,\overline6 = \overline{36} = \overline1. \]

Ainsi, l’inverse de \(\overline6\) est \(\overline6\). On obtient :

\[ x^2 = \overline6\,\overline3 = \overline{18} = \overline4. \] Donc : \[ x^2-\overline4=\overline0. \] D’où : \[ (x-\overline2)(x+\overline2)=\overline0. \]

Théorème 17. Comme \(7\) est premier, un produit de deux classes est nul si et seulement si l’une des deux classes est nulle.

Ainsi : \[ x=\overline2 \qquad\text{ou}\qquad x=-\overline2=\overline5. \]

\[ \boxed{S=\{\overline2;\overline5\}}. \]

Question 4 \[ \overline5x^2+x-\overline4=\overline0 \qquad\text{dans }\mathbb Z/8\mathbb Z. \]

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Repère méthodologique. Comme \(8\) n’est pas premier, on travaille directement avec les huit éléments de \(\mathbb Z/8\mathbb Z\), comme dans les exemples du cours.

Posons :

\[ P(x)=\overline5x^2+x-\overline4. \]

\(x\)	\(\overline0\)	\(\overline1\)	\(\overline2\)	\(\overline3\)	\(\overline4\)	\(\overline5\)	\(\overline6\)	\(\overline7\)
\(P(x)\)	\(\overline4\)	\(\overline2\)	\(\overline2\)	\(\overline4\)	\(\overline0\)	\(\overline6\)	\(\overline6\)	\(\overline0\)

Les seules valeurs pour lesquelles \(P(x)=\overline0\) sont \(\overline4\) et \(\overline7\).

\[ \boxed{S=\{\overline4;\overline7\}}. \]

Question 5 \[ (\overline4x+\overline5) (\overline2x+\overline3) = \overline0 \qquad\text{dans }\mathbb Z/6\mathbb Z. \]

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Attention. Le nombre \(6\) n’est pas premier. On ne peut donc pas affirmer qu’un produit nul entraîne nécessairement qu’un des deux facteurs est nul.

Posons :

\[ Q(x) = (\overline4x+\overline5) (\overline2x+\overline3). \]

On calcule \(Q(x)\) pour les six classes de \(\mathbb Z/6\mathbb Z\).

\(x\)	\(\overline0\)	\(\overline1\)	\(\overline2\)	\(\overline3\)	\(\overline4\)	\(\overline5\)
\(Q(x)\)	\(\overline3\)	\(\overline3\)	\(\overline1\)	\(\overline3\)	\(\overline3\)	\(\overline1\)

Aucune de ces valeurs n’est égale à \(\overline0\).

\[ \boxed{S=\varnothing}. \]

Question 6 \[ x^3=\overline5x^2-\overline4 \qquad\text{dans }\mathbb Z/7\mathbb Z. \]

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On écrit l’équation sous la forme :

\[ x^3-\overline5x^2+\overline4=\overline0. \]

Or, dans \(\mathbb Z/7\mathbb Z\) :

\[ \begin{aligned} (x-\overline1)^2(x-\overline3) &= x^3-\overline5x^2+\overline7x-\overline3\\ &= x^3-\overline5x^2+\overline4. \end{aligned} \]

L’équation devient donc :

\[ (x-\overline1)^2(x-\overline3)=\overline0. \]

Comme \(7\) est premier, le théorème 17 donne :

\[ x-\overline1=\overline0 \qquad\text{ou}\qquad x-\overline3=\overline0. \]

\[ \boxed{S=\{\overline1;\overline3\}}. \]

Exercice 29

Objectif et méthode — Exercice 29

Éliminer une inconnue comme dans un système ordinaire, mais réduire chaque coefficient modulo \(5\) après multiplication ou soustraction. Une division est remplacée par la multiplication par un inverse. Vérifier le couple de classes obtenu dans les deux équations, et non seulement dans la dernière équation transformée.

Énoncé

Résoudre dans \((\mathbb Z/5\mathbb Z)^2\) les systèmes suivants :

\[ \begin{cases} \overline3x+\overline2y=\overline1\\ \overline2x+\overline4y=\overline3 \end{cases} \qquad ; \qquad \begin{cases} \overline2x+\overline7y=\overline3\\ x+\overline4y=\overline2 \end{cases} \]

Premier système \[ \begin{cases} \overline3x+\overline2y=\overline1\\ \overline2x+\overline4y=\overline3 \end{cases} \]

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Repère méthodologique. On procède par élimination, comme pour un système usuel, mais tous les calculs sont effectués dans \(\mathbb Z/5\mathbb Z\).

On multiplie la première équation par \(\overline2\) :

\[ \overline6x+\overline4y=\overline2. \] Comme : \[ \overline6=\overline1, \] on obtient : \[ x+\overline4y=\overline2. \]

En soustrayant cette égalité de la deuxième équation :

\[ \overline2x+\overline4y - (x+\overline4y) = \overline3-\overline2. \] D’où : \[ x=\overline1. \]

En remplaçant dans la première équation :

\[ \overline3+\overline2y=\overline1. \] Donc : \[ \overline2y=\overline3. \] Or : \[ \overline2\,\overline3=\overline1. \] Ainsi : \[ y = \overline3\,\overline3 = \overline9 = \overline4. \]

\[ \boxed{(x;y)=(\overline1;\overline4)}. \]

Deuxième système \[ \begin{cases} \overline2x+\overline7y=\overline3\\ x+\overline4y=\overline2 \end{cases} \]

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Dans \(\mathbb Z/5\mathbb Z\) :

\[ \overline7=\overline2. \]

Le système devient :

\[ \begin{cases} \overline2x+\overline2y=\overline3\\ x+\overline4y=\overline2. \end{cases} \]

On multiplie la deuxième équation par \(\overline2\) :

\[ \overline2x+\overline8y=\overline4. \] Comme : \[ \overline8=\overline3, \] on obtient : \[ \overline2x+\overline3y=\overline4. \]

En soustrayant la première équation :

\[ y=\overline1. \]

En remplaçant dans \(x+\overline4y=\overline2\) :

\[ x+\overline4=\overline2. \] D’où : \[ x=-\overline2=\overline3. \]

\[ \boxed{(x;y)=(\overline3;\overline1)}. \]

Exercice 30

Objectif et méthode — Exercice 30

Pour le système modulo \(8\), remplacer \(x\) par \(3y\), puis étudier les huit classes possibles : on ne peut pas simplifier par \(4\) comme s’il était inversible. Pour la seconde question, combiner directement les deux expressions et obtenir la constante \(-4\). Observer aussi que le signe devant \(6b\) diffère du signe du système de la première question : les deux problèmes doivent être traités tels qu’ils sont écrits.

Question 1

Résoudre dans \((\mathbb Z/8\mathbb Z)^2\) le système suivant :

\[ \begin{cases} \overline2x+\overline6y=\overline4\\ x-\overline3y=\overline0. \end{cases} \]

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La deuxième équation donne directement :

\[ x=\overline3y. \]

En remplaçant dans la première équation :

\[ \overline2(\overline3y)+\overline6y = \overline4. \] Ainsi : \[ \overline{12}y=\overline4. \] Or : \[ \overline{12}=\overline4. \] Donc : \[ \overline4y=\overline4. \]

Dans \(\mathbb Z/8\mathbb Z\), cette égalité est vérifiée exactement lorsque \(y\) est l’une des classes :

\[ \overline1,\quad \overline3,\quad \overline5,\quad \overline7. \]

Comme \(x=\overline3y\), on obtient successivement :

\[ \begin{aligned} y=\overline1&\Longrightarrow x=\overline3,\\ y=\overline3&\Longrightarrow x=\overline1,\\ y=\overline5&\Longrightarrow x=\overline7,\\ y=\overline7&\Longrightarrow x=\overline5. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ S= \{ (\overline3;\overline1); (\overline1;\overline3); (\overline7;\overline5); (\overline5;\overline7) \} }. \]

Question 2

Trouver tous les couples \((a;b)\in\mathbb Z^2\) tels que les nombres

\[ 2a-6b-4 \]

et

\[ a-3b \]

soient divisibles à la fois par \(8\).

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Repère méthodologique. Il est inutile de chercher les couples un à un. On combine les deux expressions afin d’obtenir une constante.

Supposons qu’un couple \((a;b)\) convienne.

Alors :

\[ 8/(2a-6b-4) \] et : \[ 8/(a-3b). \]

Par conséquent, \(8\) divise aussi la combinaison :

\[ (2a-6b-4)-2(a-3b). \] Or : \[ (2a-6b-4)-2(a-3b)=-4. \]

On devrait donc avoir :

\[ 8/(-4), \]

ce qui est impossible.

Il n’existe donc aucun couple : \[ \boxed{S=\varnothing}. \]

Exercice 31

Objectif et méthode — Exercice 31

Réduire les coefficients modulo le module, résoudre l’équation de classes, puis revenir à tous les entiers. Une seule classe \(\overline r\) modulo \(m\) correspond à \(x=mk+r\), \(k\in\mathbb Z\). Pour l’équation quadratique modulo \(7\), la factorisation donne deux familles ; vérifier qu’elles sont toutes deux conservées.

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb Z\) ce qui suit :

\[ 1)\quad8x\equiv1[5] \qquad ; \qquad 2)\quad x^2\equiv4[7] \qquad ; \qquad 3)\quad4x\equiv1[3]. \]

Question 1 \[ 8x\equiv1[5]. \]

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Comme :

\[ 8\equiv3[5], \] l’équation équivaut à : \[ 3x\equiv1[5]. \]

Avant de multiplier, on vérifie l’inversibilité de \(3\) suivant \(5\) :

\[ 3\wedge5=1. \] De plus : \[ 3\times2\equiv1[5]. \]

On multiplie donc les deux membres par \(2\) :

\[ x\equiv2[5]. \]

\[ \boxed{x=5k+2,\qquad k\in\mathbb Z}. \]

Question 2 \[ x^2\equiv4[7]. \]

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On a :

\[ x^2-4\equiv0[7]. \] Donc : \[ (x-2)(x+2)\equiv0[7]. \]

Comme \(7\) est premier :

\[ 7/(x-2) \qquad\text{ou}\qquad 7/(x+2). \] Ainsi : \[ x\equiv2[7] \qquad\text{ou}\qquad x\equiv-2[7]. \] Comme : \[ -2\equiv5[7], \] on obtient :

\[ \boxed{ x\equiv2[7] \quad\text{ou}\quad x\equiv5[7] }. \] C’est-à-dire : \[ \boxed{ x=7k+2 \quad\text{ou}\quad x=7k+5, \qquad k\in\mathbb Z }. \]

Question 3 \[ 4x\equiv1[3]. \]

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Comme :

\[ 4\equiv1[3], \] on obtient directement : \[ x\equiv1[3]. \]

\[ \boxed{x=3k+1,\qquad k\in\mathbb Z}. \]

Exercice 32

Objectif et méthode — Exercice 32

Pour \(x^2=0\) modulo \(p^2\), utiliser la primalité de \(p\) pour montrer que le représentant de \(x\) est multiple de \(p\), puis prouver la réciproque. Compléter ensuite le carré dans l’équation modulo \(49\). Dans la dernière question, une condition obtenue modulo \(3\) doit être remplacée dans l’expression initiale pour vérifier qu’elle suffit aussi modulo \(9\).

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier.

1) Résoudre dans \(\mathbb Z/p^2\mathbb Z\) l’équation :

\[ x^2=\overline0. \]

2) Résoudre dans \(\mathbb Z/49\mathbb Z\) l’équation :

\[ x^2+\overline{16}x+\overline{15}=\overline0. \]

3) Résoudre dans \(\mathbb Z\) l’équation :

\[ 4x^2-2x-2\equiv0[9]. \]

Question 1 \[ x^2=\overline0 \qquad\text{dans }\mathbb Z/p^2\mathbb Z. \]

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Soit \(a\in\mathbb Z\) un représentant de la classe \(x\). Alors :

\[ x^2=\overline0 \] équivaut à : \[ p^2/a^2. \]

En particulier :

\[ p/a^2. \]

Comme \(p\) est premier, \(p/a^2\) entraîne :

\[ p/a. \]

Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :

\[ a=pk. \]

Réciproquement, si \(a=pk\), alors :

\[ a^2=p^2k^2, \] donc : \[ p^2/a^2. \]

Deux valeurs de \(k\) congrues suivant \(p\) donnent la même classe suivant \(p^2\). On peut donc prendre :

\[ k\in\{0;1;\ldots;p-1\}. \]

\[ \boxed{ S= \{ \overline0; \overline p; \overline{2p}; \ldots; \overline{(p-1)p} \} }. \]

Question 2 \[ x^2+\overline{16}x+\overline{15} = \overline0 \qquad\text{dans }\mathbb Z/49\mathbb Z. \]

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Repère méthodologique. La question précédente a précisément été préparée pour traiter une équation de la forme \(X^2=\overline0\) dans \(\mathbb Z/7^2\mathbb Z\).

On remarque que :

\[ x^2+\overline{16}x+\overline{15} = (x+\overline8)^2-\overline{49}. \]

Dans \(\mathbb Z/49\mathbb Z\), \(\overline{49}=\overline0\). L’équation devient donc :

\[ (x+\overline8)^2=\overline0. \]

D’après la question 1, avec \(p=7\) :

\[ x+\overline8 \in \{ \overline0; \overline7; \overline{14}; \overline{21}; \overline{28}; \overline{35}; \overline{42} \}. \]

En soustrayant \(\overline8\) :

\[ x \in \{ \overline{-8}; \overline{-1}; \overline6; \overline{13}; \overline{20}; \overline{27}; \overline{34} \}. \] Or : \[ \overline{-8}=\overline{41} \qquad\text{et}\qquad \overline{-1}=\overline{48}. \]

\[ \boxed{ S= \{ \overline6; \overline{13}; \overline{20}; \overline{27}; \overline{34}; \overline{41}; \overline{48} \} }. \]

Question 3 \[ 4x^2-2x-2\equiv0[9]. \]

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Si

\[ 4x^2-2x-2\equiv0[9], \]

alors cette expression est aussi divisible par \(3\). On obtient donc :

\[ 4x^2-2x-2\equiv0[3]. \] Or : \[ 4x^2-2x-2 \equiv x^2+x+1 [3]. \] Mais : \[ x^2+x+1 \equiv (x-1)^2 [3]. \] Ainsi : \[ (x-1)^2\equiv0[3]. \]

Comme \(3\) est premier :

\[ x-1\equiv0[3]. \] Donc : \[ x\equiv1[3]. \]

Il reste à vérifier que cette condition est suffisante. Posons :

\[ x=3k+1, \qquad k\in\mathbb Z. \] Alors : \[ \begin{aligned} 4x^2-2x-2 &= 4(3k+1)^2-2(3k+1)-2\\ &= 36k^2+18k\\ &= 18k(2k+1). \end{aligned} \]

Cette expression est divisible par \(9\). La condition est donc suffisante.

\[ \boxed{x\equiv1[3]}. \] C’est-à-dire : \[ \boxed{x=3k+1,\qquad k\in\mathbb Z}. \]

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