Correction détaillée des exercices 36 à 44 — Arithmétique dans Z — Applications du théorème de Fermat — Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 36 à 44 — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques · Applications du théorème de Fermat

Les exercices 36 à 44 appliquent le petit théorème de Fermat à des puissances, à des critères de divisibilité et à des impossibilités d’équations entières. Les grands exposants se réduisent à de petits calculs, à condition de choisir la bonne forme du théorème.

La série apprend aussi à reconstituer un module composé en traitant ses facteurs séparément et à obtenir une divisibilité par \(p^2\) au moyen d’une factorisation. Dans l’exercice 44, la rectification « ou » est indispensable : les deux signes représentent des possibilités, et non deux égalités simultanées.

Repères de cours — Petit théorème de Fermat et recomposition des modules

Si \(p\) est premier, alors \(a^p\equiv a\pmod p\) pour tout \(a\in\mathbb Z\). Si, de plus, \(p\nmid a\), on a \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\). La première forme accepte une base divisible par \(p\), la seconde l’exclut.

Avec une base première à \(p\), on peut réduire les exposants modulo \(p-1\). Avec un module composé, traiter des facteurs premiers entre eux, puis réunir les divisibilités. Être divisible par \(2\) et par \(3\) implique être divisible par \(6\), mais être divisible deux fois par \(p\) ne prouve pas à lui seul la divisibilité par \(p^2\).

Pour établir \(p^2\mid UV\), une méthode consiste à montrer \(p\mid U\) et \(p\mid V\). La factorisation \(a^p-b^p=(a-b)\sum_{j=0}^{p-1}a^{p-1-j}b^j\) permet cette démarche. Pour exclure les solutions d’une équation entière, il suffit de trouver un module où son membre gauche ne peut jamais être congru à zéro.

36 37 38 39 40 41 42 43 44

Exercice 36

Objectif et méthode — Exercice 36

Vérifier la primalité du module et la coprimalité de la base avant d’utiliser \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\). Réduire ensuite l’exposant modulo \(p-1\), en gardant la puissance correspondant au reste. Pour une somme ou une différence, calculer séparément chaque terme. Un calcul de reste se termine par un représentant compris entre \(0\) et \(p-1\).

Question 1

Montrer que :

\[ 2^{349}\equiv2[7] \qquad\text{et}\qquad 8^{2020}\equiv1[11]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Petit théorème de Fermat. Si \(p\) est premier et \(a\wedge p=1\), alors \[ a^{p-1}\equiv1[p]. \]

Comme \(7\) est premier et \(2\wedge7=1\) :

\[ 2^6\equiv1[7]. \]

Or :

\[ 349=6\times58+1. \]

Donc :

\[ 2^{349} = (2^6)^{58}\times2 \equiv2[7]. \]

De même, \(11\) est premier et \(8\wedge11=1\), donc :

\[ 8^{10}\equiv1[11]. \]

Comme :

\[ 2020=10\times202, \]

on obtient :

\[ 8^{2020} = (8^{10})^{202} \equiv1[11]. \]

\[ \boxed{ 2^{349}\equiv2[7] \quad\text{et}\quad 8^{2020}\equiv1[11] }. \]

Question 2

Montrer que \(13\) divise \[ 2^{70}+3^{70}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(13\) est premier et que \[ 2\wedge13=3\wedge13=1, \] le petit théorème de Fermat donne :

\[ 2^{12}\equiv1[13] \qquad\text{et}\qquad 3^{12}\equiv1[13]. \]

Or :

\[ 70=12\times5+10. \]

Ainsi :

\[ 2^{70}+3^{70} \equiv 2^{10}+3^{10} [13]. \]

D’autre part :

\[ 2^6=64\equiv-1[13], \] d’où : \[ 2^{10} = 2^6\times2^4 \equiv -16 \equiv10[13]. \]

Et :

\[ 3^3=27\equiv1[13], \] donc : \[ 3^{10} = (3^3)^3\times3 \equiv3[13]. \]

Par conséquent :

\[ 2^{70}+3^{70} \equiv10+3 \equiv0[13]. \]

\[ \boxed{13/(2^{70}+3^{70})}. \]

Question 3

Déterminer le reste de la division euclidienne du nombre \[ 5^{58} \] par \(11\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(11\) est premier et \(5\wedge11=1\), le petit théorème de Fermat donne :

\[ 5^{10}\equiv1[11]. \]

Or :

\[ 58=10\times5+8. \]

Donc :

\[ 5^{58}\equiv5^8[11]. \]

On calcule :

\[ 5^2=25\equiv3[11], \] puis : \[ 5^4\equiv9[11], \] et : \[ 5^8\equiv81\equiv4[11]. \]

Ainsi :

\[ 5^{58}\equiv4[11]. \]

Comme \(0\le4<11\), le reste de la division euclidienne est \(4\).

\[ \boxed{4}. \]

Question 4

Montrer que \[ 2018^{2010}-4 \] est divisible par \(5\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ 2018\equiv3[5]. \]

Comme \(5\) est premier et \(3\wedge5=1\), le petit théorème de Fermat donne :

\[ 3^4\equiv1[5]. \]

Or :

\[ 2010=4\times502+2. \]

Donc :

\[ 2018^{2010} \equiv 3^{2010} \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv4[5]. \]

D’où :

\[ 2018^{2010}-4\equiv0[5]. \]

\[ \boxed{5/(2018^{2010}-4)}. \]

Exercice 37

Objectif et méthode — Exercice 37

La base de la puissance est \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), et non \(x\). L’encadrement strict de \(x\) garantit que ni \(x-1\) ni \(x+1\) n’est divisible par \(p\). Puisque \(p\) est premier, leur produit est premier avec \(p\) : Fermat s’applique alors à cette base.

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier positif et \(x\) un entier tel que :

\[ 1<x<p-1. \]

Montrer que :

\[ (x^2-1)^{p-1}\equiv1[p]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Repère méthodologique. Avant d’appliquer le petit théorème de Fermat sous la forme \[ a^{p-1}\equiv1[p], \] on vérifie que la base est première avec \(p\).

Comme :

\[ 1<x<p-1, \]

on a :

\[ 0<x-1<p \] et : \[ 0<x+1<p. \]

Ainsi, \(p\) ne divise ni \(x-1\), ni \(x+1\). Comme \(p\) est premier, il ne divise donc pas :

\[ (x-1)(x+1)=x^2-1. \]

Par conséquent :

\[ (x^2-1)\wedge p=1. \]

Le petit théorème de Fermat donne alors :

\[ \boxed{(x^2-1)^{p-1}\equiv1[p]}. \]

Exercice 38

Objectif et méthode — Exercice 38

Chercher un petit module qui annule les termes contenant \(y\). Modulo \(3\), l’identité \(x^3\equiv x\) simplifie aussi les termes contenant \(x\) : il reste une constante non nulle. Cette contradiction exclut tous les couples entiers et évite une recherche numérique sans fin.

Énoncé

On considère dans \(\mathbb Z^2\) l’équation \((E)\) suivante :

\[ (E): \quad x^3-3y^3-6y^2-13x+10=0. \]

Montrer que \((E)\) n’admet pas de solution dans \(\mathbb Z^2\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Supposons qu’il existe \[ (x;y)\in\mathbb Z^2 \] vérifiant \((E)\).

Comme \(3\) est premier, le petit théorème de Fermat donne pour tout entier \(x\) :

\[ x^3\equiv x[3]. \]

D’autre part :

\[ -3y^3\equiv0[3], \] \[ -6y^2\equiv0[3], \] \[ -13x\equiv-x[3], \] et : \[ 10\equiv1[3]. \]

Ainsi :

\[ x^3-3y^3-6y^2-13x+10 \equiv x-x+1 \equiv1[3]. \]

Mais l’équation \((E)\) imposerait que cette expression soit congrue à \(0[3]\), ce qui est impossible.

\[ \boxed{ (E)\text{ n’admet aucune solution dans }\mathbb Z^2 }. \]

Exercice 39

Objectif et méthode — Exercice 39

Prouver d’abord la congruence de parité, puis appliquer la forme \(a^p\equiv a\pmod p\), valable pour tout entier \(a\). La différence étudiée est divisible par \(2\) et par \(p\). C’est l’hypothèse \(p>2\) qui autorise la réunion des deux divisibilités en une divisibilité par \(2p\).

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb Z\) et \(p\) un nombre premier tel que :

\[ p>2. \]

Question 1

Montrer que :

\[ n^p\equiv n[2]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(p>2\) est premier, \(p\) est impair.

Si \(n\) est pair, alors \(n^p\) est pair.

Si \(n\) est impair, alors \(n^p\) est impair.

Dans les deux cas, \(n^p\) et \(n\) ont la même parité.

\[ \boxed{n^p\equiv n[2]}. \]

Question 2

En déduire à l’aide du théorème de Fermat que :

\[ (n+1)^p-(n^p+1)\equiv0[2p]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question 1, appliquée à \(n\) et à \(n+1\) :

\[ n^p\equiv n[2] \] et : \[ (n+1)^p\equiv n+1[2]. \]

Donc :

\[ (n+1)^p-(n^p+1)\equiv0[2]. \]

D’autre part, le petit théorème de Fermat donne :

\[ n^p\equiv n[p] \] et : \[ (n+1)^p\equiv n+1[p]. \]

D’où :

\[ (n+1)^p-(n^p+1)\equiv0[p]. \]

Ainsi, \(2\) et \(p\) divisent cette expression. Comme \(p>2\), on a :

\[ 2\wedge p=1. \]

Par conséquent, \(2p\) divise l’expression.

\[ \boxed{ (n+1)^p-(n^p+1)\equiv0[2p] }. \]

Exercice 40

Objectif et méthode — Exercice 40

Pour chaque grand module, le décomposer en facteurs premiers entre eux et établir les congruences séparément. Réutiliser \(n^p\equiv n\pmod p\), puis factoriser les différences de puissances. Pour la divisibilité par \(4\), revenir à la parité de \(n\) : Fermat modulo \(2\) ne suffit pas à lui seul.

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb Z\).

Question 1

Montrer que :

\[ n^7+6n\equiv0[7] \] et : \[ n^7\equiv n[42]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(7\) est premier, le petit théorème de Fermat donne :

\[ n^7\equiv n[7]. \]

Donc :

\[ n^7+6n \equiv 7n \equiv0[7]. \]

En particulier :

\[ n^7\equiv n[7]. \]

D’après l’exercice 39, puisque \(7>2\) est premier :

\[ n^7\equiv n[2]. \]

Enfin, comme \(3\) est premier :

\[ n^3\equiv n[3]. \]

Alors :

\[ n^7 = n(n^3)^2 \equiv n\times n^2 = n^3 \equiv n[3]. \]

Ainsi, \(2\), \(3\) et \(7\) divisent \(n^7-n\). Ces trois nombres sont deux à deux premiers entre eux. Donc \(42\) divise \(n^7-n\).

\[ \boxed{ n^7+6n\equiv0[7] \quad\text{et}\quad n^7\equiv n[42] }. \]

Question 2.a

Montrer que :

\[ n^5-n\equiv0[5]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(5\) est premier, le petit théorème de Fermat donne directement :

\[ \boxed{n^5-n\equiv0[5]}. \]

Question 2.b

En déduire que :

\[ n(n^2-1)(n^2-4)\equiv0[5]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On factorise :

\[ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1). \]

D’après la question 2.a :

\[ n(n^2-1)(n^2+1)\equiv0[5]. \]

Or :

\[ n^2+1\equiv n^2-4[5]. \]

On obtient donc :

\[ \boxed{ n(n^2-1)(n^2-4)\equiv0[5] }. \]

Question 3

Montrer que :

\[ n^2(n^2-1)(n^2+1)\equiv0[60]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons :

\[ N=n^2(n^2-1)(n^2+1). \]

Comme \(3\) est premier, le petit théorème de Fermat donne :

\[ n^3-n = n(n^2-1) \equiv0[3]. \]

Donc :

\[ 3/N. \]

D’après la question 2.a :

\[ n(n^2-1)(n^2+1) = n^5-n \equiv0[5]. \]

En multipliant par \(n\), on obtient :

\[ 5/N. \]

Pour la divisibilité par \(4\), distinguons deux cas.

Si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est divisible par \(4\), donc :

\[ 4/N. \]

Si \(n\) est impair :

\[ n^2\equiv1[4]. \]

Ainsi :

\[ 4/(n^2-1), \]

et donc encore :

\[ 4/N. \]

Ainsi :

\[ 3/N, \qquad 4/N, \qquad 5/N. \]

Comme \(3\), \(4\) et \(5\) sont deux à deux premiers entre eux :

\[ 60/N. \]

\[ \boxed{ n^2(n^2-1)(n^2+1)\equiv0[60] }. \]

Exercice 41

Objectif et méthode — Exercice 41

Comparer le reste de \(2^p\) fourni par l’hypothèse avec celui fourni par Fermat. Leur différence impose que le nombre premier \(p\) divise \(3\), ce qui limite le candidat à \(3\). Vérifier ensuite que ce candidat satisfait effectivement \(p\mid1+2^p\).

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p\) divise :

\[ 1+2^p. \]

Montrer que :

\[ p=3. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

L’hypothèse donne :

\[ 2^p\equiv-1[p]. \]

Mais, comme \(p\) est premier, le petit théorème de Fermat donne également :

\[ 2^p\equiv2[p]. \]

Par conséquent :

\[ 2\equiv-1[p]. \]

Donc :

\[ 3\equiv0[p]. \]

Ainsi :

\[ p/3. \]

Comme \(p\) est premier positif :

\[ \boxed{p=3}. \]

Exercice 42

Objectif et méthode — Exercice 42

Décomposer \(30=2\times3\times5\). Pour chacun de ces modules, séparer le cas où il divise \(a\) du cas où \(a\) est premier avec lui. Dans ce dernier cas, les puissances de \(a^4\) se simplifient par Fermat. Les exposants positifs garantissent aussi le traitement du premier cas. Réunir enfin les trois divisibilités.

Énoncé

Soit \(a,b,c\) et \(d\) des entiers naturels non nuls. À l’aide du théorème de Fermat, montrer que :

\[ a^{4b+d}-a^{4c+d}\equiv0[30]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Repère méthodologique. Comme \[ 30=2\times3\times5, \] on montre séparément la divisibilité par \(2\), par \(3\) et par \(5\).

Posons :

\[ D = a^{4b+d}-a^{4c+d} = a^d\left((a^4)^b-(a^4)^c\right). \]

Suivant \(2\) : si \(2/a\), alors les deux puissances sont congrues à \(0[2]\). Sinon :

\[ a\wedge2=1. \]

Le petit théorème de Fermat donne alors :

\[ a\equiv1[2], \]

d’où :

\[ a^4\equiv1[2]. \]

Dans les deux cas :

\[ D\equiv0[2]. \]

Suivant \(3\) : si \(3/a\), les deux puissances sont congrues à \(0[3]\). Sinon :

\[ a\wedge3=1, \]

et Fermat donne :

\[ a^2\equiv1[3]. \]

Donc :

\[ a^4\equiv1[3]. \]

Ainsi :

\[ D\equiv0[3]. \]

Suivant \(5\) : si \(5/a\), les deux puissances sont congrues à \(0[5]\). Sinon :

\[ a\wedge5=1, \]

et Fermat donne :

\[ a^4\equiv1[5]. \]

Donc :

\[ D\equiv0[5]. \]

Ainsi :

\[ 2/D, \qquad 3/D, \qquad 5/D. \]

Comme \(2\), \(3\) et \(5\) sont deux à deux premiers entre eux :

\[ 30/D. \]

\[ \boxed{ a^{4b+d}-a^{4c+d}\equiv0[30] }. \]

Exercice 43

Objectif et méthode — Exercice 43

Appliquer d’abord Fermat pour transformer l’hypothèse en \(a\equiv b\pmod p\). Factoriser \(a^p-b^p\) par \(a-b\). Le second facteur est une somme de \(p\) termes ayant le même reste modulo \(p\) : les deux facteurs sont donc divisibles par \(p\), ce qui donne \(p^2\) dans leur produit.

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier positif et \[ (a;b)\in\mathbb Z^2. \]

Montrer que si :

\[ a^p\equiv b^p[p], \]

alors :

\[ a^p\equiv b^p[p^2]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(p\) est premier, le petit théorème de Fermat donne :

\[ a^p\equiv a[p] \] et : \[ b^p\equiv b[p]. \]

Or l’hypothèse donne :

\[ a^p\equiv b^p[p]. \]

Donc :

\[ a\equiv b[p]. \]

Ainsi :

\[ p/(a-b). \]

D’autre part :

\[ a^p-b^p = (a-b) \left( a^{p-1} +a^{p-2}b +\cdots +ab^{p-2} +b^{p-1} \right). \]

Comme \[ a\equiv b[p], \] chacun des \(p\) termes de la deuxième parenthèse est congru à \[ b^{p-1}[p]. \]

Par conséquent :

\[ a^{p-1} +a^{p-2}b +\cdots +b^{p-1} \equiv p\,b^{p-1} \equiv0[p]. \]

Le premier facteur \(a-b\) est donc divisible par \(p\), et le deuxième facteur aussi. Leur produit est par conséquent divisible par \(p^2\).

\[ \boxed{ a^p\equiv b^p[p^2] }. \]

Exercice 44

Objectif et méthode — Exercice 44

Dans la première question, lire « ou », comme précisé dans l’énoncé corrigé. Poser \(u=n^{(p-1)/2}\), puis utiliser Fermat pour obtenir \((u-1)(u+1)\equiv0\pmod p\). La primalité de \(p\) donne les deux signes possibles. Pour la seconde question, une puissance paire \(2p\) transforme chacun de ces deux signes en \(1\).

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier positif impair et \[ n\in\mathbb N^* \] tel que :

\[ n\wedge p=1. \]

1) Le manuel imprime :

\[ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p] \quad\text{et}\quad n^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p]. \]

Rectification PMM : remplacer « et » par « ou » entre les deux congruences de la question 1.

2) Montrer que :

\[ n^{p(p-1)}\equiv1[p]. \]

Question 1 — énoncé corrigé \[ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p] \quad\text{ou}\quad n^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(p\) est premier et \[ n\wedge p=1, \] le petit théorème de Fermat donne :

\[ n^{p-1}\equiv1[p]. \]

Posons :

\[ u=n^{\frac{p-1}{2}}. \]

Alors :

\[ u^2 = n^{p-1} \equiv1[p]. \]

D’où :

\[ (u-1)(u+1)\equiv0[p]. \]

Comme \(p\) est premier :

\[ p/\big((u-1)(u+1)\big) \]

entraîne :

\[ p/(u-1) \qquad\text{ou}\qquad p/(u+1). \]

Ainsi :

\[ u\equiv1[p] \qquad\text{ou}\qquad u\equiv-1[p]. \]

\[ \boxed{ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p] \quad\text{ou}\quad n^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p] }. \]

Question 2

Montrer que :

\[ n^{p(p-1)}\equiv1[p]. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question 1 :

\[ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[p] \] ou : \[ n^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1[p]. \]

Dans les deux cas, en élevant à la puissance paire \(2p\), on obtient :

\[ \left( n^{\frac{p-1}{2}} \right)^{2p} \equiv1[p]. \]

Or :

\[ \left( n^{\frac{p-1}{2}} \right)^{2p} = n^{p(p-1)}. \]

\[ \boxed{ n^{p(p-1)}\equiv1[p] }. \]

↑ Retour au menu principalTous les exercices d’arithmétique — Al Moufid

Note : Ce site est une ressource pédagogique indépendante et n'est pas affilié aux éditeurs du manuel Al Moufid.