Correction des exercices PMM 29 à 38 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique

Correction des exercices PMM 29 à 38 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique — Niveau 2

Exercices personnels PMM · Niveau 2 — Raisonnement guidé · Accès gratuit

Cette série appartient au niveau 2 : raisonnement guidé. Les exercices suivent désormais une numérotation continue par niveau : 1 à 8, puis 9 à 38, puis 39 à 52.

Exercice 29

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que \[2n+1/ n^2+n+7.\]

Question 1 — Montrer que \(4(n^2+n+7)-(2n+1)^2=27\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.

Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.

\[4(n^2+n+7)-(2n+1)^2\]

\[=4n^2+4n+28-(4n^2+4n+1)=\boxed{27}.\]

Question 2 — En déduire que si \(2n+1/ n^2+n+7\), alors \(2n+1/27\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.

Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.

Si \(2n+1\) divise \(n^2+n+7\), alors il divise \(4(n^2+n+7)\). Il divise aussi \((2n+1)^2\). Il divise donc leur différence \(27\) :

\[\boxed{2n+1/27}.\]

Question 3 — Déterminer les diviseurs positifs impairs de \(27\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.

Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.

Les diviseurs positifs impairs de \(27\) sont

\[\boxed{1,3,9,27}.\]

Question 4 — Résoudre successivement \(2n+1=1\), \(2n+1=3\), \(2n+1=9\) et \(2n+1=27\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.

On résout : \[2n+1=1\Rightarrow n=0,\] \[2n+1=3\Rightarrow n=1,\] \[2n+1=9\Rightarrow n=4,\] \[2n+1=27\Rightarrow n=13.\]

Question 5 — Vérifier les valeurs obtenues dans la condition initiale.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Cette étape sert à établir une identité ou une valeur qui sera utilisée ensuite. On remplace soigneusement les expressions par leurs définitions, on développe ou on simplifie, puis on contrôle que les deux membres coïncident exactement. Le calcul doit rester lisible afin que la justification puisse être réutilisée dans la suite.

Idée de résolution. Il s’agit d’un contrôle direct : on effectue le calcul sans détour, puis on met en évidence l’égalité obtenue. Cette vérification servira de base aux questions suivantes.

Vérification : \[n=0:\ 1/7;\] \[n=1:\ 3/9;\] \[n=4:\ 9/27;\] \[n=13:\ 27/189.\] Les quatre valeurs conviennent.

Question 6 — En déduire toutes les solutions.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Donc

\[\boxed{n\in\{0,1,4,13\}}.\]

Exercice 30

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Soit \(n\in\mathbb N\). On pose \[A=n^2+n+1,\qquad B=n^2+3n+3.\]

Question 1 — Montrer que \(A\) est impair.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).

Rappel du cours — parité.

Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.

\[A=n(n+1)+1.\] Le produit de deux entiers consécutifs \(n(n+1)\) est pair, donc \(A\) est impair.

Question 2 — Soit \(d\) un diviseur commun de \(A\) et de \(B\). Montrer que \(d/(B-A)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

On part de la définition d’un diviseur commun. Si \(d\) divise deux entiers, chacun d’eux peut s’écrire comme un multiple de \(d\). Par conséquent, toute somme ou différence obtenue à partir de ces deux multiples reste encore un multiple de \(d\). Cette propriété élémentaire permet souvent de remplacer deux expressions compliquées par un petit entier beaucoup plus facile à exploiter.

Rappel du cours — divisibilité.

Dire que \(d\) divise \(a\) signifie qu’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a=dk\).

Si \(d\) divise \(A\) et \(B\), alors il divise leur différence :

\[\boxed{d/(B-A)}.\]

Question 3 — En déduire que \(d/2(n+1)\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Or \[B-A=2n+2=2(n+1),\] donc

\[\boxed{d/2(n+1)}.\]

Question 4 — Montrer directement que \(2A-n(B-A)=2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

\[2A-n(B-A)=2(n^2+n+1)-n(2n+2)=\boxed{2}.\]

Question 5 — En déduire que \(d/2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Comme \(d\) divise \(A\) et \(B-A\), il divise \(2A-n(B-A)\), donc

\[\boxed{d/2}.\]

Question 6 — Sachant que \(d/ A\) et que \(A\) est impair, conclure que \(d=1\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Rappel du cours — parité.

Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.

Le nombre \(d\) divise l’entier impair \(A\). Il ne peut donc pas être égal à \(2\). Comme \(d\) est positif et \(d/2\), on a

\[\boxed{d=1}.\]

Question 7 — Ainsi, montrer que \(\mathrm{PGCD}(A;B)=1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Point de cours à mobiliser.

Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.

Par conséquent

\[\boxed{\mathrm{PGCD}(A;B)=1\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N}.\]

Exercice 31 — Deux conditions de divisibilité

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Divisibilité et recherche exhaustive

Soit \(n\in\mathbb N\). On pose \(A=n^2+9n+50\) et \(B=n^2+8n+195\).

Question 1. Montrer que \(A=(n+3)(n+6)+32\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En développant, \[(n+3)(n+6)+32=n^2+9n+18+32=n^2+9n+50=A.\]

Question 2. Déterminer tous les entiers naturels \(n\) pour lesquels \(n+3\) divise \(A\).

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Rappel ciblé. Un diviseur commun de deux entiers divise leur différence. Comme \(A=(n+3)(n+6)+32\), le nombre \(n+3\) divise \(A\) si et seulement s’il divise \(32\).

Or \(n+3\ge 3\), et les diviseurs positifs de \(32\) au moins égaux à \(3\) sont \(4,8,16,32\). Donc :

\[\boxed{n\in\{1;5;13;29\}.}\]

Question 3. Parmi ces valeurs, trouver celles pour lesquelles \(n+5\) divise aussi \(B\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit \[B=(n+5)(n+3)+180.\] Ainsi, \(n+5\) divise \(B\) si et seulement s’il divise \(180\).

Pour \(n=1,5,13,29\), les valeurs de \(n+5\) sont \(6,10,18,34\). Les trois premières divisent \(180\), tandis que \(34\) ne le divise pas.

\[\boxed{n\in\{1;5;13\}.}\]

Exercice 32 — Un PGCD qui dépend de la parité

Niveau 2 — Raisonnement guidé

PGCD, identité et distinction de cas

Pour \(n\in\mathbb N\), on considère \(A=n^2+4n+8\) et \(B=2n+4\).

Question 1. Établir l’égalité \(4A-B^2=16\).

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On calcule \[4A=4n^2+16n+32,\qquad B^2=4n^2+16n+16.\] Par différence : \[\boxed{4A-B^2=16.}\]

Question 2. Montrer que si \(n\) est impair, alors \(\operatorname{PGCD}(A;B)=1\).

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Soit \(d\) un diviseur commun de \(A\) et \(B\). Il divise \(4A-B^2=16\).

Si \(n\) est impair, alors \(A=n^2+4n+8\) est impair. Le nombre \(d\), diviseur de \(A\), est donc impair. Le seul diviseur positif impair de \(16\) est \(1\).

\[\boxed{\operatorname{PGCD}(A;B)=1.}\]

Question 3. Montrer que si \(n\) est pair, alors \(\operatorname{PGCD}(A;B)=4\).

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Écrivons \(n=2m\), avec \(m\in\mathbb N\). Alors

\[A=4\big((m+1)^2+1\big),\qquad B=4(m+1).\]

Tout diviseur commun de \(m+1\) et \((m+1)^2+1\) divise leur différence \(1\). Ces deux nombres sont donc premiers entre eux.

\[\boxed{\operatorname{PGCD}(A;B)=4.}\]

Question 4. En déduire une expression du PGCD suivant la parité de \(n\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En réunissant les deux cas : \[\boxed{\operatorname{PGCD}(A;B)=\begin{cases}1&\text{si }n\text{ est impair},\\4&\text{si }n\text{ est pair}.\end{cases}}\]

Exercice 33 — Quand une expression exponentielle est-elle première ?

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Primalité, factorisation et PGCD

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose \(F_n=3^{2n}-4\).

Question 1. Factoriser \(F_n\) en un produit de deux entiers.

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Puisque \(3^{2n}=(3^n)^2\), la différence de deux carrés donne \[\boxed{F_n=(3^n-2)(3^n+2).}\]

Question 2. Montrer que \(F_n\) n’est pas premier lorsque \(n\ge2\).

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Pour \(n\ge2\), on a \(3^n\ge9\). Donc \(3^n-2\ge7\) et \(3^n+2\ge11\).

L’entier \(F_n\) est alors le produit de deux entiers strictement supérieurs à \(1\) : il n’est pas premier.

Question 3. Déterminer tous les \(n\in\mathbb N^*\) tels que \(F_n\) soit premier.

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Le seul cas restant est \(n=1\). Alors \(F_1=3^2-4=5\), qui est premier. Donc \[\boxed{n=1.}\]

Question 4. Montrer que les deux facteurs obtenus à la question 1 sont premiers entre eux.

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Soit \(d\) un diviseur commun de \(3^n-2\) et \(3^n+2\). Il divise leur différence \(4\).

Les deux facteurs sont impairs, puisque \(3^n\) est impair ; \(d\) est donc impair. Le seul diviseur impair de \(4\) est \(1\).

\[\boxed{\operatorname{PGCD}(3^n-2;3^n+2)=1.}\]

Exercice 34 — Le produit de cinq entiers consécutifs

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Divisibilité composée et conclusion logique

Pour \(n\in\mathbb N^*\), on pose \[P=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).\]

Question 1. Montrer que \(5\) divise \(P\).

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Parmi cinq entiers consécutifs, l’un est un multiple de \(5\). Ce nombre figure parmi les cinq facteurs de \(P\) ; donc \(5\) divise \(P\).

Question 2. Montrer séparément que \(3\) et \(8\) divisent \(P\).

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Parmi trois entiers consécutifs, l’un est divisible par \(3\), donc \(3\) divise \(P\).

Parmi quatre entiers consécutifs, l’un est divisible par \(4\) et il existe un autre entier pair. Leur produit est divisible par \(8\), donc \(8\) divise \(P\).

Question 3. En déduire que \(120\) divise \(P\).

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Les nombres \(8\), \(3\) et \(5\) sont premiers entre eux deux à deux. Les facteurs premiers de \(P\) comprennent donc ceux de \(8\times3\times5=120\). Ainsi \[\boxed{120\text{ divise }P.}\]

Question 4. Montrer que \(P+1\) est premier avec \(120\). Peut-on conclure que \(P+1\) est premier ?

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Soit \(d\) un diviseur commun de \(P+1\) et \(120\). Puisque \(120\) divise \(P\), le nombre \(d\) divise aussi \(P\). Il divise donc \((P+1)-P=1\).

\[\boxed{\operatorname{PGCD}(P+1;120)=1.}\]

Attention. Être premier avec \(120\) ne signifie pas être un nombre premier.

Exercice 35 — Un PGCD parmi quatre valeurs possibles

Niveau 2 — Raisonnement guidé

PGCD paramétrique et PPCM

Soit \(n\in\mathbb N^*\). On pose \(A=3n\) et \(B=n+2\).

Question 1. Montrer que \(A\) et \(B\) ont exactement les mêmes diviseurs communs que \(6\) et \(n+2\).

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Si \(d\) divise \(3n\) et \(n+2\), alors il divise \(3(n+2)-3n=6\).

Réciproquement, si \(d\) divise \(6\) et \(n+2\), alors il divise \(3(n+2)-6=3n\).

Les ensembles de diviseurs communs sont donc les mêmes, d’où \[\boxed{\operatorname{PGCD}(3n;n+2)=\operatorname{PGCD}(6;n+2).}\]

Question 2. Déterminer ce PGCD suivant les six écritures \(n=6q+r\), où \(r\in\{0;1;2;3;4;5\}\).

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Le nombre \(n+2\) est successivement de la forme \(6q+2\), \(6q+3\), \(6q+4\), \(6q+5\), \(6q+6\), \(6q+7\).

Ses PGCD respectifs avec \(6\) sont \(2,3,2,1,6,1\). Ainsi :

\[\boxed{\begin{array}{c|cccccc}r&0&1&2&3&4&5\\\hline\operatorname{PGCD}(A;B)&2&3&2&1&6&1\end{array}}\]

Question 3. Pour quelles formes de \(n\) les nombres \(3n\) et \(n+2\) sont-ils premiers entre eux ?

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Le PGCD vaut \(1\) exactement pour \(r=3\) et \(r=5\). Donc \[\boxed{n=6q+3\quad\text{ou}\quad n=6q+5,\qquad q\in\mathbb N.}\]

Question 4. Calculer \(\operatorname{PPCM}(3n;n+2)\) pour \(n=10\) puis \(n=11\).

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La décomposition en facteurs premiers justifie l’identité \(\operatorname{PGCD}(a;b)\times\operatorname{PPCM}(a;b)=ab\).

Pour \(n=10\), les nombres sont \(30\) et \(12\), leur PGCD vaut \(6\) : \(\operatorname{PPCM}(30;12)=\dfrac{30\times12}{6}=60\).

Pour \(n=11\), les nombres sont \(33\) et \(13\), premiers entre eux : \(\operatorname{PPCM}(33;13)=33\times13=429\).

Exercice 36 — Le plus petit carré multiple de trois nombres

Niveau 2 — Raisonnement guidé

PPCM, carrés et dénombrement des diviseurs

On cherche le plus petit entier naturel non nul \(S\) qui soit un carré parfait et qui soit divisible simultanément par \(18\), \(28\) et \(45\).

Question 1. Décomposer les trois entiers en facteurs premiers.

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On a \[18=2\times3^2,\qquad28=2^2\times7,\qquad45=3^2\times5.\]

Question 2. Calculer leur plus petit commun multiple.

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En conservant chaque facteur premier avec son plus grand exposant, le plus petit multiple commun non nul des trois nombres est : \[\boxed{M=2^2\times3^2\times5\times7=1260.}\]

Question 3. Déterminer le plus petit carré parfait divisible par les trois nombres.

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Un carré parfait a des exposants pairs dans sa décomposition en facteurs premiers. Dans \(1260=2^2\times3^2\times5\times7\), les facteurs \(5\) et \(7\) ont des exposants impairs.

Le plus petit facteur complémentaire est donc \(35\).

\[\boxed{S=1260\times35=44100=210^2.}\]

Question 4. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de \(S\).

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Comme \(S=2^2\times3^2\times5^2\times7^2\), chaque diviseur choisit indépendamment pour chacun des quatre facteurs premiers un exposant parmi \(0,1,2\). Il y a donc \[\boxed{3^4=81\text{ diviseurs positifs}.}\]

Exercice 37 — Un nombre premier voisin d’un cube

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Nombres premiers et factorisation d’un cube

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(p+1\) soit un cube parfait. On cherche ensuite si \(p+2\) peut être un carré parfait.

Question 1. Écrire \(p+1=a^3\) et factoriser \(p\).

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Puisque \(p\ge2\), l’entier \(a\) vérifie \(a\ge2\). On a \[p=a^3-1=\boxed{(a-1)(a^2+a+1)}.\]

Question 2. Déterminer tous les nombres premiers \(p\) répondant à la première condition.

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Le second facteur \(a^2+a+1\) est strictement supérieur à \(1\). Puisque \(p\) est premier, l’autre facteur doit être égal à \(1\).

Donc \(a-1=1\), soit \(a=2\). On obtient \(p=2^3-1=7\), qui est premier.

\[\boxed{p=7.}\]

Question 3. Vérifier si \(p+2\) est alors un carré parfait.

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Pour \(p=7\), on a \(p+2=9=3^2\). Ainsi, la valeur \(\boxed{p=7}\) satisfait les deux conditions, et c’est la seule possible.

Exercice 38 — Une expression divisible par 6, puis par 30

Niveau 2 — Raisonnement guidé

Divisibilité et six cas élémentaires

Pour \(n\in\mathbb N^*\), on considère \[T=n(n+1)(2n+1).\]

Question 1. Montrer que \(T\) est divisible par \(2\).

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Les entiers \(n\) et \(n+1\) sont consécutifs : l’un d’eux est pair. Ainsi \(n(n+1)\), et donc \(T\), est divisible par \(2\).

Question 2. Montrer que \(T\) est divisible par \(3\). En déduire que \(6\) divise \(T\).

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Écrivons \(n=3q\), \(n=3q+1\) ou \(n=3q+2\), avec \(q\in\mathbb N\).

Dans le premier cas, \(n\) est divisible par \(3\). Dans le deuxième, \(2n+1=6q+3\) l’est. Dans le troisième, \(n+1=3q+3\) l’est.

Donc \(3\) divise toujours \(T\). Comme \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux, \[\boxed{6\text{ divise }T.}\]

Question 3. Déterminer les formes de \(n\) pour lesquelles \(30\) divise \(T\).

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Il suffit maintenant de déterminer quand \(5\) divise \(T\). Écrivons \(n=5q+r\), avec \(r\in\{0;1;2;3;4\}\).

Si \(r=0\), alors \(5\) divise \(n\). Si \(r=2\), il divise \(2n+1=10q+5\). Si \(r=4\), il divise \(n+1=5q+5\).

Pour \(r=1\) ou \(r=3\), aucun des trois facteurs \(n,n+1,2n+1\) n’est divisible par \(5\). Comme \(5\) est premier, il ne divise pas leur produit.

\[\boxed{30\text{ divise }T\ \Longleftrightarrow\ n=5q,\ 5q+2\ \text{ou}\ 5q+4.}\]

Question 4. Vérifier la conclusion pour \(n=7\) et pour \(n=8\).

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Pour \(n=7\), on obtient \(T=7\times8\times15=840=30\times28\) : la condition est vérifiée. Pour \(n=8\), \(T=8\times9\times17=1224\), qui n’est pas divisible par \(5\), donc pas par \(30\).

MATHS PARCOURS MAROC