Correction des exercices PMM 49 à 52 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique — Niveau 3
Exercices personnels PMM · Niveau 3 — Approfondissement · Accès gratuit
Cette série appartient au niveau 3 : approfondissement. Les exercices suivent désormais une numérotation continue par niveau : 1 à 8, puis 9 à 38, puis 39 à 52.
Exercice 49
Niveau 3 — Approfondissement
Soit \(N\in\mathbb N^{*}\). À chaque diviseur \(d\) de \(N\), on associe \(\dfrac Nd\).
Question 1 — Montrer que \(\dfrac Nd\) est également un diviseur de \(N\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Si \(d/ N\), il existe un entier \(q\) tel que \(N=dq\). Alors \[\frac Nd=q\] et \(q/ N\) puisque \(N=qd\). Donc \(N/d\) est aussi un diviseur de \(N\).
Question 2 — Expliquer pourquoi les diviseurs de \(N\) peuvent généralement être regroupés par couples \(\left(d;\dfrac Nd\right)\).
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Pour déterminer tous les couples, il ne suffit pas de trouver un exemple : il faut montrer que la liste est exhaustive. On part de la relation numérique déjà obtenue, on énumère méthodiquement les couples de facteurs compatibles, puis on élimine ceux qui ne respectent pas les conditions de l’énoncé. Cette organisation garantit qu’aucune solution n’est oubliée.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Chaque diviseur \(d\) est associé au diviseur \(N/d\). On obtient donc des couples \[\left(d;\frac Nd\right).\]
Question 3 — Dans quel cas les deux éléments d’un tel couple sont-ils égaux ?
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Les deux éléments sont égaux exactement lorsque \[d=\frac Nd\quad\Longleftrightarrow\quad d^2=N.\]
Question 4 — Montrer que si \(N\) n’est pas un carré parfait, son nombre de diviseurs est pair.
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La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Si \(N\) n’est pas un carré parfait, aucun diviseur n’est associé à lui-même. Tous les diviseurs se répartissent en couples de deux éléments distincts. Leur nombre est donc pair.
Question 5 — Montrer que si \(N\) est un carré parfait, son nombre de diviseurs est impair.
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La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Si \(N\) est un carré parfait, \(\sqrt N\) est un diviseur associé à lui-même, tandis que tous les autres diviseurs se regroupent par couples. Le nombre total de diviseurs est donc impair.
Question 6 — En déduire que \(N\) possède un nombre impair de diviseurs si et seulement si \(N\) est un carré parfait.
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La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Ainsi
\[\boxed{N\text{ possède un nombre impair de diviseurs}\iff N\text{ est un carré parfait}.}\]
Question 7 — Sans dresser la liste de leurs diviseurs, déterminer lequel des nombres \(2025\) et \(2026\) possède un nombre impair de diviseurs.
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On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[2025=45^2,\] donc \(2025\) possède un nombre impair de diviseurs. En revanche \[45^2=2025\lt 2026\lt 2116=46^2,\] donc \(2026\) n’est pas un carré et possède un nombre pair de diviseurs.
Exercice 50
Niveau 3 — Approfondissement
On cherche un entier naturel \(N\) vérifiant \(72/ N\) et possédant exactement \(18\) diviseurs positifs.
Question 1 — Décomposer \(72\) en produit de facteurs premiers.
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Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
\[72=8\times9=\boxed{2^3 3^2}.\]
Question 2 — Écrivons \(N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}\). Rappeler pourquoi le nombre de diviseurs de \(N\) vaut \((\alpha_1+1)\cdots(\alpha_r+1)\).
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La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Si \[N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\] alors le nombre de diviseurs vaut
\[\boxed{(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_r+1)}.\]
Question 3 — Décomposer \(18\) sous toutes les formes possibles comme produit d’entiers supérieurs ou égaux à \(2\) : \(18\), \(9\times2\), \(6\times3\), \(3\times3\times2\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Comme ce nombre vaut \(18\), les décompositions possibles de \(18\) en facteurs \(\ge2\) sont \[18,\qquad9\times2,\qquad6\times3,\qquad3\times3\times2.\]
Question 4 — En déduire les seules formes possibles pour les exposants des facteurs premiers de \(N\).
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Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Les schémas possibles pour les exposants sont donc
\[\boxed{(17),\ (8;1),\ (5;2),\ (2;2;1)}.\]
Question 5 — Utiliser maintenant \(2^3\times3^2/ N\) pour éliminer les cas impossibles.
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
La condition \(2^3 3^2/ N\) impose que \(N\) contienne au moins les deux facteurs premiers \(2\) et \(3\), avec un exposant au moins \(3\) pour \(2\) et au moins \(2\) pour \(3\).
Le schéma \((17)\) ne contient qu’un seul facteur premier : impossible.
Le schéma \((8;1)\) possède un exposant égal à \(1\), insuffisant pour l’un des facteurs \(2\) ou \(3\) : impossible.
Le schéma \((2;2;1)\) n’a aucun exposant \(\ge3\) : impossible.
Il reste seulement
\[\boxed{(5;2)}.\]
Question 6 — Montrer qu’il ne reste qu’une seule possibilité.
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On exploite ici la division euclidienne : tout entier peut être classé selon un nombre fini de restes possibles. En étudiant séparément ces formes, on obtient une conclusion valable pour tous les entiers, sans utiliser de résultat extérieur au chapitre.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Pour satisfaire \(2^3 3^2/ N\), l’exposant \(5\) doit être celui de \(2\) et l’exposant \(2\) celui de \(3\). Donc \[N=2^5 3^2.\]
Question 7 — Déterminer \(N\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Finalement
Vérification : \(288=72\times4\) et son nombre de diviseurs est \((5+1)(2+1)=18\).
\[\boxed{N=2^5\times3^2=32\times9=288}.\]
Exercice 51 — Cinq nombres premiers espacés de six unités
Niveau 3 — Approfondissement
Question 1. Montrer que l’un des cinq nombres est divisible par \(5\).
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Écrivons \(p=5q+r\), où \(q\in\mathbb N\) et \(r\) vaut \(0,1,2,3\) ou \(4\).
Selon que \(r\) vaut \(0,1,2,3,4\), le nombre divisible par \(5\) est respectivement \(p\), \(p+24\), \(p+18\), \(p+12\), \(p+6\). Dans tous les cas, l’un des cinq nombres est multiple de \(5\).
Question 2. Déterminer la seule valeur possible de \(p\).
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Le nombre divisible par \(5\) est premier ; il doit donc être égal à \(5\).
Or les quatre nombres \(p+6,p+12,p+18,p+24\) sont strictement supérieurs à \(5\), car \(p\ge2\). Ainsi, seul \(p\) peut valoir \(5\).
\[\boxed{p=5.}\]Question 3. Vérifier que cette valeur convient.
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Exercice 52 — Deux suites de multiples décalées
Niveau 3 — Approfondissement
Question 1. Trouver le premier instant commun aux deux événements.
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Question 2. Montrer que tout autre instant commun est de la forme \(36+90k\), avec \(k\in\mathbb N\).
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Soit \(t\) un instant commun. Les nombres \(t\) et \(36\) sont des multiples de \(18\), donc \(t-36\) l’est aussi. Ils sont également tous deux de la forme \(6+30m\), donc \(t-36\) est multiple de \(30\).
Le premier instant commun étant \(36\), on a \(t\ge36\). Or \[\operatorname{PPCM}(18;30)=90.\] Donc \(t-36=90k\), avec \(k\in\mathbb N\).
Réciproquement, tout instant \(36+90k\) appartient aux deux suites.
\[\boxed{t=36+90k,\quad k\in\mathbb N.}\]Question 3. Compter les instants communs strictement inférieurs à \(600\) minutes.
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Question 4. Pourquoi le PPCM seul ne donne-t-il pas le premier instant commun ?
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