Correction des exercices PMM 39 à 43 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique — Niveau 3
Exercices personnels PMM · Niveau 3 — Approfondissement · Accès gratuit
Cette série appartient au niveau 3 : approfondissement. Les exercices suivent désormais une numérotation continue par niveau : 1 à 8, puis 9 à 38, puis 39 à 52.
Exercice 39
Niveau 3 — Approfondissement
Soient \(a,b\in\mathbb N^{*}\). On considère \[N=2^a3^b.\] On sait que \(72/ N\) et que \(N\) possède exactement \(24\) diviseurs positifs.
Question 1 — Traduire la condition \(72/ N\) par deux inégalités portant sur \(a\) et \(b\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[72=2^3 3^2.\] Pour que \(72/2^a3^b\), il faut et il suffit que
\[\boxed{a\ge3\quad\text{et}\quad b\ge2}.\]
Question 2 — Montrer que tout diviseur positif de \(N\) s’écrit sous la forme \(2^i3^j\), avec \(0\le i\le a\) et \(0\le j\le b\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Tout diviseur de \(N\) ne peut contenir que les facteurs premiers \(2\) et \(3\). Il est donc de la forme \[2^i3^j,\qquad 0\le i\le a,\quad 0\le j\le b.\]
Question 3 — En déduire que le nombre de diviseurs de \(N\) est \((a+1)(b+1)\).
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La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Il y a \(a+1\) choix possibles pour l’exposant \(i\) et \(b+1\) choix possibles pour l’exposant \(j\). Chaque choix de \(i\) peut être associé à chacun des choix de \(j\). Le nombre de diviseurs positifs de \(N\) est donc
\[\boxed{(a+1)(b+1)}.\]
Question 4 — Résoudre \((a+1)(b+1)=24\) en tenant compte de la première question.
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
D’après l’énoncé, \(N\) possède exactement \(24\) diviseurs positifs. La question précédente donne donc \[(a+1)(b+1)=24.\] De la première question, on sait que \[a\ge3,\qquad b\ge2,\] donc \[a+1\ge4,\qquad b+1\ge3.\] Les décompositions convenables de \(24\) sont \[24=4\times6=6\times4=8\times3.\] Ainsi
\[\boxed{(a;b)=(3;5),(5;3),(7;2)}.\]
Question 5 — Déterminer toutes les valeurs possibles de \(N\).
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.
\[2^3 3^5=1944,\qquad 2^5 3^3=864,\qquad 2^7 3^2=1152.\]
Question 6 — Quelle est la plus petite valeur possible de \(N\) ?
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On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
La plus petite valeur est donc
\[\boxed{N_{\min}=864}.\]
Exercice 40
Niveau 3 — Approfondissement
Déterminer tous les couples \((x;y)\in\mathbb N^2\) tels que \(x\gt y\) et \[x^2-y^2=315.\]
Question 1 — Factoriser \(x^2-y^2\).
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La factorisation est ici l’étape décisive : elle transforme une relation additive ou quadratique en un produit d’entiers. Une fois le produit obtenu, les valeurs possibles sont contrôlées par les couples de diviseurs du nombre fixé. Il faut ensuite appliquer les contraintes supplémentaires de l’énoncé, notamment l’ordre, la positivité ou la parité.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[x^2-y^2=(x-y)(x+y).\]
Question 2 — Posons \(u=x-y\) et \(v=x+y\). Montrer que \(uv=315\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
En posant \(u=x-y\) et \(v=x+y\), on obtient \[uv=315.\] De plus \(u\lt v\) puisque \(y\gt 0\) pour toutes les solutions obtenues.
Question 3 — Quelle relation de parité existe entre \(u\) et \(v\) ?
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On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.
Les nombres \(u\) et \(v\) ont la même parité car \[u+v=2x,\] qui est pair. Comme \(uv=315\) est impair, \(u\) et \(v\) sont tous deux impairs.
Question 4 — Déterminer tous les couples \((u;v)\) convenables.
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Pour déterminer tous les couples, il ne suffit pas de trouver un exemple : il faut montrer que la liste est exhaustive. On part de la relation numérique déjà obtenue, on énumère méthodiquement les couples de facteurs compatibles, puis on élimine ceux qui ne respectent pas les conditions de l’énoncé. Cette organisation garantit qu’aucune solution n’est oubliée.
Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.
Les couples positifs \((u;v)\) avec \(u\lt v\) et \(uv=315\) sont \[(1;315),(3;105),(5;63),(7;45),(9;35),(15;21).\]
Question 5 — Utiliser \(x=\dfrac{u+v}{2}\) et \(y=\dfrac{v-u}{2}\) pour déterminer tous les couples \((x;y)\).
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Pour déterminer tous les couples, il ne suffit pas de trouver un exemple : il faut montrer que la liste est exhaustive. On part de la relation numérique déjà obtenue, on énumère méthodiquement les couples de facteurs compatibles, puis on élimine ceux qui ne respectent pas les conditions de l’énoncé. Cette organisation garantit qu’aucune solution n’est oubliée.
Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.
Avec \[x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2},\] on obtient
\[\boxed{(x;y)=(158;157),(54;51),(34;29),(26;19),(22;13),(18;3)}.\]
Exercice 41
Niveau 3 — Approfondissement
Le but est de démontrer que \(\sqrt6\) ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers naturels non nuls. Supposons le contraire : il existe \(p,q\in\mathbb N^{*}\), premiers entre eux, tels que \[\sqrt6=\frac pq.\]
Question 1 — Montrer que \(p^2=6q^2\).
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Le raisonnement est conduit par l’absurde. On suppose d’abord que \(\sqrt6\) peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible \(p/q\). Les égalités obtenues doivent alors forcer une propriété commune à \(p\) et \(q\), ce qui contredira précisément le fait qu’ils sont premiers entre eux. Chaque étape doit donc conserver clairement le lien avec cette contradiction finale.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
En élevant au carré,
\[6=\frac{p^2}{q^2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p^2=6q^2}.\]
Question 2 — En déduire que \(p^2\) est pair, puis que \(p\) est pair.
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On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Un entier pair s’écrit \(2k\), un entier impair s’écrit \(2k+1\). Un produit est pair dès que l’un de ses facteurs est pair.
Le nombre \(p^2\) est pair. Si \(p\) était impair, son carré serait impair. Donc \(p\) est pair.
Question 3 — Écrire \(p=2k\) et montrer que \(2k^2=3q^2\).
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Le raisonnement est conduit par l’absurde. On suppose d’abord que \(\sqrt6\) peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible \(p/q\). Les égalités obtenues doivent alors forcer une propriété commune à \(p\) et \(q\), ce qui contredira précisément le fait qu’ils sont premiers entre eux. Chaque étape doit donc conserver clairement le lien avec cette contradiction finale.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Écrivons \(p=2k\). Alors
\[4k^2=6q^2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{2k^2=3q^2}.\]
Question 4 — Montrer que \(q\) est nécessairement pair.
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On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Le membre \(2k^2\) est pair. Donc \(3q^2\) est pair. Comme \(3\) est impair, \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
Question 5 — Pourquoi obtient-on une contradiction avec \(\mathrm{PGCD}(p;q)=1\) ?
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Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. Pour le déterminer, on peut soit exploiter les décompositions en facteurs premiers, soit étudier directement un diviseur commun et montrer quelles valeurs il peut prendre. L’objectif est toujours de caractériser tous les diviseurs communs avant de retenir le plus grand.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Ainsi \(p\) et \(q\) sont tous deux divisibles par \(2\), ce qui contredit \[\mathrm{PGCD}(p;q)=1.\]
Question 6 — Conclure.
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Le raisonnement est conduit par l’absurde. On suppose d’abord que \(\sqrt6\) peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible \(p/q\). Les égalités obtenues doivent alors forcer une propriété commune à \(p\) et \(q\), ce qui contredira précisément le fait qu’ils sont premiers entre eux. Chaque étape doit donc conserver clairement le lien avec cette contradiction finale.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
L’hypothèse de départ est donc impossible. Ainsi
\[\boxed{\sqrt6\notin\mathbb Q}.\]
Exercice 42
Niveau 3 — Approfondissement
Soit \(N\gt 1\) un entier naturel possédant exactement trois diviseurs positifs. On les note \(1,d,N\) avec \(1\lt d\lt N\).
Question 1 — Montrer que \(\dfrac Nd\) est également un diviseur de \(N\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Puisque \(d/ N\), il existe un entier \(q\) tel que \(N=dq\). Donc \[\frac Nd=q\] est également un diviseur de \(N\).
Question 2 — En utilisant le fait qu’il n’existe que trois diviseurs, montrer que \(\dfrac Nd=d\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
On a \(1\lt d\lt N\). De même, \(1\lt N/d\lt N\). Comme le seul diviseur strictement compris entre \(1\) et \(N\) est \(d\), on doit avoir
\[\boxed{\frac Nd=d}.\]
Question 3 — En déduire que \(N=d^2\).
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Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Ainsi
\[\boxed{N=d^2}.\]
Question 4 — Montrer que \(d\) est nécessairement un nombre premier.
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Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
Si \(d\) n’était pas premier, il aurait un diviseur \(r\) tel que \(1\lt r\lt d\). Alors \(r/ d^2=N\), ce qui fournirait un quatrième diviseur de \(N\). Contradiction. Donc \(d\) est premier.
Question 5 — Réciproquement, soit \(p\) un nombre premier. Montrer que \(p^2\) possède exactement trois diviseurs positifs.
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La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
Si \(p\) est premier, les seuls diviseurs de \(p^2\) sont \[1,p,p^2.\] Il y en a exactement trois.
Question 6 — En déduire la caractérisation : \(N\) possède exactement trois diviseurs si et seulement si \(N=p^2\) avec \(p\) premier.
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La notion centrale ici est celle de nombre premier. On utilise le fait qu’un nombre premier ne peut avoir de diviseur positif autre que 1 et lui-même. Cette contrainte permet de transformer une relation de divisibilité ou une factorisation en une information très précise sur les facteurs possibles.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
Donc
\[\boxed{N\text{ possède exactement trois diviseurs}\iff N=p^2\text{ avec }p\text{ premier}.}\]
Exercice 43
Niveau 3 — Approfondissement
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels impairs.
Question 1 — Écrire \(a=2m+1\) et montrer que \(a^2-1=4m(m+1)\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Écrivons \(a=2m+1\). Alors
\[a^2-1=(2m+1)^2-1=4m^2+4m=\boxed{4m(m+1)}.\]
Question 2 — Pourquoi \(m(m+1)\) est-il pair ?
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On traduit la parité par les écritures du cours : un entier pair s’écrit \(2k\), tandis qu’un entier impair s’écrit \(2k+1\). Ces formes permettent de justifier proprement la parité d’une somme, d’un produit ou d’un carré. Il faut conserver cette écriture jusqu’à obtenir explicitement un multiple de 2 ou un entier de la forme \(2k+1\).
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Les entiers \(m\) et \(m+1\) sont consécutifs ; l’un d’eux est pair. Donc \(m(m+1)\) est pair.
Question 3 — En déduire que \(a^2-1\) est divisible par \(8\).
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Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Ainsi \(m(m+1)=2r\) pour un certain entier \(r\), et \[a^2-1=8r.\] Donc
\[\boxed{8/(a^2-1)}.\]
Question 4 — Montrer de même que \(b^2-1\) est divisible par \(8\).
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Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Le même raisonnement donne
\[\boxed{8/(b^2-1)}.\]
Question 5 — En déduire que \(8/(a^2+b^2-2)\).
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Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
En additionnant, \[(a^2-1)+(b^2-1)=a^2+b^2-2,\] donc
\[\boxed{8/(a^2+b^2-2)}.\]
Question 6 — En écrivant un entier sous la forme \(4q\), \(4q+1\), \(4q+2\) ou \(4q+3\), montrer que le reste du carré de cet entier dans la division par \(8\) est seulement \(0\), \(1\) ou \(4\).
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La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Soit un entier \(t\). Écrivons \(t=4q+r\) avec \(r\in\{0,1,2,3\}\). Alors \[r^2\in\{0,1,4,9\},\] et \(9\) laisse le même reste que \(1\) dans la division par \(8\). Ainsi le carré d’un entier laisse seulement les restes
dans la division par \(8\).
\[\boxed{0,1,4}\]
Question 7 — En déduire que, lorsque \(a\) et \(b\) sont impairs, \(a^2+b^2\) ne peut pas être un carré parfait.
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La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Comme \(8/(a^2+b^2-2)\), le nombre \(a^2+b^2\) laisse le reste \(2\) dans la division par \(8\). Ce reste n’est pas possible pour un carré parfait. Donc
\[\boxed{a^2+b^2\text{ n'est pas un carré parfait}.}\]
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