Correction des exercices PMM 44 à 48 — Arithmétique dans ℕ — Tronc Commun Scientifique — Niveau 3
Exercices personnels PMM · Niveau 3 — Approfondissement · Accès gratuit
Cette série appartient au niveau 3 : approfondissement. Les exercices suivent désormais une numérotation continue par niveau : 1 à 8, puis 9 à 38, puis 39 à 52.
Exercice 44
Niveau 3 — Approfondissement
Soit \(n\in\mathbb N\).
Question 1 — Factoriser \(n^3-n\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La factorisation est ici l’étape décisive : elle transforme une relation additive ou quadratique en un produit d’entiers. Une fois le produit obtenu, les valeurs possibles sont contrôlées par les couples de diviseurs du nombre fixé. Il faut ensuite appliquer les contraintes supplémentaires de l’énoncé, notamment l’ordre, la positivité ou la parité.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
\[n^3-n=n(n^2-1)=\boxed{n(n-1)(n+1)}.\]
Question 2 — Montrer que le produit de trois entiers consécutifs est divisible par \(2\) et par \(3\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Parmi trois entiers consécutifs, l’un est pair et l’un est divisible par \(3\). Leur produit est donc divisible par \(2\) et par \(3\).
Question 3 — En déduire que \(6/(n^3-n)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Comme \(\mathrm{PPCM}(2;3)=6\),
\[\boxed{6/(n^3-n)}.\]
Question 4 — Vérifier que \(n^5-n=(n^3-n)(n^2+1)\). En déduire que \(6/(n^5-n)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
\[(n^3-n)(n^2+1)=n^5+n^3-n^3-n=n^5-n.\] Donc
\[\boxed{6/(n^5-n)}.\]
Question 5 — Écrire \(n\) sous l’une des formes \(5q\), \(5q+1\), \(5q-1\), \(5q+2\) ou \(5q-2\) et montrer, dans chaque cas, que l’un des nombres \(n\), \(n-1\), \(n+1\), \(n^2+1\) est divisible par \(5\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
On utilise la factorisation \[n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1).\] Si \(n=5q\), alors \(5/ n\).
Si \(n=5q+1\), alors \(5/(n-1)\).
Si \(n=5q-1\), alors \(5/(n+1)\).
Si \(n=5q+2\), alors \[n^2+1=(5q+2)^2+1=25q^2+20q+5,\] donc \(5/(n^2+1)\).
Si \(n=5q-2\), de même \[n^2+1=25q^2-20q+5,\] donc \(5/(n^2+1)\).
Question 6 — En déduire que \(5/(n^5-n)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Dans tous les cas,
\[\boxed{5/(n^5-n)}.\]
Question 7 — Conclure que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(30/(n^5-n)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Le nombre \(n^5-n\) est donc un multiple commun de \(6\) et de \(5\). Or \(\mathrm{PPCM}(6;5)=30\). Ainsi
\[\boxed{30/(n^5-n)}.\]
Exercice 45
Niveau 3 — Approfondissement
Soit \(N\gt 1\) un entier naturel. On suppose que \(N\) possède exactement six diviseurs positifs. Écrivons \[N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\] où les \(p_i\) sont des nombres premiers distincts.
Question 1 — Montrer que le nombre de diviseurs positifs de \(N\) est \((\alpha_1+1)\cdots(\alpha_r+1)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Si \[N=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},\] alors chaque diviseur s’écrit \(p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}\) avec \(0\le\beta_i\le\alpha_i\). Il y a donc
diviseurs.
\[\boxed{(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_r+1)}\]
Question 2 — En utilisant \(6=6\) ou \(6=3\times2\), montrer que deux cas seulement sont possibles.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Ce produit vaut \(6\). Comme chaque facteur est au moins \(2\), les seules décompositions sont \[6\quad\text{ou}\quad3\times2.\]
Question 3 — Montrer que, dans le premier cas, \(N=p^5\), où \(p\) est premier.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
Dans le premier cas, il n’y a qu’un facteur premier et \[\alpha_1+1=6\quad\Longrightarrow\quad\alpha_1=5.\] Donc
\[\boxed{N=p^5}.\]
Question 4 — Montrer que, dans le second cas, \(N=p^2q\), où \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers distincts.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Un entier naturel \(p\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et \(p\). Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair.
Dans le second cas, il y a deux facteurs premiers distincts et \[\{\alpha_1+1,\alpha_2+1\}=\{3,2\}.\] Ainsi les exposants sont \(2\) et \(1\) :
avec \(p\ne q\) premiers.
\[\boxed{N=p^2q},\]
Question 5 — Réciproquement, vérifier que les nombres de chacune de ces deux formes possèdent exactement six diviseurs.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette étape sert à établir une identité ou une valeur qui sera utilisée ensuite. On remplace soigneusement les expressions par leurs définitions, on développe ou on simplifie, puis on contrôle que les deux membres coïncident exactement. Le calcul doit rester lisible afin que la justification puisse être réutilisée dans la suite.
Idée de résolution. Il s’agit d’un contrôle direct : on effectue le calcul sans détour, puis on met en évidence l’égalité obtenue. Cette vérification servira de base aux questions suivantes.
Si \(N=p^5\), ses diviseurs sont \[1,p,p^2,p^3,p^4,p^5,\] soit six diviseurs. Si \(N=p^2q\), ses diviseurs sont \[1,p,p^2,q,pq,p^2q,\] également six diviseurs.
Question 6 — Conclure.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Finalement
\[\boxed{N\text{ possède exactement six diviseurs}\iff N=p^5\text{ ou }N=p^2q,\ p\ne q\text{ premiers}.}\]
Exercice 46
Niveau 3 — Approfondissement
On considère \[N=2^a3^b5^c,\] avec \(a,b,c\in\mathbb N^{*}\). On sait que \(900/ N\), que \(N\) est un carré parfait et que \(N\) possède exactement \(45\) diviseurs positifs.
Question 1 — Décomposer \(900\) en produit de facteurs premiers.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Pour montrer qu’un entier n’est pas premier, il suffit donc de mettre en évidence une factorisation en deux facteurs strictement supérieurs à 1. Inversement, lorsqu’un nombre est annoncé premier, cette définition impose de fortes contraintes sur ses diviseurs.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
\[900=9\times100=\boxed{2^2 3^2 5^2}.\]
Question 2 — En déduire que \(a\ge2\), \(b\ge2\) et \(c\ge2\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Comme \(900/ N\),
\[\boxed{a\ge2,\ b\ge2,\ c\ge2}.\]
Question 3 — Puisque \(N\) est un carré parfait, montrer que \(a,b,c\) sont pairs.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Un carré parfait possède des exposants pairs dans sa décomposition première. Donc
\[\boxed{a,b,c\text{ sont pairs}}.\]
Question 4 — Montrer que \((a+1)(b+1)(c+1)=45\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Le nombre de diviseurs vaut \[(a+1)(b+1)(c+1)=45.\]
Question 5 — Utiliser \(45=3\times3\times5\) et les conditions précédentes pour déterminer toutes les possibilités pour \((a;b;c)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Les nombres \(a+1,b+1,c+1\) sont impairs et au moins égaux à \(3\). Or \[45=3\times3\times5.\] La seule possibilité est donc que \((a+1,b+1,c+1)\) soit une permutation de \((3,3,5)\). Ainsi
\[\boxed{(a;b;c)\text{ est une permutation de }(2;2;4)}.\]
Question 6 — En déduire toutes les valeurs possibles de \(N\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Les valeurs possibles sont \[2^4 3^2 5^2=3600,\] \[2^2 3^4 5^2=8100,\] \[2^2 3^2 5^4=22500.\]
Question 7 — Déterminer la plus petite puis la plus grande valeur possible de \(N\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Donc
\[\boxed{N_{\min}=3600,\qquad N_{\max}=22500}.\]
Exercice 47
Niveau 3 — Approfondissement
Soit \(n\in\mathbb N\). On pose \[P=n(n+1)(n+2)(n+3).\]
Question 1 — Montrer que \(P\) est divisible par \(3\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Parmi trois entiers consécutifs, l’un est divisible par \(3\). Le produit de quatre entiers consécutifs est donc divisible par \(3\) :
\[\boxed{3/ P}.\]
Question 2 — Montrer que \(P\) est divisible par \(8\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Parmi quatre entiers consécutifs, il y a deux nombres pairs, et l’un d’eux est divisible par \(4\). Le produit contient donc au moins les facteurs \(4\times2=8\) :
\[\boxed{8/ P}.\]
Question 3 — En déduire que \(24/ P\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Cette question est une conséquence directe des résultats précédents. Il faut donc réutiliser l’information déjà établie plutôt que recommencer le raisonnement depuis le début. On identifie l’égalité ou la divisibilité obtenue juste avant, puis on la traduit sous la forme demandée ici.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
Le nombre \(P\) est un multiple commun de \(3\) et de \(8\). Or \(\mathrm{PPCM}(3;8)=24\). Ainsi
\[\boxed{24/ P}.\]
Question 4 — Regrouper convenablement les facteurs pour montrer que \(P+1\) est un carré parfait.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La décomposition en facteurs premiers donne un critère très simple pour les carrés parfaits : tous les exposants doivent être pairs. Si un exposant est impair, il faut fournir exactement le facteur premier nécessaire pour le rendre pair. Cette observation permet à la fois de reconnaître un carré et de construire le plus petit multiplicateur convenable.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Posons \[t=n^2+3n.\] Alors \[n(n+3)=t,\] et \[(n+1)(n+2)=n^2+3n+2=t+2.\] Donc \[P=t(t+2)=t^2+2t.\] Ainsi \[P+1=t^2+2t+1=(t+1)^2.\]
Question 5 — Déterminer explicitement l’entier \(A\) tel que \(P+1=A^2\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
Finalement \[\boxed{P+1=(n^2+3n+1)^2},\] donc
\[\boxed{A=n^2+3n+1}.\]
Exercice 48
Niveau 3 — Approfondissement
On cherche les couples \((x;y)\in(\mathbb N^{*})^2\), avec \(x\le y\), tels que \[\frac1x+\frac1y=\frac16.\]
Question 1 — Montrer que nécessairement \(x\gt 6\) et \(y\gt 6\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
Comme \(x\le y\), on a \(1/x\ge1/y\). Si \(x\le6\), alors \(1/x\ge1/6\) et, puisque \(1/y\gt 0\), \[\frac1x+\frac1y\gt \frac16,\] contradiction. Donc \(x\gt 6\), puis \(y\ge x\gt 6\).
Question 2 — Transformer l’équation en \(xy=6x+6y\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On commence par traduire exactement la condition de l’énoncé en langage arithmétique. L’idée est d’exploiter les résultats précédents et les définitions du cours avant d’effectuer les calculs nécessaires. Cette démarche permet de justifier la conclusion sans introduire d’hypothèse supplémentaire.
Idée de résolution. On garde à chaque étape la signification arithmétique des expressions : diviseur, multiple, facteur premier, parité ou carré parfait. Cela permet de comprendre pourquoi le calcul effectué répond réellement à la question.
En multipliant par \(6xy\) : \[6y+6x=xy,\] donc
\[\boxed{xy=6x+6y}.\]
Question 3 — Montrer alors que \((x-6)(y-6)=36\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour démontrer l’assertion, on part uniquement des données déjà établies dans l’exercice et des propriétés du cours. On cherche une transformation qui fasse apparaître directement la divisibilité, la factorisation ou l’encadrement demandé. Chaque égalité intermédiaire doit avoir un rôle précis dans la conclusion.
Idée de résolution. On cherchera donc à faire apparaître explicitement la forme demandée. Une fois cette forme obtenue, la propriété visée devient immédiatement lisible et la conclusion peut être formulée sans ambiguïté.
\[xy-6x-6y=0.\] En ajoutant \(36\) aux deux membres : \[xy-6x-6y+36=36,\] d’où
\[\boxed{(x-6)(y-6)=36}.\]
Question 4 — Déterminer tous les couples de diviseurs positifs de \(36\) convenables.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La décomposition en facteurs premiers permet de compter les diviseurs sans les énumérer un à un. Si un facteur premier apparaît avec l’exposant \(\alpha\), l’exposant correspondant dans un diviseur peut prendre toutes les valeurs de \(0\) à \(\alpha\). Les choix étant indépendants pour les différents facteurs premiers, on multiplie les nombres de choix.
Idée de résolution. Comme l’énoncé demande toutes les solutions, on doit à la fois construire les candidats et vérifier qu’aucune autre possibilité ne subsiste. La vérification finale fait donc partie intégrante de la résolution.
Comme \(x\le y\), on a \(x-6\le y-6\). Les couples de diviseurs positifs de \(36\) sont \[(1;36),(2;18),(3;12),(4;9),(6;6).\]
Question 5 — En déduire tous les couples \((x;y)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour déterminer tous les couples, il ne suffit pas de trouver un exemple : il faut montrer que la liste est exhaustive. On part de la relation numérique déjà obtenue, on énumère méthodiquement les couples de facteurs compatibles, puis on élimine ceux qui ne respectent pas les conditions de l’énoncé. Cette organisation garantit qu’aucune solution n’est oubliée.
Idée de résolution. Le point important est le lien logique avec la question précédente : la nouvelle conclusion ne doit pas apparaître comme un calcul isolé, mais comme l’exploitation d’un résultat déjà prouvé.
En ajoutant \(6\) à chaque composante :
\[\boxed{(x;y)=(7;42),(8;24),(9;18),(10;15),(12;12)}.\]
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
Commentaires
Enregistrer un commentaire