Exercices MPM 1 à 5 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Série de perfectionnement MPM
Cette série MPM regroupe cinq exercices de synthèse consacrés au chapitre Continuité en 2e Bac Sciences Mathématiques. Elle ne se limite pas à l’application isolée d’une définition : chaque exercice demande de relier plusieurs résultats du cours dans un raisonnement organisé.
Les situations proposées permettent notamment de travailler la continuité en un point et sur un intervalle, la continuité des fonctions composées, la partie entière, les limites aux bornes d’un domaine, l’image d’un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires, les fonctions strictement monotones, les bijections et les fonctions réciproques.
Dans plusieurs questions, le calcul n’est qu’une étape du raisonnement. Il faut d’abord identifier la propriété adaptée, vérifier ses hypothèses, puis interpréter correctement le résultat obtenu. Cette démarche est particulièrement importante dans les problèmes d’existence, d’unicité et de détermination d’une fonction réciproque.
Avant de commencer cette série, il est utile de revoir les règles de continuité des fonctions usuelles et des opérations, la continuité d’une fonction composée, le théorème des valeurs intermédiaires, l’image d’un intervalle par une fonction continue strictement monotone ainsi que le théorème de la fonction réciproque.
Pour une fonction définie par morceaux, il faut également distinguer la continuité sur chaque intervalle de définition et la continuité au point de raccord entre les différentes expressions.
Exercice MPM 1
Ce premier exercice constitue une synthèse progressive d’une grande partie du chapitre. La fonction est d’abord donnée par deux expressions : une valeur particulière en \(0\) et un quotient pour \(x>0\). La première difficulté consiste donc à comprendre comment ces deux parties peuvent être raccordées de manière continue.
Une fois la continuité obtenue, l’étude s’étend à tout \([0,+\infty[\). On s’intéresse alors à la monotonie de la fonction, à son image et à la possibilité de la considérer comme une bijection. Cela permet ensuite d’aborder explicitement la fonction réciproque.
La dernière partie change légèrement de point de vue : il faut étudier une équation de point fixe \(f(x)=x\), justifier l’existence et l’unicité de sa solution, puis améliorer progressivement son encadrement. L’exercice relie ainsi continuité, monotonie, bijection et résolution d’équations.
La première transformation algébrique n’est pas indépendante des questions suivantes : elle donne une expression de \(f_a(x)\) beaucoup plus adaptée à l’étude de la limite en \(0\), puis de la continuité et de la monotonie. Dans la dernière question, pensez à transformer l’équation \(f(x)=x\) en un problème portant sur une fonction continue dont on pourra étudier le signe.
Soit \(a\in\mathbb R\). On définit la fonction \(f_a\) sur \([0,+\infty[\) par
\[ f_a(0)=a \qquad\text{et}\qquad f_a(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \quad\text{pour }x>0. \]1. Pour \(x>0\), montrer que
\[ f_a(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]2. Déterminer la valeur de \(a\) pour laquelle \(f_a\) est continue en \(0\). Dans toute la suite, on prend cette valeur et l’on note simplement \(f\) la fonction obtenue.
3. Montrer que \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([0,+\infty[\).
4. Déterminer l’intervalle \(J=f([0,+\infty[)\), puis montrer que
\[ f:[0,+\infty[\longrightarrow J \]réalise une bijection.
5. Déterminer explicitement \(f^{-1}(y)\) pour tout \(y\in J\).
6. On considère l’équation
\[ (E):\qquad f(x)=x. \](a) Montrer que \((E)\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0,+\infty[\).
(b) Vérifier que
\[ \frac25<\alpha<\frac12. \](c) Montrer que \(\alpha\) est l’unique solution dans \(]0,+\infty[\) de l’équation
\[ x^3+2x-1=0. \](d) En déduire l’encadrement plus précis
\[ 0,45<\alpha<0,46. \]Exercice MPM 2
Cet exercice introduit la fonction partie entière dans une étude de continuité. La présence de \(E(x)\) impose de ne pas traiter la fonction comme une expression algébrique ordinaire sur toute la droite réelle.
Sur chaque intervalle compris entre deux entiers consécutifs, la partie entière reste constante. En revanche, son comportement change lorsqu’on franchit un entier. L’exercice amène donc à distinguer soigneusement l’étude sur un intervalle ouvert \(]p,p+1[\) et l’étude au point entier \(p\).
La fin de l’exercice exploite directement l’encadrement naturel de \(x-E(x)\). Cet encadrement permet d’obtenir une information globale sur \(f(x)\), puis d’en déduire son comportement lorsque \(x\) devient très grand en valeur absolue.
Pour tout réel \(x\), la définition de la partie entière permet de situer \(x-E(x)\) dans un intervalle fixe. Cette propriété joue un rôle central dans le domaine de définition, dans l’encadrement demandé et dans l’étude des limites. Pour la continuité, séparez clairement le cas d’un entier du cas d’un point situé strictement entre deux entiers consécutifs.
On note \(E(x)\) la partie entière du réel \(x\). On considère la fonction \(f\) définie par
\[ f(x)=\sqrt{x-E(x)}-x. \]1. Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de \(f\).
2. Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation
\[ f(x)=0. \]3. Soit \(p\in\mathbb Z\).
a) Étudier la continuité de \(f\) en \(p\).
b) Étudier la continuité de \(f\) sur \(]p,p+1[\).
4. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ -x\le f(x)\le1-x. \]5. En déduire les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice MPM 3
Ici, la fonction est construite à partir de deux racines carrées. Avant toute étude de continuité ou de monotonie, il faut donc commencer par déterminer précisément les valeurs de \(x\) pour lesquelles chacune des deux expressions placées sous les racines est positive ou nulle.
Une partie importante de l’exercice porte ensuite sur les propriétés d’une fonction continue sur un segment. La continuité permet d’obtenir des bornes, tandis que la continuité associée à une monotonie stricte permet de déterminer l’image d’un intervalle et d’établir une bijection.
La dernière question demande enfin une existence. Elle invite à construire une fonction auxiliaire continue sur \([a,b]\), puis à utiliser les informations disponibles aux extrémités pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Dans cet exercice, ne commencez pas par calculer. Identifiez d’abord le domaine de chaque radical, puis leur intersection. Pour la question de bijection, distinguez bien deux étapes : établir la stricte monotonie, puis déterminer les valeurs prises aux extrémités de l’intervalle. Dans la dernière question, cherchez à ramener l’égalité demandée à l’annulation d’une fonction continue.
On considère la fonction numérique \(f\) définie par
\[ f(x)= \frac12 \left( \sqrt{\frac{2x}{x+1}} + \sqrt{2x-x^2} \right). \]1. Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de \(f\).
2. Justifier la continuité de \(f\) sur \(D_f\).
3. Montrer qu’il existe un couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que
\[ \forall x\in \left[\frac12,\frac32\right], \qquad 2\alpha \le \sqrt{\frac{2x}{x+1}} + \sqrt{2x-x^2} \le 2\beta. \]4. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
5. Soient \(a\) et \(b\) tels que
\[ 0\le a<b\le1. \]Montrer qu’il existe \(c\in[a,b]\) tel que
\[ f(c)=\frac{a-c}{a-2b+c}. \]Exercice MPM 4
Cet exercice demande une étude particulièrement attentive du domaine de définition. L’expression contient à la fois un quotient et deux racines carrées : les conditions provenant du dénominateur et des radicandes doivent donc être étudiées simultanément.
Après le domaine, l’objectif est d’analyser le comportement de la fonction aux différentes bornes de ses intervalles de définition. Selon la borne considérée, une même expression peut nécessiter une transformation différente avant que la limite puisse être déterminée.
Les deux dernières questions mettent ensuite en jeu des propriétés classiques de la continuité sur un segment : une fonction continue y est bornée et atteint ses bornes, et un changement de signe d’une fonction continue permet d’obtenir l’existence d’un réel vérifiant une équation.
Pour la première question, écrivez séparément toutes les conditions imposées par l’expression de \(f\), puis prenez leur intersection. Pour les limites, tenez compte du signe de \(x\) lorsque vous simplifiez une expression contenant \(\sqrt{x^2+2x}\). Dans les questions 3 et 4, repérez le segment sur lequel la continuité permet d’utiliser les théorèmes du cours.
On considère la fonction numérique \(f\) définie par
\[ f(x)= \frac{ \sqrt{1+\frac1x} - \sqrt{x^2+2x} }{x} -1. \]1. Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de \(f\).
2. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\).
3. Montrer qu’il existe un couple \((\alpha,\beta)\in\mathbb R^2\) tel que
\[ \forall x\in \left[\frac12,1\right], \qquad \alpha x \le \sqrt{1+\frac1x} - \sqrt{x^2+2x} \le \beta x. \]4. Montrer qu’il existe un réel
\[ c\in\left]\frac12,1\right[ \]tel que
\[ \sqrt{1+\frac1c} - \sqrt{c^2+2c} = c. \]Exercice MPM 5
Ce cinquième exercice propose une fonction définie par deux expressions différentes. La première utilise une racine cubique, tandis que la seconde fait intervenir la fonction \(\operatorname{Arctan}\). Il faut donc exploiter les propriétés de ces fonctions usuelles tout en respectant la séparation \(x\le1\) et \(x>1\).
L’étude de la continuité nécessite une attention particulière au point \(x=1\), qui constitue le point de raccord des deux branches. La question suivante demande ensuite de passer d’une étude locale sur chaque branche à une conclusion globale sur la monotonie de \(f\) sur toute la droite réelle.
Les deux dernières questions mettent directement en œuvre le théorème de la fonction réciproque. Après avoir déterminé l’image de \(\mathbb R\), il faudra résoudre séparément l’équation \(y=f(x)\) selon la branche à laquelle appartient l’antécédent.
Pour une fonction définie par morceaux, étudiez d’abord chaque branche sur son propre intervalle. Vérifiez ensuite ce qui se passe au point de raccord. Pour la bijection, la continuité seule ne suffit pas : il faut la combiner avec la stricte monotonie et avec les limites aux extrémités du domaine. Enfin, pour déterminer \(f^{-1}\), repérez quelle partie de l’image correspond à chacune des deux branches.
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{1-x^3}, & \text{si }x\le1,\\[2mm] 2\operatorname{Arctan} \left( \dfrac{2}{x+1}-1 \right), & \text{si }x>1. \end{cases} \]1. Calculer les limites
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x). \]2. Étudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb R\).
3. Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
4. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera.
5. Déterminer explicitement \(f^{-1}(y)\) pour tout \(y\in J\).
Ces cinq exercices montrent que la continuité intervient rarement seule. Elle est souvent associée à une transformation algébrique, à une étude de monotonie, à un encadrement, à la recherche d’une image ou à un problème d’existence.
Une bonne démarche consiste donc à commencer chaque question par trois vérifications : quel est l’intervalle étudié, quelle propriété du cours peut être utilisée et quelles hypothèses doivent être vérifiées avant son application.
Les corrections détaillées permettront ensuite de reprendre chaque question en explicitant le lien entre le cours, la stratégie choisie et les différentes étapes du calcul.
Professeur Hammou Boudraa
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