Exercices MPM 6 et 7 — Continuité
2e Bac Sciences Mathématiques — Problèmes de perfectionnement MPM
Les exercices MPM 6 et 7 prolongent la série précédente avec deux problèmes où la continuité intervient surtout comme un outil de raisonnement. Les calculs y occupent une place moins centrale : l’essentiel consiste à construire les bons objets intermédiaires, exploiter le théorème des valeurs intermédiaires et organiser une démonstration complète.
Dans le premier problème, on étudie une fonction continue qui prend la même valeur aux extrémités d’un segment. Cette situation conduit à comparer les valeurs de la fonction en deux points séparés par une distance fixée, puis à généraliser le résultat à une fonction périodique.
Le second problème associe continuité, point fixe, composition de fonctions et suites numériques. Il demande notamment d’exploiter l’hypothèse de commutation de deux fonctions et de construire une suite dont les propriétés permettent d’aboutir à une conclusion d’existence.
Ces deux exercices constituent donc un bloc de perfectionnement : ils demandent moins de calculs mécaniques et davantage de justification, d’enchaînement logique et de maîtrise des théorèmes du cours.
Les raisonnements de cette série utilisent principalement la continuité sur un intervalle et le théorème des valeurs intermédiaires. Une idée importante est qu’une fonction continue sur un intervalle ne peut pas passer d’une valeur strictement positive à une valeur strictement négative sans s’annuler.
Le second exercice demande aussi de mobiliser des résultats déjà connus sur les suites monotones et bornées, ainsi que la continuité lors d’un passage à la limite.
Exercice MPM 6
Cet exercice part d’une hypothèse très simple : une fonction continue prend la même valeur aux deux extrémités d’un segment. À partir de cette donnée, on introduit une famille de fonctions qui mesure la différence entre deux valeurs de \(f\) prises en des points séparés d’une distance déterminée.
Le cas \(n=2\) permet d’abord de comprendre le mécanisme sur deux sous-intervalles de même longueur. Le raisonnement est ensuite généralisé à un nombre quelconque de subdivisions du segment. L’objectif est alors de montrer qu’une certaine différence ne peut conserver partout un signe strict sans contredire l’égalité \(f(a)=f(b)\).
La dernière partie montre que le résultat obtenu n’est pas limité à un segment particulier. Grâce à la périodicité, il s’applique directement à une fonction continue sur \(\mathbb R\), puis à une fonction trigonométrique donnée.
Commencez par bien comprendre le rôle de \(\delta_n\) et de \(h_n\). Pour la généralisation, écrivez les valeurs de \(f\) aux points \(a,\ a+\delta_n,\ a+2\delta_n,\ldots,b\). Si toutes les différences successives avaient le même signe strict, quelle relation obtiendrait-on entre \(f(a)\) et \(f(b)\) ?
Soient \(a,b\in\mathbb R\) tels que \(a<b\) et
\[ f:[a,b]\longrightarrow\mathbb R \]une fonction continue vérifiant
\[ f(a)=f(b). \]Pour tout entier \(n\ge2\), on pose
\[ \delta_n=\frac{b-a}{n}, \qquad h_n(x)=f(x+\delta_n)-f(x), \qquad x\in[a,b-\delta_n]. \]1. Pour \(n=2\), montrer que
\[ h_2(a) = -h_2\left(\frac{a+b}{2}\right). \]En déduire qu’il existe
\[ c_2\in \left[a,\frac{a+b}{2}\right] \]tel que
\[ f(c_2) = f\left(c_2+\frac{b-a}{2}\right). \]2. Soit \(n\ge2\). Supposons que \(h_n\) ne s’annule pas sur \([a,b-\delta_n]\).
a) Montrer que \(h_n\) garde un signe constant sur cet intervalle.
b) En utilisant les points
\[ a,\quad a+\delta_n,\quad a+2\delta_n,\quad \ldots,\quad a+n\delta_n=b, \]montrer que \(h_n>0\) partout comme \(h_n<0\) partout conduisent à une contradiction.
En déduire que
\[ \exists c_n\in[a,b-\delta_n]: \qquad f(c_n)=f(c_n+\delta_n). \]3. Soit \(F:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction continue et périodique de période \(T>0\). Montrer que, pour tout entier \(n\ge2\), il existe
\[ x_n\in \left[0,T-\frac Tn\right] \]tel que
\[ F\left(x_n+\frac Tn\right)=F(x_n). \]4. Application. Pour
\[ \varphi(x) = \sin x+\cos(2x)+\frac13\sin(3x), \]montrer, sans résoudre d’équation, qu’il existe
\[ c\in \left[0,\frac{4\pi}{3}\right] \]tel que
\[ \varphi\left(c+\frac{2\pi}{3}\right) = \varphi(c). \]Exercice MPM 7
Ce dernier exercice étudie deux fonctions continues de \([0,1]\) dans lui-même qui vérifient une relation de commutation. Il commence par un problème classique de point fixe : montrer qu’une fonction continue de \([0,1]\) dans \([0,1]\) possède au moins un point \(x\) tel que \(f(x)=x\).
La relation \(f\circ g=g\circ f\) permet ensuite de transporter cette propriété d’un point à un autre. Une suite est alors construite par itérations successives de \(g\), et une récurrence permet d’établir que tous ses termes conservent une propriété particulière.
La dernière partie repose sur un raisonnement par l’absurde. Si les deux fonctions ne prenaient jamais la même valeur au même point, leur différence serait une fonction continue qui ne s’annule pas. Son signe imposerait alors une monotonie stricte à la suite construite précédemment. La convergence de cette suite et la continuité permettent finalement d’analyser cette hypothèse.
Les différentes questions sont fortement liées. Conservez les résultats déjà obtenus : le point fixe trouvé au début est utilisé pour construire la suite, et la relation de commutation permet de montrer que la propriété de point fixe se transmet d’un terme au suivant. Dans le raisonnement par l’absurde, étudiez d’abord le signe de \(f-g\) avant de chercher le comportement de la suite.
Soient
\[ f,g:[0,1]\longrightarrow[0,1] \]deux fonctions continues telles que
\[ f\circ g=g\circ f. \]On se propose de montrer que les courbes de \(f\) et de \(g\) possèdent au moins un point commun.
1. Montrer que l’équation
\[ f(x)=x \]admet au moins une solution
\[ a_0\in[0,1]. \]2. Soit \(a\in[0,1]\) tel que \(f(a)=a\). Montrer que \(g(a)\) est encore un point fixe de \(f\), c’est-à-dire
\[ f(g(a))=g(a). \]3. On fixe une solution \(a_0\) de \(f(x)=x\) et l’on définit la suite \((a_n)\) par
\[ a_{n+1}=g(a_n) \qquad(n\in\mathbb N). \]Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ a_n\in[0,1] \qquad\text{et}\qquad f(a_n)=a_n. \]4. Supposons, par l’absurde, que
\[ (\forall x\in[0,1]) \qquad f(x)\neq g(x). \]Posons
\[ h=f-g. \]a) Montrer que \(h\) garde un signe constant sur \([0,1]\).
b) Si \(f(x)>g(x)\) pour tout \(x\in[0,1]\), montrer que \((a_n)\) est strictement décroissante. En déduire qu’elle converge. Si \(\ell\) désigne sa limite, établir
\[ f(\ell)=g(\ell)=\ell, \]puis obtenir une contradiction.
c) Traiter de même le cas où \(f(x)<g(x)\) pour tout \(x\in[0,1]\).
5. Conclure qu’il existe au moins un réel
\[ c\in[0,1] \]tel que
\[ f(c)=g(c). \]Ces deux problèmes montrent que le théorème des valeurs intermédiaires peut être utilisé sans rechercher explicitement les solutions d’une équation. Il permet aussi de transformer une hypothèse de non-annulation en une information sur le signe d’une fonction continue.
Une autre idée importante est la construction d’une fonction ou d’une suite auxiliaire. Ces objets ne sont pas ajoutés artificiellement : ils permettent de traduire la question initiale sous une forme adaptée aux propriétés déjà connues du cours.
Dans les corrections détaillées, chaque construction sera reliée explicitement au résultat du cours qui la justifie et aux hypothèses nécessaires pour l’appliquer.
Professeur Hammou Boudraa
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