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Correction de l’exercice 22 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction de l’exercice 22 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Lecture de la monotonie d’une courbe, étude du signe de f' et tableaux de variations décrits intégralement en texte.

La lecture graphique met en relation la forme de la courbe, les tangentes et les nombres dérivés. Une valeur de la fonction se lit sur la courbe, tandis qu’une dérivée se lit comme la pente d’une tangente ; ces deux informations doivent être distinguées.

Pour résoudre une inégalité portant sur la dérivée, on repère les portions croissantes ou décroissantes et les tangentes horizontales. On précise les abscisses où seule une demi-tangente existe ou où aucune dérivée finie n’est disponible.

Repère de cours — Dérivation et monotonie

Le signe de la dérivée indique le sens des variations sur chaque intervalle de dérivabilité. Ne pas confondre signe de f' et signe de f ; séparer les intervalles de définition.

Exercice 22 — Lecture d’une courbe et tangentes

Énoncé. Sur la courbe fournie dans le manuel pour x ∈ [−3;3], déterminer les extrema, limites de quotients, signe de f', variations et tangentes.
-3-2-1123-2-1123xyO
Schéma PMM original, redessiné pour accompagner les lectures graphiques. Les valeurs sont celles du repère du manuel ; ce tracé n’est pas une définition analytique de f.
Méthode. La courbe est étudiée à partir des tangentes tracées et des variations : tangente horizontale aux deux extrema, tangente oblique en x=2 et demi-tangente verticale en x=−3.

Question 1

Résoudre \(f'(x)=0\).
Méthode et stratégie.

Chercher sur le graphique les tangentes horizontales aux seuls points où la dérivée existe.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Les tangentes sont horizontales aux abscisses du minimum local \(-2\) et du maximum local \(1\).

\[\boxed{x\in\{-2;1\}}\]
Ces deux points sont des extrema locaux intérieurs à tangente horizontale.

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Question 2

Calculer les limites \(\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}\), \(\lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}\) et \(\lim_{x\to-3^+}\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}\).
Méthode et stratégie.

Reconnaître les quotients de dérivabilité aux points indiqués et lire le coefficient directeur du côté concerné.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le graphique donne \(f(2)=0\). La première expression peut donc s’écrire \(\frac{(f(x)-f(2))}{(x-2)}\). Sa limite est le coefficient directeur de la tangente en 2, égal à −1 :

\[\boxed{\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=f'(2)=-1}.\]

En −2, la tangente est horizontale. Le taux d’accroissement en ce point a donc pour limite 0 :

\[\boxed{\lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=f'(-2)=0}.\]

En −3, la courbe possède à droite une demi-tangente verticale descendante. Pour \(x\gt-3\) assez proche de −3, \(f(x)-f(-3)\lt0\) et \(x+3\gt0\), ce qui fixe le signe négatif des taux d’accroissement. On lit ainsi

\[\boxed{\lim_{x\to-3^+}\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}=-\infty}.\]

Cette dernière limite décrit une demi-tangente verticale ; elle n’est pas un nombre dérivé réel.

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Question 3a

Résoudre \(f'(x)\geqslant0\) sur \([-3;3]\).
Méthode et stratégie.

Lire le signe des pentes, pas celui des ordonnées ; exclure les points où il n’existe pas de dérivée finie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour résoudre \(f'(x)\ge0\), on recherche les portions où la tangente a une pente positive ou nulle. On inclut les extrema à tangente horizontale, mais on exclut les points où aucune dérivée finie n’existe. La lecture doit porter sur les pentes, pas sur le signe des ordonnées.

La courbe est croissante entre le minimum d’abscisse \(-2\) et le maximum d’abscisse \(1\). Aux deux extrema, la dérivée s’annule. Ailleurs, là où elle existe, elle est négative. L’ensemble des solutions est donc :

\[\boxed{S=[-2;1]}.\]

En \(-3\), la demi-tangente est verticale : aucune dérivée finie n’y est utilisée.

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Question 3b

Décrire les variations de \(f\).
Méthode et stratégie.

Lire les phases de montée et de descente de la courbe indépendamment de l’existence d’une dérivée aux raccords.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La courbe décroît de \(-3\) à \(-2\), croît de \(-2\) à \(1\), puis décroît de \(1\) à \(3\).

\[\boxed{\searrow[-3;-2],\ \nearrow[-2;1],\ \searrow[1;3]}\]

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Question 4

Écrire les équations des tangentes en 1 et en 2.
Méthode et stratégie.

Pour chaque abscisse a, lire f(a) et la pente de la tangente, puis utiliser y=f(a)+f′(a)(x−a).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En 1, on lit \(f(1)=2\) et \(f'(1)=0\), donc la tangente est \(y=2\). En 2, on lit \(f(2)=0\) et \(f'(2)=-1\) : l’équation est \(y-0=-1(x-2)\).

\[\boxed{T_1:y=2\qquad T_2:y=-x+2}\]

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