Correction de l’exercice 48 — Limites et continuité — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Continuité • Théorème des valeurs intermédiaires

Le tableau de variations d'une fonction permet de déterminer le nombre de solutions d'une équation sans nécessairement connaître l'expression de cette fonction.

Dans cet exercice, nous utilisons la continuité, la stricte monotonie et les limites aux bornes pour justifier rigoureusement le nombre de solutions.

Repère de cours — Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors chaque valeur appartenant à son image \(f(I)\) possède un unique antécédent dans \(I\).

Pour résoudre \(f(x)=\lambda\), on cherche donc combien de branches du tableau prennent la valeur \(\lambda\).

Attention : une limite à une borne exclue n'est pas nécessairement une valeur atteinte par la fonction.

Exercice 48 — Tableau de variations et nombre de solutions

Soit \(f\) une fonction numérique continue sur chacun des intervalles \(]-\infty;2[\) et \(]2;+\infty[\), dont le tableau de variations est donné ci-dessous.

1) Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\).

2) Même question pour les équations :

\[ \begin{array}{ll} \text{a)}&f(x)=3,\\[2mm] \text{b)}&f(x)=-2,\\[2mm] \text{c)}&f(x)=7. \end{array} \]

Méthode — Découper selon les variations

Le tableau donne trois branches strictement monotones. Leurs images respectives sont :

\[ \begin{aligned} f(]-\infty;0])&=]-2;4],\\ f([0;2[)&=]-\infty;4],\\ f(]2;+\infty[)&=]0;+\infty[. \end{aligned} \]

Ces résultats découlent de la continuité, des variations et des limites indiquées dans le tableau.

Une valeur appartenant à l'image d'une branche y est atteinte une seule fois, puisque la fonction est strictement monotone sur cette branche.

Le point \(x=0\) figure dans deux branches adjacentes. Comme \(f(0)=4\), cela ne crée pas de double comptage pour les quatre équations étudiées.

Question 1

Déterminer le nombre de solutions de l'équation :

\[ f(x)=0. \]

Méthode et stratégie.

Lire séparément chaque branche strictement monotone du tableau ; 0 doit appartenir à son intervalle image, avec les bonnes bornes.

Afficher la réponse + Masquer la réponse −

Étudions successivement les trois branches du tableau.

Première branche : \(]-\infty;0]\).

La fonction est continue et strictement croissante. De plus :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-2, \qquad f(0)=4. \]

Comme \(-2\lt0\lt4\), la valeur \(0\) appartient à l'image de cette branche. Elle possède donc exactement un antécédent dans \(]-\infty;0[\).

Deuxième branche : \([0;2[\).

La fonction est continue et strictement décroissante, avec :

\[ f(0)=4,\qquad \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty. \]

Elle prend donc la valeur \(0\) une seule fois dans \(]0;2[\).

Troisième branche : \(]2;+\infty[\).

La fonction est strictement décroissante, de la limite \(+\infty\) vers la limite \(0\). Pour tout \(x>2\), on a donc \(f(x)>0\). L'équation n'a aucune solution sur cette branche.

\[ \boxed{ f(x)=0\text{ admet exactement deux solutions.} } \]

Géométriquement, la droite horizontale d'équation \(y=0\), c'est-à-dire l'axe des abscisses, coupe la courbe deux fois.

Question 2.a

Déterminer le nombre de solutions de :

\[ f(x)=3. \]

Méthode et stratégie.

Comparer le niveau 3 à l’image de chaque branche ; compter au plus une solution par branche et éviter les doubles comptes aux raccords.

Afficher la réponse + Masquer la réponse −

La valeur \(3\) est située strictement entre \(-2\) et \(4\).

\[ -2\lt3\lt4. \]

Sur \(]-\infty;0]\), la fonction est continue et strictement croissante : elle prend donc la valeur \(3\) exactement une fois.

Sur \([0;2[\), elle est continue et strictement décroissante, de \(4\) vers \(-\infty\). Elle prend également la valeur \(3\) exactement une fois.

Enfin, sur \(]2;+\infty[\), la fonction décroît de la limite \(+\infty\) vers la limite \(0\). Comme \(3>0\), elle prend encore cette valeur exactement une fois.

Nous obtenons ainsi trois solutions distinctes, une sur chaque branche.

\[ \boxed{ f(x)=3\text{ admet exactement trois solutions.} } \]

La droite horizontale \(y=3\) rencontre chacune des trois branches de la courbe en un point.

Question 2.b

Déterminer le nombre de solutions de :

\[ f(x)=-2. \]

Méthode et stratégie.

Le niveau −2 peut être une borne atteinte ou une simple limite ; contrôler ce détail avant de compter les solutions.

Afficher la réponse + Masquer la réponse −

Cette question demande une attention particulière : le nombre \(-2\) est une limite à gauche du tableau, et non une valeur atteinte sur la première branche.

Sur \(]-\infty;0]\) :

La fonction est strictement croissante et sa limite en \(-\infty\) vaut \(-2\). Ainsi, pour tout \(x\leq0\) :

\[ f(x)>-2. \]

Il n'existe donc aucune solution sur cette branche.

Sur \([0;2[\) :

La fonction décroît continûment de \(4\) vers \(-\infty\). Comme \(-2\lt4\), elle atteint la valeur \(-2\) exactement une fois.

Sur \(]2;+\infty[\) :

Toutes les valeurs prises par la fonction sont strictement positives. L'équation \(f(x)=-2\) n'y admet donc aucune solution.

\[ \boxed{ f(x)=-2\text{ admet une unique solution.} } \]

La limite d'une fonction n'est pas nécessairement une valeur prise par celle-ci. Il ne faut donc pas compter une solution simplement parce que le nombre \(-2\) apparaît au bord du tableau.

Question 2.c

Déterminer le nombre de solutions de :

\[ f(x)=7. \]

Méthode et stratégie.

Vérifier si le niveau 7 appartient à l’une des images de branches indiquées par le tableau.

Afficher la réponse + Masquer la réponse −

Sur tout l'intervalle \(]-\infty;2[\), la plus grande valeur de \(f\) est \(f(0)=4\). Comme :

\[ 7>4, \]

l'équation \(f(x)=7\) n'admet aucune solution à gauche de \(2\).

Sur \(]2;+\infty[\), la fonction est continue et strictement décroissante, avec :

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

Puisque \(7\in]0;+\infty[\), la valeur \(7\) appartient à l'image de cette branche.

La continuité garantit l'existence d'un antécédent de \(7\), et la stricte décroissance garantit son unicité.

\[ \boxed{ f(x)=7\text{ admet une unique solution.} } \]

La droite \(y=7\) coupe uniquement la branche située à droite de \(x=2\).

Ce qu'il faut retenir

Pour déterminer graphiquement ou à partir d'un tableau de variations le nombre de solutions d'une équation \(f(x)=\lambda\), il faut :

1. Repérer les intervalles de stricte monotonie.
2. Déterminer les valeurs prises par la fonction sur chacun.
3. Vérifier si \(\lambda\) appartient à chaque image.
4. Compter une solution par branche lorsque la valeur y est atteinte.
5. Faire attention aux limites associées à des bornes exclues.

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccc} \text{Équation} &f(x)=0&f(x)=3&f(x)=-2&f(x)=7\\ \hline \text{Solutions} &2&3&1&1 \end{array} } \]

PARCOURS MATHS MAROC — PMM

Professeur Hammou Boudraa

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