Correction des exercices 01 à 04 — Structures algébriques — Al Moufid

Correction des exercices 01 à 04 — Structures algébriques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

Ces quatre premiers exercices d’application installent les réflexes essentiels pour travailler avec une structure de groupe. Il ne suffit pas qu’une opération ressemble à une addition ou à une multiplication connue : il faut vérifier précisément les conditions imposées par la définition. Selon la situation, on devra donc établir la stabilité, l’associativité, déterminer l’élément neutre, rechercher le symétrique de chaque élément et, lorsque cela est demandé, étudier la commutativité. Le troisième exercice introduit aussi un changement de stratégie : une fois le groupe principal établi, il devient plus efficace d’utiliser le critère caractéristique d’un sous-groupe plutôt que de recommencer tous les axiomes. L’objectif est ainsi d’apprendre à reconnaître la méthode adaptée avant de commencer les calculs.

Exercice 01 Exercice 02 Exercice 03 Exercice 04

Exercice 01 — Loi interne et groupe commutatif

Énoncé.

Soit :

\[ E=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\mid x^2-y^2=1\right\}. \]

Pour tout \((x;y)\in E\) et \((x';y')\in E\), on pose :

\[ (x;y)\,T\,(x';y') = \left(xx'+yy'\,;\,xy'+yx'\right). \]

1) Montrer que \(T\) est une loi de composition interne dans \(E\).

2) Montrer que \((E;T)\) est un groupe commutatif.

Repère de cours — Définition d’un groupe.

Pour montrer qu’un ensemble \(G\), muni d’une loi interne \(T\), est un groupe, il faut vérifier :

• l’associativité de la loi ;
• l’existence d’un élément neutre dans \(G\) ;
• l’existence, pour tout élément de \(G\), d’un symétrique appartenant à \(G\).

Si la loi est en plus commutative, alors le groupe est commutatif. Dans cet exercice, aucun groupe connu n’est proposé pour utiliser un critère plus court : on revient donc directement à la définition.

Question 1 — Stabilité de la loi

Montrer que \(T\) est une loi de composition interne dans \(E\).

Méthode.

Pour montrer que la loi est interne, on choisit deux éléments quelconques de \(E\), on calcule leur image par \(T\), puis on vérifie que le couple obtenu satisfait encore la condition caractéristique \(X^2-Y^2=1\).

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Soient \((x;y)\in E\) et \((x';y')\in E\). Par définition de \(E\),

\[ x^2-y^2=1 \qquad\text{et}\qquad x'^2-y'^2=1. \]

Posons :

\[ (X;Y)=(x;y)\,T\,(x';y'), \]

c’est-à-dire :

\[ X=xx'+yy', \qquad Y=xy'+yx'. \]

Pour savoir si \((X;Y)\) appartient à \(E\), calculons \(X^2-Y^2\) :

\[ \begin{aligned} X^2-Y^2 &=(xx'+yy')^2-(xy'+yx')^2\\ &=x^2x'^2+2xx'yy'+y^2y'^2\\ &\quad-x^2y'^2-2xy'yx'-y^2x'^2. \end{aligned} \]

Les deux termes croisés sont égaux et s’annulent. On obtient :

\[ \begin{aligned} X^2-Y^2 &=x^2(x'^2-y'^2)-y^2(x'^2-y'^2)\\ &=(x^2-y^2)(x'^2-y'^2). \end{aligned} \]

Or :

\[ x^2-y^2=1 \qquad\text{et}\qquad x'^2-y'^2=1. \]

Donc :

\[ X^2-Y^2=1. \]

\[ \boxed{(x;y)\,T\,(x';y')\in E} \]

Ainsi, \(T\) est une loi de composition interne dans \(E\).

Le calcul essentiel consiste à faire réapparaître la relation \(x^2-y^2=1\). Lorsqu’un ensemble est défini par une condition algébrique, prouver la stabilité revient généralement à montrer que cette condition est conservée par la loi.

Question 2 — Structure de groupe

Montrer que \((E;T)\) est un groupe commutatif.

Stratégie.

La question précédente fournit déjà la stabilité. Il reste donc à vérifier successivement l’associativité, l’existence d’un élément neutre, l’existence d’un symétrique pour tout élément, puis la commutativité. Pour le neutre et le symétrique, on distingue la recherche du candidat de sa vérification.

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1. Associativité.

Soient \((x;y),(x';y'),(x'';y'')\in E\).

D’une part :

\[ \begin{aligned} &\big((x;y)T(x';y')\big)T(x'';y'')\\ &= \Big( xx'x''+yy'x''+xy'y''+yx'y''\,;\\ &\qquad xx'y''+yy'y''+xy'x''+yx'x'' \Big). \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} &(x;y)T\big((x';y')T(x'';y'')\big)\\ &= \Big( xx'x''+xy'y''+yx'y''+yy'x''\,;\\ &\qquad xx'y''+xy'x''+yx'x''+yy'y'' \Big). \end{aligned} \]

Les coordonnées obtenues sont les mêmes. Ainsi :

\[ \big((x;y)T(x';y')\big)T(x'';y'') = (x;y)T\big((x';y')T(x'';y'')\big). \]

Donc \(T\) est associative.

2. Élément neutre.

Le couple \((1;0)\) appartient à \(E\), puisque :

\[ 1^2-0^2=1. \]

Pour tout \((x;y)\in E\) :

\[ (x;y)T(1;0) =(x;y) \]

et :

\[ (1;0)T(x;y) =(x;y). \]

Donc l’élément neutre est :

\[ e=(1;0). \]

3. Symétrique d’un élément.

Soit \((x;y)\in E\). Le couple \((x;-y)\) appartient lui aussi à \(E\), car :

\[ x^2-(-y)^2=x^2-y^2=1. \]

De plus :

\[ \begin{aligned} (x;y)T(x;-y) &=(x^2-y^2\,;\,-xy+yx)\\ &=(1;0). \end{aligned} \]

Par commutation des produits réels, on obtient également :

\[ (x;-y)T(x;y)=(1;0). \]

Ainsi :

\[ (x;y)^{-1_T}=(x;-y). \]

4. Commutativité.

Pour tous \((x;y),(x';y')\in E\) :

\[ \begin{aligned} (x;y)T(x';y') &=(xx'+yy'\,;\,xy'+yx')\\ &=(x'x+y'y\,;\,x'y+y'x)\\ &=(x';y')T(x;y). \end{aligned} \]

\[ \boxed{(E;T)\text{ est un groupe commutatif}} \]

La conclusion n’est obtenue qu’après vérification de toutes les conditions de la définition. La question 1 n’était donc pas indépendante : elle fournissait précisément la stabilité nécessaire avant l’étude de la structure de groupe.

Exercice 02 — Une loi définie sur \(]-1,1[\)

Énoncé.

On considère l’intervalle \(I=]-1,1[\) de \(\mathbb R\).

1) Montrer que :

\[ \forall(a;b)\in I^2,\qquad -1\lt\frac{a+b}{1+ab}\lt1. \]

2) On définit sur \(I\) une loi de composition interne \(*\) par :

\[ \forall(a;b)\in I^2,\qquad a*b=\frac{a+b}{1+ab}. \]

Montrer que \((I;*)\) est un groupe commutatif.

Repère de cours.

Le manuel utilise, dans la partie consacrée aux exemples de groupes, la même démarche pour une loi de la forme \(\dfrac{u+v}{1+\lambda uv}\) : commencer par vérifier que le résultat reste dans l’intervalle étudié, puis contrôler les propriétés du groupe.

Ici, la première question n’est donc pas un calcul isolé : elle sert précisément à établir la stabilité de \(I\) pour la loi \(*\).

Question 1 — Encadrement

Montrer que : \[ -1\lt\frac{a+b}{1+ab}\lt1 \] pour tout \((a;b)\in I^2\).

Méthode.

Avant de multiplier une inégalité par \(1+ab\), il faut déterminer son signe. Puis les deux inégalités recherchées se ramènent aux produits \((1-a)(1-b)\) et \((1+a)(1+b)\), dont le signe est immédiat puisque \(a\) et \(b\) appartiennent à \(]-1,1[\).

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Puisque \(a,b\in]-1,1[\), on a :

\[ -1\lt ab\lt1. \]

En particulier :

\[ 1+ab\gt0. \]

On peut donc multiplier les inégalités par \(1+ab\) sans en changer le sens.

Majoration par \(1\).

\[ \frac{a+b}{1+ab}\lt1 \iff a+b\lt1+ab. \]

Or :

\[ 1+ab-a-b=(1-a)(1-b). \]

Comme \(a\lt1\) et \(b\lt1\),

\[ (1-a)(1-b)\gt0. \]

Donc :

\[ \frac{a+b}{1+ab}\lt1. \]

Minoration par \(-1\).

\[ -1\lt\frac{a+b}{1+ab} \iff -1-ab\lt a+b. \]

Cette dernière inégalité équivaut à :

\[ 1+a+b+ab\gt0. \]

Or :

\[ 1+a+b+ab=(1+a)(1+b). \]

Comme \(a\gt-1\) et \(b\gt-1\),

\[ (1+a)(1+b)\gt0. \]

\[ \boxed{ -1\lt\frac{a+b}{1+ab}\lt1 } \]

On vient de montrer que, pour \(a,b\in I\), la valeur \(a*b\) appartient encore à \(I\). Cette question établit donc exactement la stabilité nécessaire pour définir la loi interne.

Question 2 — Montrer que \((I;*)\) est un groupe commutatif

Stratégie.

La stabilité vient de la question 1. Il suffit donc maintenant de vérifier l’associativité, de déterminer le neutre et le symétrique d’un élément, puis de contrôler la commutativité.

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1. Associativité.

Soient \(a,b,c\in I\).

D’après la question précédente, \(a*b\in I\) et \(b*c\in I\). Les expressions suivantes sont donc bien définies.

\[ \begin{aligned} (a*b)*c &= \frac{\dfrac{a+b}{1+ab}+c} {1+c\dfrac{a+b}{1+ab}}\\[1mm] &= \frac{a+b+c+abc} {1+ab+ac+bc}. \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} a*(b*c) &= \frac{a+\dfrac{b+c}{1+bc}} {1+a\dfrac{b+c}{1+bc}}\\[1mm] &= \frac{a+b+c+abc} {1+ab+ac+bc}. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ (a*b)*c=a*(b*c). \]

La loi \(*\) est associative.

2. Élément neutre.

On a \(0\in I\), et pour tout \(a\in I\) :

\[ a*0=\frac{a}{1}=a \]

et :

\[ 0*a=a. \]

Donc :

\[ e=0. \]

3. Symétrique.

Si \(a\in I\), alors \(-a\in I\). De plus :

\[ a*(-a) = \frac{a-a}{1-a^2} =0. \]

Comme \(|a|\lt1\), on a \(1-a^2\gt0\), donc le quotient est bien défini.

De même :

\[ (-a)*a=0. \]

Ainsi :

\[ a^{-1_*}=-a. \]

4. Commutativité.

Pour tous \(a,b\in I\) :

\[ a*b = \frac{a+b}{1+ab} = \frac{b+a}{1+ba} = b*a. \]

\[ \boxed{(I;*)\text{ est un groupe commutatif}} \]

L’ordre des questions révèle la méthode : on établit d’abord la stabilité de l’intervalle, puis on vérifie les autres axiomes. Le résultat de la question 1 doit donc être réutilisé et non redémontré pendant l’étude du groupe.

Exercice 03 — Groupe puis sous-groupe

Énoncé.

On définit sur l’ensemble \(G=\mathbb R^*\times\mathbb R\) une loi de composition interne par :

\[ (a;b)*(c;d)=(ac\,;\,bc+d). \]

1) Montrer que \((G;*)\) est un groupe.

2) On considère l’ensemble :

\[ H=\left\{(1;x)\in G\mid x\in\mathbb R\right\}. \]

Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \((G;*)\).

Repère de cours — Critère de sous-groupe.

Une fois qu’un groupe \((G;*)\) est connu, le cours permet de montrer plus efficacement qu’une partie non vide \(H\) est un sous-groupe en vérifiant :

\[ \forall(u;v)\in H^2,\qquad u*v^{-1}\in H. \]

Cette méthode évite de recommencer séparément l’associativité, la recherche du neutre et celle des symétriques dans \(H\). Il faut cependant établir d’abord que \((G;*)\) est réellement un groupe.

Question 1 — Montrer que \((G;*)\) est un groupe

Méthode.

L’énoncé donne déjà une loi interne. On vérifie donc les trois points structuraux restants : associativité, neutre et symétrique. Pour déterminer le symétrique de \((a;b)\), on résout l’équation \((a;b)*(c;d)=e\), puis on vérifie le produit dans l’autre sens.

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1. Stabilité.

Soient \((a;b),(c;d)\in G\). Comme \(a\neq0\) et \(c\neq0\), on a :

\[ ac\neq0. \]

Ainsi :

\[ (ac\,;\,bc+d)\in\mathbb R^*\times\mathbb R=G. \]

2. Associativité.

Soient \((a;b),(c;d),(u;v)\in G\).

D’une part :

\[ \begin{aligned} \big((a;b)*(c;d)\big)*(u;v) &=(ac\,;\,bc+d)*(u;v)\\ &=(acu\,;\,(bc+d)u+v)\\ &=(acu\,;\,bcu+du+v). \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} (a;b)*\big((c;d)*(u;v)\big) &=(a;b)*(cu\,;\,du+v)\\ &=(acu\,;\,bcu+du+v). \end{aligned} \]

Donc :

\[ \big((a;b)*(c;d)\big)*(u;v) = (a;b)*\big((c;d)*(u;v)\big). \]

La loi \(*\) est associative.

3. Élément neutre.

Cherchons un couple \((\alpha;\beta)\) qui laisse tout \((a;b)\in G\) inchangé.

Le couple \((1;0)\) convient, puisque :

\[ (a;b)*(1;0) =(a\,;\,b) \]

et :

\[ (1;0)*(a;b) =(a\,;\,b). \]

Ainsi :

\[ e=(1;0). \]

4. Symétrique.

Soit \((a;b)\in G\). Cherchons \((c;d)\in G\) tel que :

\[ (a;b)*(c;d)=(1;0). \]

On obtient :

\[ \begin{cases} ac=1,\\ bc+d=0. \end{cases} \]

Comme \(a\neq0\) :

\[ c=\frac1a, \qquad d=-\frac ba. \]

Le candidat est donc :

\[ \left(\frac1a\,;\,-\frac ba\right). \]

Il appartient bien à \(G\), car \(1/a\neq0\). Vérifions maintenant l’autre sens :

\[ \begin{aligned} \left(\frac1a;-\frac ba\right)*(a;b) &= \left( 1\,;\, -\frac ba\,a+b \right)\\ &=(1;0). \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ (a;b)^{-1} = \left(\frac1a\,;\,-\frac ba\right). \]

\[ \boxed{(G;*)\text{ est un groupe}} \]

La forme du symétrique dépend entièrement de la loi étudiée : ce n’est ni l’opposé usuel du couple ni son inverse composante par composante. Il faut partir de la définition relativement à l’élément neutre de cette loi.

Question 2 — Montrer que \(H\) est un sous-groupe

Méthode du cours.

La question 1 a établi que \((G;*)\) est un groupe. Il serait donc inutile de recommencer tous les axiomes sur \(H\). On utilise directement le critère caractéristique du sous-groupe : \(H\neq\varnothing\) et, pour \(h,k\in H\), vérifier que \(h*k^{-1}\in H\).

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D’abord :

\[ (1;0)\in H. \]

Donc \(H\neq\varnothing\).

Soient maintenant :

\[ h=(1;x)\in H \qquad\text{et}\qquad k=(1;y)\in H. \]

D’après la formule du symétrique obtenue à la question précédente :

\[ k^{-1} = (1;-y). \]

Calculons :

\[ \begin{aligned} h*k^{-1} &=(1;x)*(1;-y)\\ &=(1\,;\,x-y). \end{aligned} \]

Or \(x-y\in\mathbb R\). Par conséquent :

\[ (1\,;\,x-y)\in H. \]

\[ \boxed{H\text{ est un sous-groupe de }(G;*)} \]

Cet exercice illustre un réflexe important : lorsqu’on travaille dans un groupe déjà connu, le critère de sous-groupe est généralement plus efficace que la reprise complète de la définition d’un groupe.

Exercice 04 — Groupe non commutatif

Énoncé.

On considère l’ensemble \(E=\mathbb R^*\times\mathbb R\). On définit sur \(E\) une loi de composition interne \(*\) par :

\[ (x;y)*(z;t) = \left(xz\,;\,xt+z^ny\right), \]

où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

Montrer que \((E;*)\) est un groupe non commutatif.

Repère de cours.

Pour établir qu’un groupe est non commutatif, il faut distinguer deux tâches : d’abord prouver qu’il s’agit réellement d’un groupe, puis montrer que la commutativité échoue.

Pour démontrer une propriété universelle comme la commutativité, il faudrait travailler avec des éléments arbitraires. En revanche, pour montrer qu’elle est fausse, un seul contre-exemple correctement choisi suffit.

Montrer que \((E;*)\) est un groupe non commutatif

Stratégie.

On vérifie d’abord les axiomes du groupe : stabilité, associativité, élément neutre et symétrique. Une attention particulière doit être portée au symétrique, car sa seconde coordonnée dépend de \(n\). Une fois la structure de groupe acquise, on choisira deux éléments simples de \(E\) dont les produits dans les deux ordres sont différents.

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1. Stabilité.

Soient \((x;y),(z;t)\in E\). Comme \(x\neq0\) et \(z\neq0\),

\[ xz\neq0. \]

La seconde coordonnée \(xt+z^ny\) est réelle. Ainsi :

\[ (xz\,;\,xt+z^ny)\in\mathbb R^*\times\mathbb R=E. \]

La loi est donc bien interne, conformément à l’énoncé.

2. Associativité.

Soient \((x;y),(z;t),(u;v)\in E\).

D’une part :

\[ \begin{aligned} \big((x;y)*(z;t)\big)*(u;v) &=(xz\,;\,xt+z^ny)*(u;v)\\ &= \left( xzu\,;\, xzv+u^n(xt+z^ny) \right)\\ &= \left( xzu\,;\, xzv+xu^nt+u^nz^ny \right). \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} (x;y)*\big((z;t)*(u;v)\big) &=(x;y)*(zu\,;\,zv+u^nt)\\ &= \left( xzu\,;\, x(zv+u^nt)+(zu)^ny \right)\\ &= \left( xzu\,;\, xzv+xu^nt+z^nu^ny \right). \end{aligned} \]

Comme la multiplication réelle est commutative,

\[ u^nz^n=z^nu^n. \]

Donc :

\[ \big((x;y)*(z;t)\big)*(u;v) = (x;y)*\big((z;t)*(u;v)\big). \]

La loi \(*\) est associative.

3. Élément neutre.

Le couple \((1;0)\) appartient à \(E\). Pour tout \((x;y)\in E\) :

\[ \begin{aligned} (x;y)*(1;0) &=(x\,;\,1^ny)\\ &=(x;y), \end{aligned} \]

et :

\[ \begin{aligned} (1;0)*(x;y) &=(x\,;\,y+x^n\cdot0)\\ &=(x;y). \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ e=(1;0). \]

4. Symétrique.

Soit \((x;y)\in E\). Cherchons \((z;t)\in E\) tel que :

\[ (x;y)*(z;t)=(1;0). \]

Cette égalité donne :

\[ \begin{cases} xz=1,\\ xt+z^ny=0. \end{cases} \]

Comme \(x\neq0\),

\[ z=\frac1x. \]

Puis :

\[ xt+\frac{y}{x^n}=0, \]

d’où :

\[ t=-\frac{y}{x^{n+1}}. \]

Le candidat est donc :

\[ \left( \frac1x\,;\,-\frac{y}{x^{n+1}} \right). \]

Il appartient bien à \(E\). Vérifions maintenant l’autre produit :

\[ \begin{aligned} \left( \frac1x;-\frac{y}{x^{n+1}} \right)*(x;y) &= \left( 1\,;\, \frac yx +x^n\left(-\frac{y}{x^{n+1}}\right) \right)\\ &=(1;0). \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ (x;y)^{-1} = \left( \frac1x\,;\,-\frac{y}{x^{n+1}} \right). \]

Toutes les conditions de la définition sont désormais satisfaites. Donc \((E;*)\) est un groupe.

5. Non-commutativité.

Il suffit maintenant de construire un contre-exemple. Prenons :

\[ A=(2;0) \qquad\text{et}\qquad B=(1;1). \]

Les deux couples appartiennent à \(E\).

D’une part :

\[ \begin{aligned} A*B &=(2;0)*(1;1)\\ &=(2;2). \end{aligned} \]

D’autre part :

\[ \begin{aligned} B*A &=(1;1)*(2;0)\\ &=(2;2^n). \end{aligned} \]

Or \(n\ge2\), donc :

\[ 2^n\neq2. \]

Par conséquent :

\[ A*B\neq B*A. \]

\[ \boxed{(E;*)\text{ est un groupe non commutatif}} \]

Il faut bien distinguer les deux niveaux de preuve : la structure de groupe exige une vérification générale valable pour tous les éléments, tandis que la non-commutativité peut être établie par un seul contre-exemple valide.

À retenir

Ces quatre exercices donnent plusieurs méthodes réutilisables dans tout le chapitre. Pour vérifier qu’une loi est interne, on doit montrer que le résultat de l’opération appartient encore à l’ensemble étudié. Pour établir une structure de groupe, on vérifie ensuite l’associativité, le neutre et le symétrique sans supposer leur forme à l’avance. Lorsqu’une question précédente a déjà établi une propriété, comme la stabilité, on la réutilise au lieu de recommencer la démonstration. Enfin, lorsqu’un groupe principal est connu, le critère caractéristique du sous-groupe permet souvent une preuve plus efficace. À l’inverse, pour montrer qu’un groupe n’est pas commutatif, un seul contre-exemple correctement choisi suffit. Le réflexe essentiel reste donc : identifier d’abord la propriété à démontrer, puis utiliser exactement la définition ou le critère correspondant.

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)

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