Correction des exercices 01 à 10 — Limites d’une fonction numérique — 2e Bac PC/SVT

Correction des exercices 01 à 10 — Limites d’une fonction numérique — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Continuité • Exercices d’application

Ces exercices permettent de revoir les principales méthodes de calcul des limites : puissances dominantes, factorisation, quantité conjuguée, limites à gauche et à droite, limites trigonométriques et théorème d’encadrement.

Pour chaque question, on commence par reconnaître la forme de l’expression, puis on effectue les transformations nécessaires avant de conclure.

Repère de cours — Calculer une limite

Lorsqu’une forme indéterminée apparaît, il faut transformer l’expression. Pour les polynômes à l’infini, on utilise le terme de plus haut degré. Pour une différence contenant des racines carrées, on peut utiliser la quantité conjuguée.

On rappelle également que :

\[ \boxed{\sqrt{x^2}=|x|}. \]

Exercice 01 — Limites algébriques à l’infini

Énoncé. Calculer les limites suivantes.

Méthode. Pour les polynômes et les quotients à l’infini, on fait apparaître la puissance dominante.

Question 1

\[ \lim_{x\to-\infty}(4x^3-3x^2+7). \]

Méthode et stratégie.

Factoriser par x³, puis contrôler le signe de x³ lorsque x tend vers −∞.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise par \(x^3\) :

\[ 4x^3-3x^2+7=x^3\left(4-\frac3x+\frac7{x^3}\right). \]

Lorsque \(x\to-\infty\), le premier facteur tend vers \(-\infty\) et le second vers \(4\), qui est strictement positif.

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}(4x^3-3x^2+7)=-\infty}.\]

Question 2

\[ \lim_{x\to+\infty}(-2x^4+x^3-3x-1)^3. \]

Méthode et stratégie.

Factoriser le polynôme intérieur par x⁴, déterminer sa limite puis utiliser le cube, qui conserve le signe.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise l’expression entre parenthèses :

\[ -2x^4+x^3-3x-1=x^4\left(-2+\frac1x-\frac3{x^3}-\frac1{x^4}\right). \]

Elle tend vers \(-\infty\). Comme l’exposant \(3\) est impair, sa puissance tend également vers \(-\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(-2x^4+x^3-3x-1)^3=-\infty}.\]

Question 3

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x+3}{x^3-5}. \]

Méthode et stratégie.

Comparer les degrés en divisant le numérateur et le dénominateur par x³.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^3\) :

\[ \frac{x+3}{x^3-5} =\frac{\frac1{x^2}+\frac3{x^3}}{1-\frac5{x^3}}. \]

Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x+3}{x^3-5}=0}.\]

Question 4

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(1-x)^3}{1+x+x^3}. \]

Méthode et stratégie.

Diviser les deux membres du quotient par x³ en gardant le signe de (1−x)³.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise par \(x^3\) :

\[ \frac{(1-x)^3}{1+x+x^3} =\frac{\left(\frac1x-1\right)^3}{\frac1{x^3}+\frac1{x^2}+1}. \]

On passe à la limite dans le quotient.

Le numérateur transformé tend vers \((-1)^3=-1\) et le dénominateur vers \(1\ne0\). La règle de la limite d’un quotient s’applique.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{(1-x)^3}{1+x+x^3}=-1}.\]

Question 5

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+5x}{(2x+3)^2}. \]

Méthode et stratégie.

Développer ou factoriser par x² les deux membres du quotient ; tenir compte du carré de 2x+3.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître \(x^2\) :

\[ \frac{x^2+5x}{(2x+3)^2} =\frac{1+\frac5x}{\left(2+\frac3x\right)^2}. \]

Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers \(2^2=4\ne0\). Le quotient tend donc vers \(\frac{1}{4}\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+5x}{(2x+3)^2}=\frac14}.\]

Question 6

\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-9x+5}{2x^3-(2x+1)^2}. \]

Méthode et stratégie.

Développer (2x+1)² puis comparer les termes de degré trois au numérateur et au dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise par \(x^3\) :

\[ \frac{2x^3-9x+5}{2x^3-(2x+1)^2} =\frac{2-\frac9{x^2}+\frac5{x^3}} {2-\frac4x-\frac4{x^2}-\frac1{x^3}}. \]

Les deux expressions obtenues tendent vers \(2\).

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-9x+5}{2x^3-(2x+1)^2}=1}.\]

Question 7

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{(1-\sqrt2)x^2+3x-5}{x^2+x+2}. \]

Méthode et stratégie.

Diviser par x² pour isoler les coefficients dominants et les termes tendant vers 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise par \(x^2\) :

\[ \frac{1-\sqrt2+\frac3x-\frac5{x^2}} {1+\frac1x+\frac2{x^2}}. \]

Le numérateur transformé tend vers \(1-\sqrt2\), tandis que le dénominateur tend vers \(1\ne0\). On peut appliquer la règle du quotient.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \frac{(1-\sqrt2)x^2+3x-5}{x^2+x+2}=1-\sqrt2}.\]

Question 8

\[\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\sqrt{-2x^3}}{x+1}-\sqrt3\,x\right).\]

Version proposée par PMM : remplacer \(\sqrt{2x^3}\) par \(\sqrt{-2x^3}\), en conservant la limite en \(-\infty\).

Méthode et stratégie.

Verifier d’abord le domaine du radical près de −∞ ; travailler sur la version rectifiée explicitement signalée, sans la confondre avec l’énoncé initial.

Lire la correction +Masquer la correction −

Pour \(x<-1\), le radical de cette version est réel et le dénominateur est non nul. Posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :

\[\frac{\sqrt{-2x^3}}{x+1}-\sqrt3\,x=\frac{\sqrt2\,t^{\frac{3}{2}}}{1-t}+\sqrt3\,t=t\left(\sqrt3-\frac{\sqrt2\sqrt t}{t-1}\right).\]

Or :

\[\frac{\sqrt t}{t-1}=\frac{\frac{1}{\sqrt t}}{1-\frac{1}{t}},\qquad \lim_{t\to+\infty}\left(\frac{\sqrt t}{t-1}\right)=0\]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(\sqrt3>0\), tandis que \(t\to+\infty\). Donc :

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\sqrt{-2x^3}}{x+1}-\sqrt3\,x\right)=+\infty}.\]

Le radical initial \(\sqrt{2x^3}\) n’est pas défini dans \(\mathbb R\) pour \(x<0\) ; il ne permet pas une limite réelle en \(-\infty\).

Question 9

\[ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^3-2x^2+3x-8}. \]

Méthode et stratégie.

Étudier le signe du terme dominant du radicande puis utiliser la croissance et la continuité de la racine carrée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître \(x^3\) sous la racine :

\[ x^3-2x^2+3x-8 =x^3\left(1-\frac2x+\frac3{x^2}-\frac8{x^3}\right). \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), donc l’expression sous la racine tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^3-2x^2+3x-8}=+\infty}.\]

Question 10

\[ \lim_{x\to-\infty} \sqrt{\frac{2x^3-5x}{8x^3+7}}. \]

Méthode et stratégie.

Calculer d’abord la limite du quotient sous la racine ; vérifier sa positivité au voisinage de −∞.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sous la racine, on divise par \(x^3\) :

\[\frac{2x^3-5x}{8x^3+7} =\frac{2-\frac5{x^2}}{8+\frac7{x^3}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{2x^3-5x}{8x^3+7}\right)=\frac14\]

Le quotient est positif au voisinage de \(-\infty\). On utilise la continuité de la fonction racine carrée.

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\frac{2x^3-5x}{8x^3+7}}=\frac12}.\]

Question 11

\[ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac1{2x-5}}. \]

Méthode et stratégie.

Le dénominateur devient positif à droite ; calculer la limite de l’inverse avant de prendre la racine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\lim_{x\to+\infty}\left(2x-5\right)=+\infty\), donc

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac1{2x-5}\right)=0\]

Pour \(x\gt\frac{5}{2}\), la quantité sous la racine est positive. La racine carrée étant continue à droite en 0, sa valeur tend vers 0.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac1{2x-5}}=0}.\]

Question 12

\[ \lim_{x\to-\infty} \sqrt{\frac{5x^3-1}{2x^3+7}}. \]

Méthode et stratégie.

Diviser le quotient intérieur par x³ puis appliquer la continuité de la racine sur les valeurs positives.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En divisant par \(x^3\), on obtient :

\[\frac{5x^3-1}{2x^3+7} =\frac{5-\frac1{x^3}}{2+\frac7{x^3}},\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{5x^3-1}{2x^3+7}\right)=\frac52\]

Le quotient sous la racine tend vers \(\frac{5}{2}\gt0\) : il est donc strictement positif pour x suffisamment négatif. La continuité de la racine carrée en \(\frac{5}{2}\) permet de conclure.

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\frac{5x^3-1}{2x^3+7}}=\sqrt{\frac52}=\frac{\sqrt{10}}2}.\]

Exercice 02 — Formes indéterminées

Énoncé. Calculer les limites suivantes.

Méthode. Lorsque le remplacement direct donne \(\frac00\), on cherche à simplifier l’expression par factorisation ou quantité conjuguée.

Question 1

\[\lim_{x\to\sqrt2}\frac{x^2-2}{x-\sqrt2}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser une différence de carrés et simplifier x−\(\sqrt{2}\) seulement hors du point limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise le numérateur :

\[ x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \]

Pour \(x\ne\sqrt2\), on simplifie et on passe à la limite.

Le quotient vaut alors \(x+\sqrt2\), dont la limite en \(\sqrt2\) est \(2\sqrt2\).

\[\boxed{\lim_{x\to\sqrt2}\frac{x^2-2}{x-\sqrt2}=2\sqrt2}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{9-x^2}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser le numérateur et 9−x² ; contrôler le signe dû à 3−x avant de simplifier.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise les factorisations :

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \quad 9-x^2=-(x-3)(x+3). \]

Après simplification de \(x-3\),

\[ \frac{x^2-5x+6}{9-x^2}=-\frac{x-2}{x+3}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{9-x^2}=-\frac16}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to-5}\frac{x^2+6x+5}{x^2+4x-5}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser les deux polynômes par x+5 et calculer la limite du quotient simplifié.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise :

\[ x^2+6x+5=(x+1)(x+5), \quad x^2+4x-5=(x+5)(x-1). \]

Pour \(x\ne-5\), le quotient se simplifie en \(\frac{x+1}{x-1}\).

\[\boxed{\lim_{x\to-5}\frac{x^2+6x+5}{x^2+4x-5}=\frac23}.\]

Question 4

\[\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-2x}.\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la différence de cubes au numérateur et factoriser x au dénominateur pour éliminer x−2.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise l’identité remarquable :

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4). \]

Comme \(x^2-2x=x(x-2)\), on simplifie :

\[ \frac{x^3-8}{x^2-2x} =\frac{x^2+2x+4}{x}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-2x}=6}.\]

Question 5

\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2}.\]

Méthode et stratégie.

Rationaliser la différence de racines puis factoriser x−x² pour simplifier x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x+4}-2=\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}. \]

Comme \(x-x^2=x(1-x)\), après simplification :

\[ \frac1{(\sqrt{x+4}+2)(1-x)}. \]

Cette égalité vaut pour x non nul assez proche de 0. Le dénominateur transformé tend vers \((2+2)(1-0)=4\ne0\) : le quotient admet donc la limite annoncée.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2}=\frac14}.\]

Question 6

\[\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt x-2}.\]

Méthode et stratégie.

Rationaliser les deux différences de racines pour faire apparaître le même facteur x−4.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée pour chaque différence :

\[ \sqrt{2x+1}-3=\frac{2(x-4)}{\sqrt{2x+1}+3}, \] \[ \sqrt x-2=\frac{x-4}{\sqrt x+2}. \]

On simplifie par \(x-4\), puis on passe à la limite :

\[ \frac{2(\sqrt x+2)}{\sqrt{2x+1}+3}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt x-2}=\frac43}.\]

Question 7

\[\lim_{x\to-1}\frac{2x^3+3x^2+4x+3}{x^2+3x+2}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser le numérateur par x+1 et le dénominateur en deux facteurs, puis simplifier hors de −1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître \(x+1\) :

\[ 2x^3+3x^2+4x+3=(x+1)(2x^2+x+3), \] \[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2). \]

Après simplification :

\[ \frac{2x^2+x+3}{x+2}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to-1}\frac{2x^3+3x^2+4x+3}{x^2+3x+2}=4}.\]

Question 8

\[\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{\sqrt{x+6}-3}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser le numérateur et rationaliser la différence de racines du dénominateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise le numérateur et on utilise la quantité conjuguée :

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2), \] \[ \sqrt{x+6}-3=\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}. \]

On simplifie par \(x-3\), d’où :

\[ (x+2)(\sqrt{x+6}+3). \]

\[\boxed{\lim_{x\to3}\frac{x^2-x-6}{\sqrt{x+6}-3}=30}.\]

Question 9

\[ \lim_{x\to3} \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6}} {\sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x}}. \]

Méthode et stratégie.

Rationaliser séparément numérateur et dénominateur ; suivre les coefficients de x−3 lors de leur simplification.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise les quantités conjuguées :

\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6} =\frac{x-3}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+6}}, \] \[ \sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x} =\frac{3(x-3)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{8-2x}}. \]

Après simplification par \(x-3\), on obtient :

\[ \frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{8-2x}} {3(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+6})}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+6}} {\sqrt{x-1}-\sqrt{8-2x}}=\frac{\sqrt2}{9}}.\]

Question 10

\[ \lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt x-1}{\sqrt{x+12}-\sqrt x-2}. \]

Méthode et stratégie.

Isoler les différences à leurs valeurs en 4 puis rationaliser plusieurs fois ; ne pas séparer une indétermination en limites inexistantes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour le numérateur :

\[ \sqrt{x+5}-\sqrt x-1 =\frac{2(2-\sqrt x)}{\sqrt{x+5}+\sqrt x+1}. \]

Pour le dénominateur :

\[ \sqrt{x+12}-\sqrt x-2 =\frac{4(2-\sqrt x)}{\sqrt{x+12}+\sqrt x+2}. \]

On simplifie le facteur commun \(2-\sqrt x\), puis on calcule :

\[ \frac12 \frac{\sqrt{x+12}+\sqrt x+2}{\sqrt{x+5}+\sqrt x+1}. \]

\[\boxed{\lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt x-1}{\sqrt{x+12}-\sqrt x-2}=\frac23}.\]

Exercice 03 — Limites unilatérales

Énoncé. Calculer les limites suivantes.

Repérage. Pour une limite à gauche ou à droite, on détermine le signe des expressions qui tendent vers zéro, du côté indiqué.

Question 1

\[\lim_{x\to3}\frac{7-5x}{(x-3)^2}.\]

Méthode et stratégie.

Le dénominateur est un carré tendant vers 0 positif ; il suffit de contrôler le signe non nul du numérateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le numérateur tend vers \(-8\), tandis que \(\lim_{x\to3}\left((x-3)^2\right)=0\).

\[\boxed{\lim_{x\to3}\frac{7-5x}{(x-3)^2}=-\infty}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to-1^-}\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser x²−1 et utiliser le côté x<−1 pour conserver le signe du quotient.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x\) appartenant à \(]-\infty,-1[\), le quotient est négatif. Sa valeur absolue vérifie :

\[ \left|\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}\right| =\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}. \]

Le quotient sous la racine tend vers \(0\). La valeur absolue tend donc vers \(0\), et le quotient également.

\[\boxed{\lim_{x\to-1^-}\frac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}=0}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-x-3}{x^2+2x-3}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser le dénominateur et déterminer son signe lorsque x approche 1 par valeurs inférieures.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise le dénominateur :

\[ x^2+2x-3=(x-1)(x+3). \]

À gauche de \(1\), il tend vers \(0^-\), tandis que le numérateur tend vers \(-3\).

\[\boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-x-3}{x^2+2x-3}=+\infty}.\]

Question 4

\[\lim_{x\to1^-}\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{x-1}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser le radicande en (x−1)(x−2) ; poser x=1−h pour suivre le signe du taux.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise :

\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

Pour \(x<1\), le quotient est négatif et :

\[ \left|\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)}}{x-1}\right| =\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}. \]

Cette racine tend vers \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{x-1}=-\infty}.\]

Question 5

\[\lim_{x\to1^-}\frac{8x-4}{\sqrt{1-x}}.\]

Méthode et stratégie.

Le numérateur tend vers une constante positive et la racine du dénominateur vers 0 positif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le numérateur tend vers \(4>0\) et le dénominateur tend vers \(0^+\).

\[\boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{8x-4}{\sqrt{1-x}}=+\infty}.\]

Question 6

\[\lim_{x\to4^-}\frac{x}{2-\sqrt x}.\]

Méthode et stratégie.

Sur le côté x<4, 2−\(\sqrt{x}\) est positif ; comparer les limites et les signes avant de conclure.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À gauche de \(4\), on a \(\sqrt x<2\), donc \(2-\sqrt x>0\). De plus :

\[ x\to4,\qquad\lim_{x\to4^-}\left(2-\sqrt x\right)=0\]

\[\boxed{\lim_{x\to4^-}\frac{x}{2-\sqrt x}=+\infty}.\]

Exercice 04 — Racines et limites à l’infini

Énoncé. Calculer les limites suivantes.

Repère de cours \[\sqrt{x^2}=|x|.\]

Au voisinage de \(+\infty\), on utilise \(|x|=x\). Au voisinage de \(-\infty\), on utilise \(|x|=-x\).

Question 1

\[\lim_{x\to+\infty}(2x-5\sqrt x).\]

Méthode et stratégie.

Factoriser par x ; la puissance x domine \(\sqrt{x}\) au sens d’un quotient qui tend vers 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise par \(x\) :

\[ 2x-5\sqrt x=x\left(2-\frac5{\sqrt x}\right). \]

Le second facteur tend vers \(2>0\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(2x-5\sqrt x)=+\infty}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{9x^2+3x-5}+x+3).\]

Méthode et stratégie.

Extraire −x de la racine lorsque x est négatif ; regrouper les termes de même ordre.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x<0\), on a \(|x|=-x\). Donc :

\[ \sqrt{9x^2+3x-5} =(-x)\sqrt{9+\frac3x-\frac5{x^2}}. \]

Par conséquent :

\[ \sqrt{9x^2+3x-5}+x+3 =(-x)\left(\sqrt{9+\frac3x-\frac5{x^2}}-1\right)+3. \]

Le premier facteur tend vers \(+\infty\), le facteur entre parenthèses vers \(2\).

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{9x^2+3x-5}+x+3)=+\infty}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+3}-x).\]

Méthode et stratégie.

Factoriser par x et vérifier que \(\frac{\sqrt{x+3}}x\) tend vers 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise par \(x\) :

\[ \sqrt{x+3}-x =x\left(\sqrt{\frac1x+\frac3{x^2}}-1\right). \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+3}-x)=-\infty}.\]

Question 4

\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+2}-x+4).\]

Méthode et stratégie.

Rationaliser uniquement la différence \(\sqrt{x^2+5x+2}\)−x, puis ajouter la constante 4.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x^2+5x+2}-x =\frac{5x+2}{\sqrt{x^2+5x+2}+x}. \]

En divisant par \(x\), on obtient :

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5+\frac2x}{\sqrt{1+\frac5x+\frac2{x^2}}+1}\right)=\frac52\]

On ajoute ensuite \(4\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+5x+2}-x+4)=\frac{13}{2}}.\]

Question 5

\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt x).\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la quantité conjuguée : le numérateur devient constant et le dénominateur est une somme divergente.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On multiplie par la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x+1}-\sqrt x =\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}. \]

Le dénominateur est positif et tend vers \(+\infty\). Son inverse tend donc vers 0.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt x)=0}.\]

Question 6

\[\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{4x^2+x+3}+2x-3).\]

Méthode et stratégie.

Au voisinage de −∞, \(\sqrt{4x^2}\) vaut −2x ; rationaliser la différence qui reste indéterminée.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée pour les deux premiers termes :

\[ \sqrt{4x^2+x+3}+2x =\frac{x+3}{\sqrt{4x^2+x+3}-2x}. \]

Pour \(x<0\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(-x\) :

\[\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{-1-\frac3x}{\sqrt{4+\frac1x+\frac3{x^2}}+2}\right)=-\frac14\]

Il reste à retrancher \(3\).

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{4x^2+x+3}+2x-3)=-\frac{13}{4}}.\]

Question 7

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+5x-3}}x.\]

Méthode et stratégie.

Extraire |x| de la racine puis utiliser \(\frac{|x|}x\)=−1 près de −∞.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître \(x^2\) sous la racine. Comme \(x<0\),

\[ \frac{\sqrt{x^2+5x-3}}x =-\sqrt{1+\frac5x-\frac3{x^2}}. \]

La quantité sous la racine tend vers 1 ; par continuité de la racine carrée, l’expression transformée tend vers \(-\sqrt1=-1\).

\[\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+5x-3}}x=-1}.\]

Question 8

\[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{4x^2+3}{x^2+8x}}.\]

Méthode et stratégie.

Diviser le quotient intérieur par x² puis prendre la racine d’une limite positive.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise le numérateur et le dénominateur sous la racine par \(x^2\) :

\[ \sqrt{\frac{4+\frac3{x^2}}{1+\frac8x}}. \]

Le quotient sous la racine tend vers \(\frac{4}{1}=4\gt0\). Il est positif pour x suffisamment grand, et la continuité de la racine carrée en 4 donne la limite \(\sqrt4=2\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{4x^2+3}{x^2+8x}}=2}.\]

Question 9

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}.\]

Méthode et stratégie.

Comparer \(\sqrt{x+1}\) à x en divisant numérateur et dénominateur par x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>0\), on écrit :

\[ \frac{\sqrt{x+1}}{x+2} =\frac{\frac1{\sqrt x}\sqrt{1+\frac1x}}{1+\frac2x}. \]

Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(1\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}=0}.\]

Question 10

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x+6\sqrt x}{2x+\sqrt x-3}.\]

Méthode et stratégie.

Diviser tous les termes par x et utiliser \(\frac{\sqrt x}x=\frac1{\sqrt x}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise par \(x\) :

\[ \frac{1+\frac6{\sqrt x}}{2+\frac1{\sqrt x}-\frac3x}. \]

Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers \(2\ne0\), ce qui autorise le passage à la limite dans le quotient.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x+6\sqrt x}{2x+\sqrt x-3}=\frac12}.\]

Question 11

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x}}x. \]

Méthode et stratégie.

Comme x est positif près de +∞, sortir x de chaque racine puis simplifier le quotient.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>0\), on divise chaque racine par \(x\) :

\[ \frac{\sqrt{3x^2+1}}x=\sqrt{3+\frac1{x^2}}, \quad \frac{\sqrt{x^2+x}}x=\sqrt{1+\frac1x}. \]

Les radicandes transformés tendent vers 3 et 1, tous deux positifs. Par continuité des racines et par différence des limites, on obtient \(\sqrt3-1\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{x^2+x}}x=\sqrt3-1}.\]

Question 12

\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^4-x^3}-x^2).\]

Méthode et stratégie.

Rationaliser la différence avec x² pour obtenir un quotient où le terme de degré dominant est explicite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée :

\[ \sqrt{x^4-x^3}-x^2 =\frac{-x^3}{\sqrt{x^4-x^3}+x^2} =-\frac{x}{\sqrt{1-\frac1x}+1}. \]

Le dénominateur tend vers \(2>0\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^4-x^3}-x^2)=-\infty}.\]

Question 13

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x}{5\sqrt{x^2+3}}. \]

Méthode et stratégie.

Regrouper 3x(\(\sqrt{x^2+x}\)−x), rationaliser la différence puis diviser par x pour calculer la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On met \(x\) en facteur au numérateur :

\[ 3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x =x\left[3(\sqrt{x^2+x}-x)+1\right]. \]

On utilise la quantité conjuguée :

\[\sqrt{x^2+x}-x =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac12\]

De plus, \(5\sqrt{x^2+3}=5x\sqrt{1+\frac3{x^2}}\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \frac{3x\sqrt{x^2+x}-3x^2+x}{5\sqrt{x^2+3}}=\frac{3\cdot\frac12+1}{5}=\frac12}.\]

Question 14

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right). \]

Méthode et stratégie.

Rationaliser la différence avec x ; simplifier les puissances et calculer une limite de quotient.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>0\), on écrit :

\[ \sqrt{\frac{x^3}{x+1}} =x\sqrt{\frac{x}{x+1}}. \]

On utilise la quantité conjuguée :

\[ x\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}-1\right) =-\frac{x}{(x+1)\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}+1\right)}. \]

On a \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{(x+1)}\right)=1\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x}{(x+1)}}+1\right)=2\ne0\). Le quotient transformé tend donc vers \(-\frac{1}{2}\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right)=-\frac12}.\]

Question 15

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}-\frac{x}{\sqrt{x+2}}\right). \]

Méthode et stratégie.

Mettre les deux fractions au même dénominateur puis rationaliser la différence des deux racines.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On réduit au même dénominateur, puis on utilise la quantité conjuguée :

\[ \frac{x(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})}{\sqrt{x^2-4}} =\frac{4x}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2})\sqrt{x^2-4}}. \]

On peut écrire cette expression comme le produit :

\[ \frac4{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}} \cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}. \]

Le premier facteur tend vers \(0\) et le second vers \(1\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{x}{\sqrt{x-2}}-\frac{x}{\sqrt{x+2}}\right)=0}.\]

Exercice 05 — Limites aux bornes de l’ensemble de définition

Énoncé. Dans chaque cas, déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.

Méthode. On détermine d’abord \(D_f\), puis on étudie les limites aux bornes de chaque intervalle qui le compose.

Question 1

\[f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x+1}}x.\]

Méthode et stratégie.

Le radicande est positif ; exclure x=0 puis calculer séparément les limites en 0 et aux deux infinis avec |x|.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le trinôme sous la racine est strictement positif puisque son discriminant vaut \(-3\).

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0\}. \]

À l’infini, on fait apparaître \(x^2\) sous la racine :

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}. \]

Au voisinage de \(0\), le numérateur tend vers \(1>0\) ; le signe du quotient dépend donc de celui de \(x\).

\[ \boxed{\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}f(x)&=-1,\\ \lim_{x\to0^-}f(x)&=-\infty,\\ \lim_{x\to0^+}f(x)&=+\infty,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)&=1. \end{aligned}} \]

Question 2

\[f(x)=\frac{x}{x^2-|x+2|}.\]

Méthode et stratégie.

Enlever |x+2| par intervalles pour trouver tous les zéros du dénominateur et étudier les limites de chaque côté.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On distingue deux cas pour supprimer la valeur absolue.

Pour \(x\ge-2\) :

\[ x^2-|x+2|=(x-2)(x+1). \]

Pour \(x<-2\) :

\[ x^2-|x+2|=x^2+x+2, \]

qui est strictement positif puisque son discriminant vaut \(-7\).

\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1,2\}. \]

À l’infini, le quotient tend vers \(0\). Aux bornes finies, on étudie le signe de \((x-2)(x+1)\).

\[ \boxed{\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}f(x)&=0,\\ \lim_{x\to-1^-}f(x)&=-\infty,\\ \lim_{x\to-1^+}f(x)&=+\infty,\\ \lim_{x\to2^-}f(x)&=-\infty,\\ \lim_{x\to2^+}f(x)&=+\infty,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)&=0. \end{aligned}} \]

Question 3

\[f(x)=x-\sqrt{x-1}+5.\]

Méthode et stratégie.

La racine impose x≥1 ; calculer la valeur au bord puis factoriser à l’infini pour lever la différence.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La condition \(x-1\ge0\) donne :

\[ D_f=[1,+\infty[. \]

En \(1\), le remplacement direct donne \(6\).

À \(+\infty\), on factorise par \(x\) :

\[ f(x)=x\left(1-\sqrt{\frac1x-\frac1{x^2}}\right)+5. \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1>0\).

\[ \boxed{\lim_{x\to1^+}f(x)=6,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}. \]

Question 4

\[f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.\]

Méthode et stratégie.

La racine est au dénominateur : imposer x²−1>0 ; traiter séparément les deux composantes du domaine.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La racine est au dénominateur. Il faut donc \(x^2-1>0\).

\[ D_f=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[. \]

À l’infini, on utilise :

\[ f(x)=\frac{x}{|x|}\frac1{\sqrt{1-\frac1{x^2}}}. \]

Aux bornes finies, le dénominateur tend vers \(0^+\).

\[ \boxed{\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}f(x)&=-1,\\ \lim_{x\to-1^-}f(x)&=-\infty,\\ \lim_{x\to1^+}f(x)&=+\infty,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)&=1. \end{aligned}} \]

Question 5

\[f(x)=\sqrt{2x^2-x+1}-3x+5.\]

Méthode et stratégie.

Compléter le carré du radicande pour le domaine ; distinguer +∞ et −∞ avec \(\sqrt{x^2}\)=|x|.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le discriminant de \(2x^2-x+1\) vaut \(-7\), donc \(D_f=\mathbb R\).

Pour \(x>0\),

\[ f(x)=x\left(\sqrt{2-\frac1x+\frac1{x^2}}-3\right)+5. \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(\sqrt2-3<0\).

Pour \(x<0\),

\[ f(x)=(-x)\left(\sqrt{2-\frac1x+\frac1{x^2}}+3\right)+5. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}. \]

Question 6

\[f(x)=\sqrt{x^2+x-2}-x+3.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser x²+x−2 pour le domaine ; aux infinis, utiliser une rationalisation quand les termes dominants se compensent.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise :

\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1). \]

La condition sous la racine donne :

\[ D_f=]-\infty,-2]\cup[1,+\infty[. \]

Aux deux bornes finies, on remplace directement \(x\) par la valeur considérée.

À \(-\infty\), la racine est positive et le terme \(-x\) tend vers \(+\infty\).

À \(+\infty\), on utilise la quantité conjuguée :

\[\sqrt{x^2+x-2}-x =\frac{x-2}{\sqrt{x^2+x-2}+x},\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x-2}-x\right)=\frac12\]

\[ \boxed{\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}f(x)&=+\infty,\\ \lim_{x\to-2^-}f(x)&=5,\\ \lim_{x\to1^+}f(x)&=2,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)&=\frac72. \end{aligned}} \]

Exercice 06 — Fonction définie par morceaux

Soit la fonction définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-\sqrt{2x+1},&x\ge-\dfrac12,\\[2mm] \dfrac{4x^2-1}{2x+1},&x<-\dfrac12. \end{cases} \]

Question 1

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \quad\text{et}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x). \]

Méthode et stratégie.

Utiliser la formule de chaque branche à l’infini correspondant : factoriser l’expression avec la racine à droite et simplifier la fraction rationnelle à gauche.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À \(+\infty\), on utilise la première expression :

\[ x-\sqrt{2x+1} =x\left(1-\sqrt{\frac2x+\frac1{x^2}}\right). \]

Le facteur entre parenthèses tend vers \(1\), donc la limite est \(+\infty\).

À \(-\infty\), on utilise la seconde expression :

\[ \frac{4x^2-1}{2x+1}=2x-1. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}. \]

Question 2

\[ \lim_{x\to(-\frac{1}{2})^-}f(x) \quad\text{et}\quad \lim_{x\to(-\frac{1}{2})^+}f(x). \]

Méthode et stratégie.

Calculer chaque limite avec la branche du côté concerné : simplifier la fraction à gauche de −\(\frac{1}{2}\), puis comparer cette limite à celle de la branche de droite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

À gauche de \(-\frac12\), on utilise \(f(x)=2x-1\), d’où la limite \(-2\).

À droite, on utilise \(f(x)=x-\sqrt{2x+1}\), d’où \(-\frac12\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to(-\frac{1}{2})^-}f(x)=-2,\quad \lim_{x\to(-\frac{1}{2})^+}f(x)=-\frac{1}{2}}. \]

Les deux limites unilatérales sont différentes. Par conséquent, la fonction n’admet pas de limite en \(-\frac12\).

Exercice 07 — Domaine et comportement d’une fonction

On considère la fonction : \[ f(x)=x\sqrt{\frac{x-3}{x-2}}. \]

Question 1

Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\).

Méthode et stratégie.

Imposer \(x\ne2\), puis résoudre l’inéquation \(\frac{(x-3)}{(x-2)}\ge0\) pour que la racine carrée soit définie.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Il faut que le quotient sous la racine soit positif ou nul et que \(x\ne2\).

\[ \frac{x-3}{x-2}\ge0. \]

L’étude du signe donne :

\[ \boxed{D_f=]-\infty,2[\cup[3,+\infty[}. \]

Question 2.a

\[\lim_{x\to2^-}f(x).\]

Méthode et stratégie.

Étudier le signe et la limite du quotient sous la racine lorsque x approche 2 par la gauche, puis tenir compte du facteur x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Lorsque \(x\to2^-\), le numérateur \(x-3\) tend vers \(-1\) et le dénominateur \(x-2\) vers \(0^-\).

\[\lim_{x\to2^-}\left(\frac{x-3}{x-2}\right)=+\infty\]

Comme \(x\to2>0\), on obtient :

\[\boxed{\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty}.\]

Question 2.b

\[\lim_{x\to+\infty}f(x).\]

Méthode et stratégie.

Écrire f comme le produit de x et de la racine carrée du quotient ; calculer la limite de chacun de ces deux facteurs en \(+\infty\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit :

\[ f(x)=x\sqrt{1-\frac1{x-2}}. \]

La racine tend vers \(1\) et \(x\to+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.\]

Question 2.c

\[\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x).\]

Méthode et stratégie.

Soustraire x à la branche de droite puis rationaliser pour calculer la différence à la droite candidate.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée :

\[ f(x)-x=x\left(\sqrt{\frac{x-3}{x-2}}-1\right) \] \[ =-\frac{x}{(x-2)\left(\sqrt{\frac{x-3}{x-2}}+1\right)}. \]

On divise le numérateur et le dénominateur par \(x\), puis on passe à la limite.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=-\frac12}.\]

Exercice 08 — Limites trigonométriques usuelles

Énoncé. Calculer les limites suivantes.

Repère de cours \[ \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1,\qquad \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1, \] \[ \lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12. \]

Question 1

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{7x}.\]

Méthode et stratégie.

Faire apparaître \(\frac{\sin(3x)}{3x}\) et son coefficient multiplicatif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître la limite usuelle :

\[ \frac{\sin3x}{7x}=\frac37\frac{\sin3x}{3x}. \]

En posant \(u=3x\), on a \(u\to0\) et \(\lim_{u\to0}\left(\frac{\sin u}{u}\right)=1\). Le facteur constant \(\frac{3}{7}\) est conservé.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{7x}=\frac37}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}.\]

Méthode et stratégie.

Employer 1−cos(2x)=2sin²x puis la limite \(\frac{\sin x}x\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise \(1-\cos2x=2\sin^2x\).

\[ \frac{1-\cos2x}{x^2}=2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2. \]

La limite usuelle \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1\) donne, par produit, \(\lim_{x\to0}\left(2(\frac{\sin x}{x})^2\right)=2\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}=2}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to0^+}\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt x}.\]

Méthode et stratégie.

Écrire tan x−sin x=\(\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\) ; contrôler les puissances de x avec les limites usuelles.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit :

\[ \tan x-\sin x =\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]

Puis :

\[ \frac{\tan x-\sin x}{\sqrt x} =\frac{\sin x}{x}\, \frac{1-\cos x}{x^2}\, x^2\sqrt x\, \frac1{\cos x}. \]

Les trois quotients trigonométriques ou leurs inverses admettent des limites finies, tandis que \(\lim_{x\to0^+}\left(x^2\sqrt x\right)=0\).

\[\boxed{\lim_{x\to0^+}\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt x}=0}.\]

Question 4

\[\lim_{x\to0}\frac{\tan5x}{\sin x}.\]

Méthode et stratégie.

Introduire les facteurs \(\frac{\tan(5x)}{5x}\) et \(\frac{x}{\sin x}\) avant de passer à la limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit :

\[ \frac{\tan5x}{\sin x} =5\frac{\tan5x}{5x}\frac{x}{\sin x}. \]

Les deux quotients tendent vers 1 : pour le second, on utilise l’inverse de \(\frac{\sin x}{x}\), dont la limite est non nulle. Le produit tend donc vers 5.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\tan5x}{\sin x}=5}.\]

Question 5

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}.\]

Méthode et stratégie.

Factoriser sin x−tan x puis utiliser les limites de \(\frac{\sin x}x\) et de \(\frac{1-\cos x}{x^2}\), sans L’Hôpital.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise :

\[ \sin x-\tan x =-\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. \]

En divisant par \(x^3\),

\[ -\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^2}\frac1{\cos x}. \]

Les trois facteurs tendent respectivement vers 1, \(\frac{1}{2}\) et 1 ; le signe moins placé devant leur produit donne la limite \(-\frac{1}{2}\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=-\frac12}.\]

Question 6

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x\sin2x}{1-\cos x}.\]

Méthode et stratégie.

Employer l’identité 1−cos x=2sin²(\(\frac x2\)) et traiter les facteurs trigonométriques séparément.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On fait apparaître les limites usuelles :

\[ \frac{\sin x\sin2x}{1-\cos x} =\frac{\sin x}{x} \frac{\sin2x}{2x} \frac{2x^2}{1-\cos x}. \]

Les deux premiers facteurs tendent vers \(1\), le dernier vers \(4\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x\sin2x}{1-\cos x}=4}.\]

Question 7

\[ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}x. \]

Méthode et stratégie.

Rationaliser la différence de racines pour faire apparaître \(\frac{\sin x}x\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise la quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}x =\frac{2\sin x}{x(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})}. \]

Comme \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1\) et le dénominateur entre parenthèses tend vers \(2\),

\[\boxed{\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}x=1}.\]

Question 8

\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos5x}{(x^2+x)\tan3x}. \]

Méthode et stratégie.

Factoriser x²+x=x(1+x) et décomposer en limites trigonométriques usuelles aux angles 5x et 3x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On écrit \(x^2+x=x(x+1)\) et on fait apparaître les limites usuelles :

\[ \frac{1-\cos5x}{(x^2+x)\tan3x} =\frac{1-\cos5x}{25x^2} \cdot\frac{25}{3(x+1)} \cdot\frac{3x}{\tan3x}. \]

Les trois facteurs tendent respectivement vers \(\frac12\), \(\frac{25}{3}\) et \(1\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos5x}{(x^2+x)\tan3x}=\frac{25}{6}}.\]

Question 9

\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x\sin4x}. \]

Méthode et stratégie.

Utiliser 1−cos³x=(1−cos x)(1+cos x+cos²x), puis les limites des angles simples et de 4x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On factorise la différence des cubes :

\[ 1-\cos^3x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x). \]

Il vient :

\[ \frac{1-\cos x}{x^2} (1+\cos x+\cos^2x)\frac{x}{\sin4x}. \]

Les trois facteurs tendent vers \(\frac12\), \(3\) et \(\frac14\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x\sin4x}=\frac38}.\]

Question 10

\[ \lim_{x\to0}\frac{2\sin x-\sin2x}{x^3}. \]

Méthode et stratégie.

Factoriser par 2sin x à l’aide de sin(2x)=2sin x cos x, puis utiliser les limites usuelles.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise \(\sin2x=2\sin x\cos x\) :

\[ 2\sin x-\sin2x=2\sin x(1-\cos x). \]

Donc :

\[ \frac{2\sin x-\sin2x}{x^3} =2\frac{\sin x}{x}\frac{1-\cos x}{x^2}. \]

On utilise \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1\) et \(\lim_{x\to0}\left(\frac{(1-\cos x)}{x^2}\right)=\frac{1}{2}\). La limite du produit vaut \(2\times1\times(\frac{1}{2})=1\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{2\sin x-\sin2x}{x^3}=1}.\]

Exercice 09 — Théorème d’encadrement

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\) telle que : \[ 1+x-x^2\le f(x)\le1+x-x^2+x^4. \] Calculer les limites suivantes.

Question 1

\[\lim_{x\to0}(f(x)+x^2).\]

Méthode et stratégie.

Utiliser l’hypothèse d’encadrement donnée pour f, puis additionner x² aux trois membres.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On ajoute \(x^2\) aux trois membres de l’encadrement :

\[ 1+x\le f(x)+x^2\le1+x+x^4. \]

Les deux bornes tendent vers \(1\).

Le théorème d’encadrement s’applique à ces deux bornes de même limite et donne la limite de \(f(x)+x^2\).

\[\boxed{\lim_{x\to0}(f(x)+x^2)=1}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}.\]

Méthode et stratégie.

Soustraire 1 aux membres de l’encadrement puis diviser selon le signe de x ; vérifier que les deux bornes ont la même limite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On retranche \(1\) :

\[ x-x^2\le f(x)-1\le x-x^2+x^4. \]

Il faut distinguer le signe de \(x\) avant de diviser.

Si \(x>0\),

\[ 1-x\le\frac{f(x)-1}{x}\le1-x+x^3. \]

Si \(x<0\),

\[ 1-x+x^3\le\frac{f(x)-1}{x}\le1-x. \]

Dans les deux cas, les bornes tendent vers \(1\).

Le théorème d’encadrement donne une limite égale à 1 à droite et à gauche. Comme ces deux limites sont égales, la limite bilatérale existe et vaut 1.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=1}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-x}{x^2}.\]

Méthode et stratégie.

Soustraire 1+x à l’encadrement puis diviser par x², strictement positif hors de 0.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En retranchant \(1+x\), on obtient :

\[ -x^2\le f(x)-1-x\le-x^2+x^4. \]

Comme \(x^2>0\) pour \(x\ne0\), on peut diviser sans changer le sens des inégalités :

\[ -1\le\frac{f(x)-1-x}{x^2}\le-1+x^2. \]

Les deux bornes \(-1\) et \(-1+x^2\) tendent vers \(-1\). Le théorème d’encadrement donne donc la limite du quotient.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1-x}{x^2}=-1}.\]

Exercice 10 — Limites par encadrement

Énoncé. En utilisant un encadrement convenable, calculer les limites suivantes.

Repère de cours — Fonctions bornées \[ -1\le\sin t\le1,\qquad -1\le\cos t\le1. \]

Question 1

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}.\]

Méthode et stratégie.

Encadrer la valeur absolue de \(\frac{\sin x}x\) par \(\frac1x\) quand x est positif.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(|\sin x|\le1\) et \(x>0\),

\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x. \]

Le membre de droite tend vers \(0\).

Plus précisément, \(0\le\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac{1}{x}\) pour \(x\gt0\), et \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}\right)=0\). Le théorème d’encadrement donne \(\lim_{x\to+\infty}\left(\left|\frac{\sin x}{x}\right|\right)=0\), donc \(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=0\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0}.\]

Question 2

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{5-4\sin x}.\]

Méthode et stratégie.

Encadrer 5−4sin x entre deux constantes strictement positives pour comparer le quotient à une fonction divergente.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise \(-1\le\sin x\le1\) :

\[ 1\le5-4\sin x\le9. \]

Lorsque \(x\) est suffisamment grand, \(3x+2>0\). Donc :

\[ \frac{3x+2}{5-4\sin x}\ge\frac{3x+2}{9}. \]

Le membre de droite tend vers \(+\infty\).

Par le théorème de comparaison avec une fonction qui tend vers \(+\infty\), le quotient tend lui aussi vers \(+\infty\). On ne suppose aucune limite pour \(\sin x\) lui-même.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{5-4\sin x}=+\infty}.\]

Question 3

\[\lim_{x\to+\infty}(\sqrt x-\cos x).\]

Méthode et stratégie.

Encadrer cos x entre −1 et 1 puis soustraire aux termes \(\sqrt{x}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(-1\le\cos x\le1\),

\[ \sqrt x-1\le\sqrt x-\cos x\le\sqrt x+1. \]

Les deux bornes tendent vers \(+\infty\).

La minoration par \(\sqrt x-1\), dont la limite est \(+\infty\), suffit : le théorème de comparaison donne la même limite pour l’expression étudiée.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}(\sqrt x-\cos x)=+\infty}.\]

Question 4

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x^2+1}.\]

Méthode et stratégie.

Utiliser |cos x|≤1 et comparer séparément \(\frac{x}{x^2+1}\) et le terme oscillant.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour \(x>0\),

\[ |x+\cos x|\le x+1. \]

Par conséquent :

\[ \left|\frac{x+\cos x}{x^2+1}\right| \le\frac{x+1}{x^2+1}. \]

Le quotient de droite tend vers \(0\).

La valeur absolue du quotient est comprise entre 0 et \(\frac{(x+1)}{(x^2+1)}\), qui tend vers 0. Le théorème d’encadrement permet donc de conclure sur le quotient lui-même.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x^2+1}=0}.\]

Question 5

\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt x\cos\left(\frac1{\sqrt x}\right). \]

Méthode et stratégie.

Majorer la valeur absolue du produit par \(\sqrt{x}\), qui tend vers 0 à droite.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction cosinus est bornée :

\[ \left|\cos\left(\frac1{\sqrt x}\right)\right|\le1. \]

Donc :

\[ \left|\sqrt x\cos\left(\frac1{\sqrt x}\right)\right| \le\sqrt x. \]

Pour \(x\gt0\), la valeur absolue du produit est comprise entre 0 et \(\sqrt x\), et \(\lim_{x\to0^+}\left(\sqrt x\right)=0\) lorsque \(x\to0^+\). Le théorème d’encadrement donne la limite à droite du produit.

\[\boxed{\lim_{x\to0^+}\sqrt x\cos\left(\frac1{\sqrt x}\right)=0}.\]

Question 6

\[\lim_{x\to0}x^2\sin\left(\frac1x\right).\]

Méthode et stratégie.

Majorer la valeur absolue du produit par x² pour appliquer les gendarmes.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour tout \(x\ne0\),

\[ \left|x^2\sin\left(\frac1x\right)\right|\le x^2. \]

Comme \(\lim_{x\to0}\left(x^2\right)=0\), le théorème d’encadrement donne :

\[\boxed{\lim_{x\to0}x^2\sin\left(\frac1x\right)=0}.\]

Question 7

\[\lim_{x\to0}\frac{x}{3+\sin(\frac{1}{x})}.\]

Méthode et stratégie.

Encadrer le dénominateur entre 2 et 4 et majorer la valeur absolue du quotient par \(\frac{|x|}2\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On a :

\[ 2\le3+\sin\left(\frac1x\right)\le4. \]

Le dénominateur est supérieur ou égal à \(2\). Donc :

\[ \left|\frac{x}{3+\sin(\frac{1}{x})}\right|\le\frac{|x|}{2}. \]

La borne \(\frac{|x|}{2}\) tend vers 0 lorsque \(x\to0\). En encadrant la valeur absolue entre 0 et cette borne, on obtient la limite nulle par le théorème d’encadrement.

\[\boxed{\lim_{x\to0}\frac{x}{3+\sin(\frac{1}{x})}=0}.\]

Question 8

\[\lim_{x\to-1}\frac{1+\cos^2x}{(x+1)^2}.\]

Méthode et stratégie.

Le numérateur est au moins égal à 1 et le carré du dénominateur tend vers 0 positif : utiliser une comparaison.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Le numérateur vérifie :

\[ 1\le1+\cos^2x\le2. \]

Le dénominateur tend vers \(0^+\). En particulier :

\[ \frac{1+\cos^2x}{(x+1)^2}\ge\frac1{(x+1)^2}. \]

Pour \(x\ne-1\), la quantité \(\frac{1}{(x+1)^2}\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\to-1\). Le théorème de comparaison donne alors la même limite au quotient étudié.

\[\boxed{\lim_{x\to-1}\frac{1+\cos^2x}{(x+1)^2}=+\infty}.\]

Question 9

\[\lim_{x\to1}\frac{1+\sin^2x}{(x-1)^2}.\]

Méthode et stratégie.

Utiliser la borne inférieure positive du numérateur et le carré positif du dénominateur près de 1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On utilise \(1+\sin^2x\ge1\) :

\[ \frac{1+\sin^2x}{(x-1)^2}\ge\frac1{(x-1)^2}. \]

Le membre de droite tend vers \(+\infty\).

Le théorème de comparaison avec la minoration \(\frac{1}{(x-1)^2}\) donne donc une limite égale à \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to1}\frac{1+\sin^2x}{(x-1)^2}=+\infty}.\]

Question 10

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{6x^2+\cos x-x\sin x}{3x^2+1}. \]

Méthode et stratégie.

Diviser par x² : les termes oscillants restants sont dominés par \(\frac1x\) ou \(\frac1{x^2}\).

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On divise par \(x^2\) :

\[ \frac{6+\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x}} {3+\frac1{x^2}}. \]

Comme le sinus et le cosinus sont bornés, les quotients contenant ces fonctions tendent vers \(0\).

En effet, \(|\frac{\cos x}{x^2}|\le\frac{1}{x^2}\) et \(|\frac{\sin x}{x}|\le\frac{1}{x}\) pour \(x\gt0\), donc ces deux termes tendent vers 0 par encadrement. Le numérateur tend vers 6 et le dénominateur vers \(3\ne0\) ; la règle du quotient donne 2.

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty} \frac{6x^2+\cos x-x\sin x}{3x^2+1}=2}.\]

Question 11

\[ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)\sqrt{5-x}} {2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)}. \]

Méthode et stratégie.

Le dénominateur reste entre 1 et 3 ; majorer la valeur absolue du quotient par celle du numérateur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La fonction sinus vérifie :

\[ -1\le\sin t\le1. \]

Par conséquent, pour \(x\ne2\),

\[ 1\le2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)\le3. \]

Le dénominateur est donc supérieur ou égal à \(1\).

Au voisinage de \(2\), la fonction racine carrée reste bornée. En particulier, si \(x\in]1,3[\),

\[ 0\le\sqrt{5-x}\le2. \]

On en déduit :

\[ 0\le \left| \frac{(x-2)\sqrt{5-x}} {2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)} \right| \le2|x-2|. \]

Or \(\lim_{x\to2}\left(2|x-2|\right)=0\) lorsque \(x\to2\). D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)\sqrt{5-x}} {2+\sin\left(\frac1{x-2}\right)} =0}. \]

Le facteur \(x-2\) tend vers zéro, la racine carrée reste bornée et le dénominateur reste supérieur ou égal à \(1\). Ces propriétés permettent d’appliquer le théorème d’encadrement.

Ce qu’il faut retenir

Les exercices 01 à 10 montrent que le calcul d’une limite commence par l’identification de la forme de l’expression.

À l’infini, on fait apparaître les puissances dominantes. Lorsqu’on obtient une forme indéterminée, on cherche une transformation convenable : factorisation, simplification ou utilisation de la quantité conjuguée.

Pour une expression contenant une racine carrée, on vérifie les conditions de définition et on utilise, lorsque c’est nécessaire, la propriété suivante :

\[ \boxed{\sqrt{x^2}=|x|}. \]

Pour les limites trigonométriques, on utilise les limites usuelles du cours et les identités trigonométriques appropriées.

Enfin, lorsqu’une expression contient une fonction bornée, comme le sinus ou le cosinus, le théorème d’encadrement permet souvent de déterminer sa limite.

On choisit donc la propriété adaptée à l’expression, on justifie chaque transformation, puis on conclut.

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