Correction des exercices 05 à 08 — Structures algébriques
Groupe · Morphisme · Sous-groupe · Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Après l'étude directe des axiomes d'un groupe, ces exercices font découvrir des méthodes plus efficaces : exploiter les propriétés générales des symétriques, reconnaître une structure à l'aide d'un calcul matriciel, utiliser une loi construite à partir d'une loi connue et appliquer le critère caractéristique d'un sous-groupe. On évitera donc de recommencer les mêmes vérifications lorsque le cours fournit un résultat adapté. L'exercice 07 appelle une vigilance supplémentaire : une hypothèse indispensable manque dans son énoncé proposé. Elle sera signalée et justifiée avant toute résolution. Dans chaque exercice, il s'agit d'identifier le résultat du cours, de contrôler ses conditions d'application, puis de construire la démonstration. Les conclusions seront accompagnées d'une interprétation afin de rendre la méthode réutilisable.
Exercice 05 — Quand l'inversion est-elle un isomorphisme ?
Soit \((G;*)\) un groupe d'élément neutre \(e\). On note \(a^{-1}\) le symétrique de \(a\). On considère l'application \(f:G\longrightarrow G\) définie par :
Montrer que \(f\) est un isomorphisme si, et seulement si, le groupe \((G;*)\) est commutatif.
Une application de \((G;*)\) dans \((G;*)\) est un morphisme lorsqu'elle vérifie \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) pour tous \(a,b\in G\). Elle est un isomorphisme si elle est en outre bijective. Dans tout groupe, on a :
Le renversement de l'ordre dans cette formule est le point décisif de l'exercice.
Sens direct — Supposons le groupe commutatif
Deux contrôles distincts sont nécessaires : la compatibilité avec la loi et la bijectivité. Pour la première, utiliser la formule de l'inverse d'un produit puis la commutativité. Pour la seconde, remarquer que prendre deux fois le symétrique redonne l'élément initial.
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Supposons que \((G;*)\) soit commutatif. Pour tous \(a,b\in G\), la propriété du cours donne :
La troisième égalité utilise précisément la commutativité. Ainsi, \(f\) est un morphisme.
Montrons maintenant que \(f\) est bijective. Pour tout \(a\in G\), la propriété du symétrique du symétrique assure :
Donc \(f\circ f=\operatorname{Id}_G\). Il en résulte que \(f\) est bijective et que sa réciproque est \(f\) elle-même.
Sens réciproque — Supposons que \(f\) soit un isomorphisme
Un isomorphisme est en particulier un morphisme. On dispose donc de deux expressions du symétrique de \(a*b\) : celle provenant du morphisme et celle donnée par la propriété générale du cours. Leur comparaison permettra d'obtenir la commutativité.
Afficher la correction du sens réciproqueMasquer la correction du sens réciproque
Supposons \(f\) isomorphisme. Comme \(f\) est un morphisme, pour tous \(a,b\in G\) :
soit, par définition de \(f\) :
Mais le cours donne, dans tout groupe :
Par conséquent :
Chaque élément de \(G\) étant le symétrique d'un élément de \(G\), cette égalité implique, pour tous \(u,v\in G\), que \(u*v=v*u\).
Exercice 06 — Un groupe de matrices
On considère l'ensemble :
1) Calculer \(M(x)\times M(x')\) pour tous \((x;x')\in\mathbb R^2\).
2) Montrer que \((E;\times)\) est un groupe.
Lorsque l'ensemble est défini par des matrices \(M(x)\), commencer par effectuer le produit de deux matrices générales. Si le résultat a la forme \(M(\varphi(x,x'))\), on dispose d'une formule de composition permettant de déterminer la stabilité, le neutre et les symétriques. L'associativité de la multiplication matricielle est déjà connue.
Question 1 — Produit de deux matrices
Calculer les coefficients par produit ligne–colonne, puis chercher à faire apparaître le carré de \(x+x'\) dans le coefficient situé en deuxième ligne et troisième colonne.
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Pour tous \(x,x'\in\mathbb R\),
Or :
On reconnaît donc exactement la matrice correspondant au paramètre \(x+x'\).
Question 2 — Vérification de la structure de groupe
Réutiliser la formule précédente plutôt que refaire des multiplications matricielles. La stabilité et la commutativité s'en déduisent immédiatement ; l'associativité est héritée de la multiplication matricielle. Identifier enfin \(M(0)\) et \(M(-x)\).
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Stabilité. Pour tous \(M(x),M(x')\in E\), la question 1 donne \(M(x)M(x')=M(x+x')\). Comme \(x+x'\in\mathbb R\), le produit appartient à \(E\).
Associativité. La multiplication de matrices carrées d'ordre 3 est associative. Cette propriété est donc valable pour les matrices de \(E\), qui forment une partie de \(\mathcal M_3(\mathbb R)\).
Élément neutre. Pour \(x=0\) :
Et, pour tout \(x\in\mathbb R\),
Symétrique. Pour tout \(x\in\mathbb R\), la matrice \(M(-x)\) appartient à \(E\). De plus :
Toute matrice de \(E\) possède ainsi un symétrique pour la multiplication, égal à \(M(-x)\).
On peut même préciser, grâce à \(x+x'=x'+x\), que :
Exercice 07 — Loi construite à partir d'un groupe
\((E;*)\) est un groupe d'élément neutre \(e\). Pour un élément \(a\in E\) donné (\(a\ne e\)), on définit la loi \(T\) sur \(E\) par :
Montrer que \((E;T)\) est un groupe commutatif.
Avec les données du manuel, on ne peut pas démontrer la conclusion annoncée. La commutativité de \(T\) imposerait en effet celle de la loi \(*\), alors que l'énoncé suppose seulement que \((E;*)\) est un groupe. Nous conservons ici l'énoncé d'origine et justifions cette difficulté. Nous traiterons ensuite la conclusion demandée en ajoutant explicitement l'hypothèse que \((E;*)\) est commutatif. Il s'agit d'une correction mathématique proposée, et non d'une hypothèse présente dans le texte du manuel.
Dans un groupe, tous les éléments sont symétrisables et l'on peut utiliser la régularité. Mais une loi nouvelle \(T\) n'hérite pas automatiquement de l'associativité de \(*\). Il faut vérifier chaque propriété pour la loi réellement définie.
Étape 1 — Pourquoi l'énoncé ne suffit-il pas ?
Traduire littéralement la commutativité de \(T\), puis simplifier par le même élément \(a\) à droite grâce à la régularité dans le groupe \((E;*)\).
Afficher l'analyse de l'énoncéMasquer l'analyse de l'énoncé
Si la loi \(T\) était commutative, pour tous \(x,y\in E\), nous aurions :
Par définition de \(T\), cela signifie :
En utilisant l'associativité de \(*\) et la régularité à droite par \(a\), nous obtenons :
Cette identité devrait être vraie pour tous \(x,y\in E\). La loi \(*\) devrait donc être commutative.
Or le manuel n'impose pas la commutativité de \(*\). La conclusion demandée ne découle donc pas des seules hypothèses données.
Étape 2 — Résolution avec l'hypothèse supplémentaire explicite
La stabilité découle de celle de \(*\). Pour l'associativité, exploiter la commutativité de \(*\) afin de réordonner les facteurs. Le neutre pour \(T\) n'est pas nécessairement \(e\) : il doit satisfaire \(xTn=x\). Chercher ensuite le symétrique de \(x\) relativement à ce nouveau neutre.
Afficher la correction sous l'hypothèse ajoutéeMasquer la correction sous l'hypothèse ajoutée
Stabilité. Pour tous \(x,y\in E\), les produits \(x*y\) et \((x*y)*a\) appartiennent à \(E\) puisque \(*\) est interne. Ainsi \(xTy\in E\).
Associativité. Pour tous \(x,y,z\in E\), en utilisant l'associativité puis la commutativité de \(*\) :
Donc \((xTy)Tz=xT(yTz)\) : la loi \(T\) est associative.
Élément neutre. Posons \(n=a^{-1}\), le symétrique de \(a\) dans le groupe initial. Alors pour tout \(x\in E\) :
Ainsi, le neutre de \((E;T)\) est \(n=a^{-1}\). Il est en général différent du neutre initial \(e\).
Symétrique. Soit \(x\in E\). On cherche \(y\in E\) tel que \(xTy=a^{-1}\), c'est-à-dire :
Dans le groupe commutatif \((E;*)\), il suffit de prendre :
En effet, ce produit appartient à \(E\), et :
Par commutativité, on a aussi \(yTx=a^{-1}\). Le symétrique de \(x\) pour \(T\) est donc \(x^{-1}*a^{-2}\), où \(a^{-2}=a^{-1}*a^{-1}\).
Commutativité. Pour tous \(x,y\in E\), la commutativité de \(*\) donne :
Exercice 08 — Sous-groupe conjugué
Soit \((G;*)\) un groupe d'élément neutre \(e\). On note \(a^{-1}\) le symétrique de \(a\). Soit \(H\) un sous-groupe de \((G;*)\) et \(n\in G\) fixé. Montrer que l'ensemble :
est un sous-groupe de \((G;*)\).
Puisque \((G;*)\) est déjà un groupe, il n'est pas nécessaire de revérifier l'associativité. Il suffit de prouver que \(H_n\) est non vide puis, pour tous \(u,v\in H_n\), que \(u*v^{-1}\in H_n\). On utilisera aussi la formule du cours \((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\).
Montrer que \(H_n\) est un sous-groupe de \(G\)
Écrire deux éléments quelconques de \(H_n\) sous la forme \(n*h*n^{-1}\). Dans le calcul du symétrique puis du produit, simplifier les facteurs voisins \(n^{-1}*n=e\) et faire apparaître un élément de \(H\).
Afficher la correction de l'exercice 08Masquer la correction de l'exercice 08
Ensemble non vide. Comme \(H\) est un sous-groupe, \(e\in H\). Or :
Donc \(e\in H_n\), et \(H_n\ne\varnothing\).
Critère de sous-groupe. Soient \(u,v\in H_n\). Il existe \(h,k\in H\) tels que :
Par la formule de l'inverse d'un produit :
On calcule alors, en respectant l'ordre des facteurs :
Comme \(H\) est un sous-groupe, \(h*k^{-1}\in H\). Il en résulte que \(u*v^{-1}\in H_n\).
À retenir — Les méthodes transférables
Ces exercices illustrent le passage de la vérification directe à l'exploitation des résultats de cours. Pour étudier une application entre groupes, il faut distinguer morphisme et bijectivité. Pour une famille de matrices, un calcul donnant \(M(x)M(y)=M(x+y)\) révèle immédiatement de nombreuses propriétés. Une nouvelle loi doit être contrôlée sans lui attribuer automatiquement les axiomes de la loi initiale. Enfin, lorsqu'un groupe ambiant est déjà connu, le critère caractéristique d'un sous-groupe est souvent la meilleure méthode. Une hypothèse manquante dans un énoncé doit être signalée, expliquée et distinguée de la résolution effectuée sous une hypothèse ajoutée.
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