Correction des exercices 08 à 10 — Loi de composition interne — Lois de composition interne

Correction des exercices 08 à 10 — Loi de composition interne

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ces trois exercices permettent de consolider plusieurs idées essentielles sur les lois de composition interne. On commence par une propriété très simple mais importante de l’élément neutre, puis on étudie une loi algébrique sur un intervalle, avant de terminer par une loi définie géométriquement à l’aide de symétries.

Les méthodes changent donc selon la situation : utiliser directement une définition, transformer une expression pour contrôler un intervalle, ou construire une table de composition à partir d’une figure. L’objectif est de savoir choisir l’outil adapté à la nature de la loi.

Exercice 08

Soit \((E;T)\) un ensemble muni d’une loi de composition interne possédant un élément neutre \(e\).

1) Montrer qu’il existe au moins un élément symétrisable dans \((E;T)\).

2) On considère \(E=\{a;b\}\) et la table :

\[ \begin{array}{c|cc} T&a&b\\ \hline a&a&b\\ b&b&? \end{array} \]

Compléter la table afin que \(b\) soit symétrisable.

Repère de cours.

Si \(e\) est l’élément neutre d’une loi \(T\), alors \[ xTe=eTx=x \] pour tout \(x\in E\).

Un élément \(x\) est symétrisable s’il existe \(x'\in E\) tel que \[ xTx'=x'Tx=e. \]

Question 1 — Existence d’un élément symétrisable

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Idée. Lorsqu’on cherche seulement à prouver qu’il existe au moins un élément ayant une propriété, il suffit d’en exhiber un.

Puisque \(e\) est l’élément neutre de \(T\), on a en particulier :

\[ eTe=e. \]

Ainsi, \(e\) possède un symétrique : lui-même.

\[ \boxed{ e\text{ est symétrisable et son symétrique est }e. } \]

Question fréquente. A-t-on besoin de supposer la loi associative ?

Non. Ici, on utilise uniquement la définition d’un élément symétrisable et l’existence de l’élément neutre.

Question 2 — Compléter la table

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D’après les valeurs déjà données :

\[ aTa=a,\qquad aTb=b,\qquad bTa=b. \]

On constate donc que \(a\) est l’élément neutre.

Pour que \(b\) soit symétrisable, il faut que son composé avec un élément de \(E\) donne le neutre \(a\).

Or :

\[ bTa=b\neq a. \]

Le seul choix possible est donc :

\[ bTb=a. \]

La table complétée est :

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cc} T&a&b\\ \hline a&a&b\\ b&b&a \end{array} } \]

Dans cette loi, \(b\) est donc son propre symétrique.

Exercice 09

Soit \(a>0\) et \[ G=]-a,a[. \] Pour \(x,y\in G\), on pose :

\[ xTy= \frac{x+y} {1+\dfrac{xy}{a^2}}. \]

1) Montrer que \(T\) est une loi de composition interne dans \(G\).

2) Montrer que \(T\) est commutative et associative.

3) Montrer que \(T\) possède un élément neutre.

4) Déterminer les éléments symétrisables dans \(G\).

Repère de cours.

Pour prouver que \(T\) est une loi interne sur \(G\), il faut vérifier que \(xTy\) est défini et que \[ xTy\in]-a,a[ \] pour tous \(x,y\in G\).

Question 1 — Loi de composition interne

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Soient \[ x,y\in]-a,a[. \]

Comme \(a>0\), on a :

\[ -a\lt x\lt a \qquad\text{et}\qquad -a\lt y\lt a. \]

En particulier :

\[ xy>-a^2, \]

donc :

\[ 1+\frac{xy}{a^2}>0. \]

La fraction définissant \(xTy\) est donc toujours bien définie.

Astuce. Pour montrer que \(xTy\in]-a,a[\), il est plus efficace d’étudier les deux différences \(a-xTy\) et \(a+xTy\).

Écrivons d’abord :

\[ xTy = \frac{a^2(x+y)}{a^2+xy}. \]

Alors :

\[ \begin{aligned} a-xTy &= a-\frac{a^2(x+y)}{a^2+xy}\\[1mm] &= \frac{a(a-x)(a-y)}{a^2+xy}. \end{aligned} \]

Or \[ a-x>0,\qquad a-y>0,\qquad a^2+xy>0. \]

Donc :

\[ a-xTy>0, \]

c’est-à-dire :

\[ xTy\lt a. \]

De même :

\[ \begin{aligned} a+xTy &= a+\frac{a^2(x+y)}{a^2+xy}\\[1mm] &= \frac{a(a+x)(a+y)}{a^2+xy}. \end{aligned} \]

Comme \[ a+x>0,\qquad a+y>0, \] on obtient :

\[ a+xTy>0. \]

Donc :

\[ xTy>-a. \]

Finalement :

\[ -a\lt xTy\lt a. \]

\[ \boxed{ T\text{ est une loi de composition interne sur }G. } \]

Erreur à éviter. Vérifier seulement que le dénominateur est non nul ne suffit pas. Il faut aussi montrer que le résultat appartient encore à \(G\).

Question 2 — Commutativité et associativité

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Commutativité

Pour tous \(x,y\in G\),

\[ \begin{aligned} xTy &= \frac{x+y}{1+\dfrac{xy}{a^2}}\\ &= \frac{y+x}{1+\dfrac{yx}{a^2}}\\ &=yTx. \end{aligned} \]

\[ \boxed{T\text{ est commutative}.} \]

Associativité

Méthode. On utilise la forme \[ xTy=\frac{a^2(x+y)}{a^2+xy}, \] qui évite les fractions imbriquées inutiles.

Soient \(x,y,z\in G\). D’après la question précédente, \(xTy\) et \(yTz\) appartiennent encore à \(G\).

On obtient :

\[ (xTy)Tz = \frac{ a^2(x+y+z)+xyz }{ a^2+xy+xz+yz }. \]

De même :

\[ xT(yTz) = \frac{ a^2(x+y+z)+xyz }{ a^2+xy+xz+yz }. \]

Par conséquent :

\[ (xTy)Tz=xT(yTz). \]

\[ \boxed{T\text{ est associative}.} \]

Une fois l’expression simplifiée, les deux parenthésages donnent exactement la même formule. C’est ce qui établit l’associativité pour tous les éléments de \(G\).

Question 3 — Élément neutre

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Comme \[ 0\in]-a,a[, \] calculons :

\[ xT0 = \frac{x+0} {1+\dfrac{x\cdot0}{a^2}} =x. \]

La loi étant commutative, on a également :

\[ 0Tx=x. \]

\[ \boxed{0\text{ est l’élément neutre de }(G;T).} \]

Question 4 — Éléments symétrisables

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Soit \(x\in G\). Puisque \[ -a\lt x\lt a, \] on a aussi :

\[ -a\lt -x\lt a. \]

Ainsi :

\[ -x\in G. \]

Calculons :

\[ \begin{aligned} xT(-x) &= \frac{x-x} {1-\dfrac{x^2}{a^2}}\\ &=0. \end{aligned} \]

Comme \(|x|\lt a\), on a \[ x^2\lt a^2, \] donc le dénominateur est strictement positif.

La loi étant commutative :

\[ (-x)Tx=0. \]

\[ \boxed{ \text{Tout }x\in G\text{ est symétrisable et son symétrique est }-x. } \]

À retenir. Un candidat au symétrique doit satisfaire deux conditions : produire l’élément neutre et appartenir lui-même à l’ensemble étudié.

Exercice 10

Soit \(ABCDEF\) un hexagone régulier de centre \(O\), et \[ X=\{A;B;C;D;E;F\}. \]

On définit sur \(X\) une loi \(\bullet\) de la manière suivante : pour \(M,N\in X\), \(M\bullet N\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la droite \((ON)\).

1) Déterminer la table de la loi \(\bullet\).

2) La loi \(\bullet\) est-elle commutative ? Est-elle associative ?

3) La loi \(\bullet\) possède-t-elle un élément neutre ?

Repère géométrique.

Dans un hexagone régulier de centre \(O\), les sommets opposés sont \[ A\text{ et }D,\qquad B\text{ et }E,\qquad C\text{ et }F. \]

Ainsi, les droites \[ (OA)=(OD),\qquad (OB)=(OE),\qquad (OC)=(OF) \] constituent les trois axes de symétrie utilisés dans cette loi.

Question 1 — Table de composition

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Méthode. Dans la table, la ligne correspond au premier élément \(M\) et la colonne au second élément \(N\). On réfléchit donc le sommet de la ligne par rapport à la droite déterminée par le sommet de la colonne.

Par exemple :

\[ A\bullet A=A, \qquad A\bullet B=C, \qquad A\bullet C=E. \]

Comme \((OA)=(OD)\), la symétrie correspondant à \(D\) est la même que celle correspondant à \(A\). Il en est de même pour les couples de sommets opposés.

On obtient alors :

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccccc} \bullet&A&B&C&D&E&F\\ \hline A&A&C&E&A&C&E\\ B&F&B&D&F&B&D\\ C&E&A&C&E&A&C\\ D&D&F&B&D&F&B\\ E&C&E&A&C&E&A\\ F&B&D&F&B&D&F \end{array} } \]

Pourquoi certaines colonnes sont-elles identiques ?

Parce que deux sommets opposés déterminent la même droite avec le centre \(O\). Par exemple, utiliser \(A\) ou \(D\) comme second élément revient à effectuer la symétrie par rapport au même axe.

Question 2 — Commutativité et associativité

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Commutativité

Réflexe. Pour montrer qu’une propriété universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit.

D’après la table :

\[ A\bullet B=C \]

tandis que :

\[ B\bullet A=F. \]

Comme \(C\neq F\), on obtient :

\[ \boxed{\bullet\text{ n’est pas commutative}.} \]

Associativité

Prenons \(A,A,B\). On a :

\[ \begin{aligned} (A\bullet A)\bullet B &=A\bullet B\\ &=C. \end{aligned} \]

Mais :

\[ \begin{aligned} A\bullet(A\bullet B) &=A\bullet C\\ &=E. \end{aligned} \]

Or \(C\neq E\). Donc :

\[ \boxed{\bullet\text{ n’est pas associative}.} \]

Une table de composition permet souvent de réfuter très rapidement la commutativité ou l’associativité : il n’est pas nécessaire de vérifier tous les cas lorsqu’un contre-exemple a déjà été trouvé.

Question 3 — Élément neutre

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Si un élément \(e\in X\) était neutre, on devrait avoir :

\[ M\bullet e=M \qquad\text{et}\qquad e\bullet M=M \]

pour tout \(M\in X\).

Dans la table, cela imposerait notamment qu’une colonne restitue successivement \[ A,B,C,D,E,F. \]

Or aucune colonne de la table ne possède cette propriété.

\[ \boxed{ \text{La loi }\bullet\text{ n’admet aucun élément neutre.} } \]

Interprétation géométrique. Pour que \(M\bullet e=M\), le sommet \(M\) devrait rester fixe par la symétrie d’axe \((Oe)\). Un même axe ne peut pas contenir tous les sommets de l’hexagone. Il ne peut donc pas jouer le rôle d’un élément neutre pour tous les éléments de \(X\).

À retenir

L’exercice 08 montre qu’un élément neutre fournit immédiatement un premier exemple d’élément symétrisable : le neutre lui-même.

Dans l’exercice 09, l’étude de la stabilité de \(]-a,a[\) repose sur les expressions \(a-xTy\) et \(a+xTy\). Cette technique permet de traiter proprement les deux bornes de l’intervalle.

Enfin, l’exercice 10 rappelle qu’une loi peut être définie géométriquement. Une fois sa table construite, les questions de commutativité, d’associativité et d’élément neutre deviennent beaucoup plus faciles à examiner.

Parcours Maths Maroc — PMM
Professeur Hammou Boudraa

MATHS PARCOURS MAROC

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