Correction des exercices 01 à 05 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application
Dans ces cinq exercices, on utilise la définition du nombre dérivé, les limites à droite et à gauche et leurs interprétations géométriques. L’objectif est de distinguer une dérivée finie, une limite infinie du quotient et la continuité d’une fonction.
Pour chaque fonction, on vérifie d’abord que le point étudié appartient à son ensemble de définition. Lorsqu’une limite conduit à une forme indéterminée, on transforme l’expression avant de conclure.
Point de méthode. Dans cette série, l’utilisation du taux d’accroissement fait partie du raisonnement demandé. Une formule de dérivée usuelle ne remplace pas la transformation du quotient. Pour les racines, la quantité conjuguée ou la différence de deux cubes permet d’obtenir une expression dont la limite est calculable.
Une limite infinie du taux d’accroissement décrit une tangente verticale ; elle n’est pas un nombre dérivé réel. Pour une dérivabilité bilatérale, les limites à gauche et à droite doivent être finies et égales.
Si \(f\) est définie au voisinage de \(x_0\), sa dérivée en \(x_0\), lorsqu’elle existe et est finie, est donnée par :
\[f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.\]À une extrémité de l’ensemble de définition ou pour étudier un seul côté, on considère une limite unilatérale. Une limite finie donne le coefficient directeur d’une demi-tangente ; une limite égale à \(+\infty\) ou \(-\infty\) donne une demi-tangente verticale et ne constitue pas un nombre dérivé fini.
Exercice 01 — Dérivabilité par définition
Question 1
Rationaliser la différence \(\sqrt{1+x^2}-1\) dans le taux en 0, sans utiliser directement une formule de dérivée.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On a \(f(0)=1\). Pour \(x\ne0\), on utilise la quantité conjuguée :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}.\]Le dénominateur tend vers \(2\) ; le quotient tend donc vers \(0\).
Question 2
Utiliser la différence de deux cubes pour simplifier \(\sqrt[3]{1+h}\)−1, puis traiter le terme affine séparément.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-1\), donc \(x=1+h\). Lorsque \(x\to1\), on a \(h\to0\).
On a \(f(1)=1\). Pour \(h\ne0\), l'identité \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) donne :
\[\frac{\sqrt[3]{1+h}-1}{h}=\frac1{(\sqrt[3]{1+h})^2+\sqrt[3]{1+h}+1}.\]Ainsi :
\[\frac{f(1+h)-f(1)}h=2-\frac1{(\sqrt[3]{1+h})^2+\sqrt[3]{1+h}+1},\qquad \lim_{h\to0}\left(\frac{f(1+h)-f(1)}h\right)=2-\frac13\]Question 3
Mettre les deux fractions au même dénominateur, développer (−2+h)² puis simplifier le facteur h.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x+2\), donc \(x=-2+h\). Lorsque \(x\to-2\), on a \(h\to0\).
On sait que \(f(-2)=\frac16\). Pour \(h\ne0\) :
\[\begin{aligned}\frac{f(-2+h)-f(-2)}h &=\frac{\dfrac1{(-2+h)^2+2}-\dfrac16}h\\ &=\frac{6-((-2+h)^2+2)}{6h((-2+h)^2+2)}\\ &=\frac{4-h}{6((-2+h)^2+2)}. \end{aligned}\]Lorsque \(h\to0\), le numérateur tend vers \(4\) et le dénominateur vers \(36\).
Question 4
Calculer directement le taux en 0 et simplifier \(\frac{x|x|}x\) ; la limite vaut pour les deux signes de x.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(f(0)=0\), pour tout \(x\ne0\) :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{x|x|}x=|x|.\]Or \(\lim_{x\to0}|x|=0\). Les limites à gauche et à droite coïncident.
Question 6
Séparer le taux en trois termes et utiliser les limites trigonométriques usuelles, avec le facteur 4 pour \(\tan(4x)\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On a \(f(0)=1\). Pour \(x\ne0\) assez proche de \(0\) :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{\cos x-1}x-\frac{\sin^2x}x+\frac{\tan(4x)}x.\]En utilisant les limites trigonométriques usuelles :
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}x=0,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}x=\lim_{x\to0}\left(\sin x\,\frac{\sin x}x\right)=0,\] \[\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}x=4\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{4x}=4.\]Par somme, le quotient tend vers \(4\).
Question 7
Poser \(u=\sqrt[3]{(2+h)^3-7}\), factoriser \(u^3-1\) et simplifier le facteur \(h\).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-2\), donc \(x=2+h\). Lorsque \(x\to2\), on a \(h\to0\).
On a \(f(2)=1\). Posons \(u_h=\sqrt[3]{(2+h)^3-7}\). Alors \(u_h\to1\) et :
\[u_h^3-1=(2+h)^3-8=12h+6h^2+h^3.\]L'identité de la différence de deux cubes donne, pour \(h\ne0\) :
\[\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac{u_h-1}h=\frac{12+6h+h^2}{u_h^2+u_h+1}.\]Le numérateur tend vers \(12\) et le dénominateur vers \(3\).
Question 8
Rationaliser d’abord la branche définie pour x≠0, puis former son taux avec la valeur particulière f(0).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\ne0\), la quantité conjuguée permet d'écrire :
\[f(x)=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac1{\sqrt{1+x}+1}.\]Comme \(f(0)=\frac12\), pour \(x\ne0\) :
\[\begin{aligned}\frac{f(x)-f(0)}x &=\frac{\frac1{\sqrt{1+x}+1}-\frac12}x\\ &=\frac{1-\sqrt{1+x}}{2x(\sqrt{1+x}+1)}\\ &=-\frac1{2(\sqrt{1+x}+1)^2}. \end{aligned}\]La dernière expression admet une limite finie lorsque \(x\to0\).
Exercice 02 — Dérivabilité à droite
Question 1
Former le taux à droite en 2 et simplifier \(\frac{\sqrt h}h\) pour h>0.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-2\), donc \(x=2+h\). Lorsque \(x\to2^+\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(2)=0\). Pour \(h\gt 0\) :
\[\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac{\sqrt h}h=\frac1{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(2+h)-f(2)}h\right)=+\infty\]Question 2
Poser x=−1+h avec h>0 ; factoriser h dans le radicande pour lire la limite à droite.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x+1\), donc \(x=-1+h\). Lorsque \(x\to-1^+\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(-1)=0\). Pour \(0\lt h\lt 2\) :
\[\frac{f(-1+h)-f(-1)}h=\frac{\sqrt{2h-h^2}}h=\frac{\sqrt{2-h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(-1+h)-f(-1)}h\right)=+\infty\]Question 3
Factoriser x²+x−2 au voisinage de 1 puis utiliser h>0 dans le taux à droite.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-1\), donc \(x=1+h\). Lorsque \(x\to1^+\), on a \(h\to0^+\).
Comme \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) et \(f(1)=0\), pour \(h\gt 0\) :
\[\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{\sqrt{h(3+h)}}h=\frac{\sqrt{3+h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1+h)-f(1)}h\right)=+\infty\]Question 4
La valeur en 0 étant nulle, simplifier le facteur x avant de passer à la limite.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Le dénominateur est non nul au voisinage de \(0\) et \(f(0)=0\). Pour \(x\gt 0\) :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{1}{\sqrt[3]{5+x}},\qquad \lim_{x\to0^+}\left(\frac{f(x)-f(0)}x\right)=\frac1{\sqrt[3]5}\]Question 5
Poser x=3+h avec h>0 ; isoler le terme de racine dans le taux d’accroissement.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-3\), donc \(x=3+h\). Lorsque \(x\to3^+\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(3)=3\). Pour \(h\gt 0\), le radicande vaut \(h(3+h)\), d'où :
\[\frac{f(3+h)-f(3)}h=\frac{h-\sqrt{h(3+h)}}h=1-\frac{\sqrt{3+h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(3+h)-f(3)}h\right)=-\infty\]Question 6
Déterminer le signe de x²−1 immédiatement à droite de 1 avant de retirer la valeur absolue.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x-1\), donc \(x=1+h\). Lorsque \(x\to1^+\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(1)=0\). Pour \(h\gt 0\) suffisamment petit, \((1+h)^2-1=h(2+h)\gt 0\). Alors :
\[\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{h(2+h)}h=2+h,\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1+h)-f(1)}h\right)=2\]Question 7
Au voisinage droit de −2, déterminer le signe de x²−4 puis factoriser avec h>0.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=x+2\), donc \(x=-2+h\). Lorsque \(x\to-2^+\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(-2)=0\). Si \(0\lt h\lt 4\), alors \((-2+h)^2-4=h(h-4)\lt 0\). Par conséquent :
\[\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=\frac{\sqrt{h(4-h)}}h=\frac{\sqrt{4-h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(-2+h)-f(-2)}h\right)=+\infty\]Exercice 03 — Dérivabilité à gauche
Question 1
Utiliser x=1−h avec h>0 pour respecter le côté gauche ; garder le signe négatif du déplacement.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=1-x\), donc \(x=1-h\). Lorsque \(x\to1^-\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(1)=1\). Si \(h\gt 0\), alors :
\[\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}=\frac{-h+\sqrt[3]h}{-h}=1-\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\right)=-\infty\]Question 2
Factoriser le radicande au point 1 et former le quotient à gauche sans traverser la zone interdite.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=1-x\), donc \(x=1-h\). Lorsque \(x\to1^-\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(1)=0\). Pour \(h\gt 0\), on obtient :
\[f(1-h)=\sqrt{(1-h)^2-5(1-h)+4}=\sqrt{h(3+h)}.\]Ainsi :
\[\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}=-\frac{\sqrt{3+h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\right)=-\infty\]Question 3
Étudier le signe du quotient sous la racine près de 0 puis utiliser x=−h pour le taux à gauche.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=-x\), donc \(x=0-h\). Lorsque \(x\to0^-\), on a \(h\to0^+\).
Le radicande est positif pour \(x\lt 0\) et nul en \(0\) : la fonction est bien définie à gauche de \(0\), avec \(f(0)=0\).
Pour \(h\gt 0\) :
\[f(-h)=\sqrt{\frac{(-h)^3}{-h-2}}=h\sqrt{\frac h{h+2}}.\]Par conséquent :
\[\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\sqrt{\frac h{h+2}},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(-h)-f(0)}{-h}\right)=0\]Question 4
Poser x=−2−h avec h>0 ; factoriser le radicande et conserver le signe du dénominateur −h.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=-2-x\), donc \(x=-2-h\). Lorsque \(x\to-2^-\), on a \(h\to0^+\).
Comme \(f(-2)=0\), pour \(h\gt 0\) :
\[f(-2-h)=\sqrt{(-2-h)^2+(-2-h)-2}=\sqrt{h(3+h)}.\]Donc :
\[\frac{f(-2-h)-f(-2)}{-h}=-\frac{\sqrt{3+h}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(-2-h)-f(-2)}{-h}\right)=-\infty\]Question 5
Factoriser 8−x³ par 2−x pour simplifier le taux à gauche en 2.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Posons \(h=2-x\), donc \(x=2-h\). Lorsque \(x\to2^-\), on a \(h\to0^+\).
On a \(f(2)=0\). Pour \(h\gt 0\) :
\[f(2-h)=\sqrt{8-(2-h)^3}=\sqrt{h(12-6h+h^2)}.\]Par suite :
\[\frac{f(2-h)-f(2)}{-h}=-\frac{\sqrt{12-6h+h^2}}{\sqrt h},\qquad \lim_{h\to0^+}\left(\frac{f(2-h)-f(2)}{-h}\right)=-\infty\]Exercice 04 — Continuité et dérivabilité d’une fonction oscillante
Question 1a
Utiliser la borne |sin u|≤1 et multiplier par le facteur positif x².
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout réel \(t\), \(|\sin t|\le1\). Ainsi, pour \(x\ne0\) :
\[|f(x)|=x^2\left|\sin\left(\frac1x\right)\right|\le x^2.\]Question 1b
Appliquer le théorème des gendarmes à l’encadrement obtenu, puis comparer la limite à f(0).
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\ne0\), l'inégalité précédente donne :
\[-x^2\le f(x)\le x^2.\]Les deux fonctions extrêmes tendent vers \(0\) lorsque \(x\to0\). Par encadrement, \(\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)\).
Question 2
Former le taux en 0 puis majorer sa valeur absolue par une quantité tendant vers 0.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\ne0\), puisque \(f(0)=0\) :
\[\frac{f(x)-f(0)}x=x\sin\left(\frac1x\right).\]L'inégalité \(|\sin t|\le1\) entraîne :
\[-|x|\le x\sin\left(\frac1x\right)\le|x|.\]Les deux bornes tendent vers \(0\) ; d'après le théorème d'encadrement, le quotient admet pour limite \(0\).
Exercice 05 — Continuité, dérivabilité et demi-tangente
Question 1
Rationaliser la différence de racines dans la branche utilisée près de 0, puis comparer la limite à la valeur particulière.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(x\ne0\), on multiplie par la quantité conjuguée :
\[\begin{aligned}f(x)&=\frac{(4-x)-(4-x^2)}{x(\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x^2})}\\ &=\frac{x-1}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x^2}}.\end{aligned}\]Le dénominateur tend vers \(4\), donc :
\[\lim_{x\to0}f(x)=\frac{-1}{2+2}=-\frac14=f(0).\]Question 2a
Former le taux avec f(0), rationaliser et chercher une limite finie commune des deux côtés.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
Écrivons \(A(x)=\sqrt{4-x}\) et \(B(x)=\sqrt{4-x^2}\). D'après la forme simplifiée obtenue, pour \(x\ne0\) :
\[\begin{aligned}\frac{f(x)-f(0)}x &=\frac{\frac{x-1}{A(x)+B(x)}+\frac14}{x}\\ &=\frac{4+\frac{A(x)-2}{x}+\frac{B(x)-2}{x}}{4(A(x)+B(x))}. \end{aligned}\]En multipliant chaque différence par sa quantité conjuguée :
\[\frac{A(x)-2}{x}=-\frac1{\sqrt{4-x}+2},\qquad \lim_{x\to0}\left(\frac{A(x)-2}{x}\right)=-\frac14\] \[\frac{B(x)-2}{x}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}+2},\qquad \lim_{x\to0}\left(\frac{B(x)-2}{x}\right)=0\]Par conséquent :
\[\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{4-\frac14}{4\cdot4}=\frac{15}{64}.\]Question 2b
Utiliser les valeurs de f(0) et f′(0) dans la formule de la tangente, sans confondre pente et ordonnée à l’origine.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
La tangente au point d'abscisse \(x_0\) a pour équation \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). Ici \(f'(0)=\frac{15}{64}\) et \(f(0)=-\frac14\).
Question 3
Poser x=2−h avec h>0 et simplifier le taux à gauche ; interpréter sa limite infinie sans la nommer dérivée réelle.
Afficher la réponse +Masquer la réponse −
On a \(f(2)=\dfrac{\sqrt2}{2}\). Pour \(x\lt 2\) suffisamment proche de \(2\), on décompose :
\[\begin{aligned} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} &=\frac1x\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt2}{x-2}\\ &\quad+\sqrt2\frac{\frac1x-\frac12}{x-2} -\frac{\sqrt{4-x^2}}{x(x-2)}. \end{aligned}\]Les deux premiers termes ont des limites finies, car :
\[\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt2}{x-2}=-\frac1{\sqrt{4-x}+\sqrt2},\qquad \lim_{x\to2^-}\left(\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt2}{x-2}\right)=-\frac1{2\sqrt2}\] \[\sqrt2\frac{\frac1x-\frac12}{x-2}=-\frac{\sqrt2}{2x},\qquad \lim_{x\to2^-}\left(\sqrt2\frac{\frac1x-\frac12}{x-2}\right)=-\frac{\sqrt2}{4}\]En revanche, pour \(x\lt 2\) proche de \(2\) :
\[-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x(x-2)} =\frac{\sqrt{2+x}}{x\sqrt{2-x}},\qquad \lim_{x\to2^-}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x(x-2)}\right)=+\infty\]Le quotient de variation tend donc vers \(+\infty\).
Ce qu’il faut retenir
La dérivabilité en un point se décide en calculant une limite du quotient de variation. Une limite finie donne le nombre dérivé ; une limite infinie donne une tangente ou une demi-tangente verticale, sans dérivabilité finie du côté considéré.
La continuité doit être vérifiée lorsqu’elle est demandée : elle peut être établie par une limite directe, une rationalisation ou le théorème d’encadrement. Enfin, la dérivabilité en un point entraîne la continuité en ce point, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
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