Correction des exercices 10 à 13 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Après la construction d’un sous-groupe multiplicatif à partir de deux nombres premiers, les exercices exploitent les images réciproques de sous-groupes et deux constructions d’isomorphismes. À chaque fois, on privilégie le résultat du cours correspondant à la question plutôt que de redémontrer tous les axiomes. Les propriétés héritées sont ensuite utilisées pour le neutre, les inverses et les puissances.
Exercice 10 — Sous-groupe défini par deux nombres premiers distincts
Soient p et q deux nombres premiers positifs distincts. Montrer que H={p^m q^n : (m,n) appartient à Z²} est un sous-groupe de (R*, ×).
Critère caractéristique du sous-groupe multiplicatif : non-vacuité et stabilité par quotient u/v. Les exposants étant entiers, les inverses appartiennent naturellement à l’ensemble.
Montrer que H est un sous-groupe
Écrire le quotient de deux produits de puissances et vérifier que leurs nouveaux exposants sont entiers.
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Les nombres p et q étant des nombres premiers positifs, ils sont non nuls. Tous les produits p^m q^n appartiennent donc à R*. Le neutre 1=p^0 q^0 appartient à H.
Soient u=p^m q^n et v=p^r q^s deux éléments quelconques de H. Alors
Puisque m−r et n−s sont des entiers, ce quotient est encore un élément de H. Le critère multiplicatif de sous-groupe conclut.
La restriction « premiers distincts » n’est pas nécessaire à la stabilité ; elle devient utile pour d’autres propriétés de ce sous-groupe.
Exercice 11 — Image réciproque d’un sous-groupe
Soit \(f:(G,T)\to(G',\perp)\) un morphisme de groupes et \(H'\) un sous-groupe de \(G'\). Montrer que \(f^{-1}(H')\) est un sous-groupe de \(G\).
Critère du sous-groupe : une partie non vide \(H\) de \(G\) est un sous-groupe lorsque \(xTy^{-1}\in H\) pour tous \(x,y\in H\). Tout morphisme envoie le neutre sur le neutre et respecte les inverses.
Critère du sous-groupe
Vérifier la non-vacuité avec le neutre, puis montrer que l’image du produit d’un élément et de l’inverse d’un autre reste dans le sous-groupe cible.
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Soit \(e\) le neutre de \(G\) et \(e'\) celui de \(G'\). Puisque \(f(e)=e'\in H'\), on a \(e\in f^{-1}(H')\).
Pour \(x,y\in f^{-1}(H')\), les éléments \(f(x),f(y)\) appartiennent à \(H'\), donc \(f(x)\perp f(y)^{-1}\in H'\).
Le résultat concerne une image réciproque : il ne faut pas la confondre avec l’image directe, qui exige un autre énoncé du cours.
Exercice 12 — Transfert de structure par la fonction sinus hyperbolique
Pour \(x,y\in\mathbb R\), on pose \(x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\), et \(s(x)=(e^x-e^{-x})/2\). Montrer que \(s\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((\mathbb R,*)\) ; trouver le neutre, le symétrique et le produit itéré.
La méthode du manuel pour une loi compliquée consiste à identifier une bijection qui transforme la loi usuelle en la loi étudiée. Ici \(s(x)=\sinh x\) et \(\cosh x=\sqrt{1+s(x)^2}\).
Isomorphisme
Établir d’abord la bijectivité, puis vérifier la formule de compatibilité. La bijectivité de \(s\) résulte de sa continuité, de sa stricte croissance et de ses limites infinies.
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La fonction \(s\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\), puisque \(s'(x)=(e^x+e^{-x})/2>0\), et elle réalise donc une bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\).
Pour tous réels \(u,v\), la formule d’addition des exponentielles donne :
La compatibilité avec les lois et la bijectivité sont donc établies.
Le caractère compliqué de la loi est apparent : via \(s\), elle se ramène exactement à l’addition ordinaire.
Neutre, inverse et produit itéré
Transférer les résultats du groupe additif ; éviter de recommencer les calculs d’associativité.
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Le neutre additif \(0\) est envoyé sur \(s(0)=0\) : le neutre de \(*\) est donc \(0\). Comme \(s(-u)=-s(u)\), le symétrique de \(x\) est \(-x\).
Si \(x=s(u)\), le produit de \(n\) facteurs égaux à \(x\) est \(s(nu)\). L’inverse de \(s\) se lit sur \(x=(e^u-e^{-u})/2\) : \(u=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\).
C’est le principe du transfert de structure et de calcul des puissances dans un groupe.
Exercice 13 — Groupe des transformations affines du plan
Pour \(a>0\), on considère la transformation \(\varphi_a(x,y)=(x+\ln a,ay)\). Soit \(F=\{\varphi_a:a>0\}\). Étudier la composition, montrer que \(a\mapsto\varphi_a\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) vers \((F,\circ)\), puis déterminer neutre et inverse.
Les transformations dépendent d’un paramètre. Calculer leur composition permet de reconnaître la loi multiplicative sur ce paramètre.
Loi interne et morphisme
Composer deux transformations sur un point arbitraire ; comparer le résultat à \(\varphi_{ab}\). Vérifier l’injectivité à l’aide de la seconde coordonnée et la surjectivité par définition de \(F\).
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Pour tout \(a,b>0\), \(\varphi_a(\varphi_b(x,y))=(x+\ln b+\ln a,aby)\).
Le produit \(ab>0\) assure la stabilité. L’application \(f(a)=\varphi_a\) vérifie \(f(ab)=f(a)\circ f(b)\). Elle est surjective par définition de \(F\), et si \(\varphi_a=\varphi_b\), leurs actions sur \((0,1)\) donnent \(a=b\).
Le groupe des transformations n’a pas besoin d’être reconstruit : sa structure vient du groupe multiplicatif positif.
Structure du groupe de transformations
Transporter le neutre et les inverses du groupe \((\mathbb R_+^*,\times)\).
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Le neutre est \(\varphi_1=\mathrm{Id}\). Comme \(a(1/a)=1\), on a \(\varphi_a\circ\varphi_{1/a}=\mathrm{Id}\). La composition est commutative ici car \(ab=ba\).
Cette méthode du cours évite les calculs redondants sur une loi déjà transportée.
À retenir
Le critère de sous-groupe et les isomorphismes fournissent des méthodes adaptées qui s’appliquent à des situations très différentes.
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