Correction des exercices 11 et 12 — Loi de composition interne

Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Une loi de composition interne peut être donnée par une valeur absolue, un tableau ou une opération sur des entiers. Dans chaque situation, les mêmes définitions s’appliquent, mais la manière de les utiliser dépend de la forme de la loi.

L’exercice 11 conduit à reconnaître le plus grand de deux nombres. L’exercice 12 demande au contraire de calculer des restes de divisions euclidiennes et de lire une table de composition. Une attention particulière sera portée à la différence entre un élément neutre véritable et un élément qui n’est neutre que d’un seul côté.

Exercice 11

On définit sur \(\mathbb R^+\) l’opération \(\perp\) par :

\[ \forall x,y\in\mathbb R^+, \qquad x\perp y=\frac{x+y+|x-y|}{2}. \]

1) Montrer que \(\perp\) est une loi de composition interne sur \(\mathbb R^+\).

2) Montrer que la loi \(\perp\) est commutative.

3) La loi \(\perp\) est-elle associative ? Justifier.

4) Montrer que la loi \(\perp\) admet un élément neutre.

5) Déterminer les éléments symétrisables dans \((\mathbb R^+;\perp)\).

Repère de cours.

Une loi est interne sur \(E\) lorsque la composition de deux éléments quelconques de \(E\) appartient encore à \(E\). L’associativité exige \((x\perp y)\perp z=x\perp(y\perp z)\) pour tous \(x,y,z\in E\).

Un élément neutre \(e\) doit vérifier les deux égalités \(x\perp e=e\perp x=x\). Un symétrique de \(x\) est un élément \(x'\in E\) vérifiant \(x\perp x'=x'\perp x=e\).

Question 1 — Vérifier que la loi est interne

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Astuce. Commencer par examiner les deux cas possibles : \(x\geq y\) et \(x\leq y\). La valeur absolue disparaît alors immédiatement.

Soient \(x,y\in\mathbb R^+\).

Si \(x\geq y\), alors \(|x-y|=x-y\). Par suite :

\[ x\perp y=\frac{x+y+x-y}{2}=x. \]

Si \(x\leq y\), alors \(|x-y|=y-x\). On obtient :

\[ x\perp y=\frac{x+y+y-x}{2}=y. \]

Dans les deux cas, le résultat est l’un des deux éléments \(x\) ou \(y\), donc il appartient à \(\mathbb R^+\).

\[ \boxed{\perp\text{ est une loi de composition interne sur }\mathbb R^+.} \]

Les calculs montrent en outre une identité qui simplifiera tout l’exercice :

\[ \boxed{x\perp y=\max(x,y).} \]

La composition de deux nombres est simplement le plus grand des deux.

Question 2 — Commutativité

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Pour tous \(x,y\in\mathbb R^+\), on a :

\[ \begin{aligned} y\perp x &=\frac{y+x+|y-x|}{2}\\ &=\frac{x+y+|x-y|}{2}\\ &=x\perp y. \end{aligned} \]

On utilise ici \(|y-x|=|x-y|\).

\[\boxed{\perp\text{ est commutative.}}\]

Le résultat était également visible avec \(x\perp y=\max(x,y)\) : échanger les deux nombres ne change pas leur maximum.

Question 3 — Associativité

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Méthode. Plutôt que de développer des valeurs absolues emboîtées, utilisons l’identité établie à la question 1.

Soient \(x,y,z\in\mathbb R^+\). On a :

\[ (x\perp y)\perp z=\max(\max(x,y),z). \]

Cette expression est le plus grand des trois nombres \(x\), \(y\) et \(z\). De même :

\[ x\perp(y\perp z)=\max(x,\max(y,z)), \]

qui est encore le plus grand des mêmes trois nombres. Donc, pour tous \(x,y,z\in\mathbb R^+\) :

\[ (x\perp y)\perp z=x\perp(y\perp z). \]

\[\boxed{\perp\text{ est associative.}}\]

Question fréquente. Un exemple numérique suffit-il à prouver l’associativité ?

Non. L’égalité doit être vraie pour tous les triplets \((x,y,z)\). Ici, la propriété du maximum fournit une justification générale.

Question 4 — Élément neutre

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Comme \(\mathbb R^+=[0,+\infty[\), on a \(0\in\mathbb R^+\). Pour tout \(x\in\mathbb R^+\) :

\[ x\perp0=\max(x,0)=x \qquad\text{et}\qquad 0\perp x=\max(0,x)=x. \]

Les deux égalités exigées dans la définition sont vérifiées.

\[\boxed{0\text{ est l’élément neutre de }(\mathbb R^+;\perp).}\]

Pourquoi le choix de l’ensemble compte-t-il ? Le nombre \(0\) appartient à \(\mathbb R^+\) mais pas à \(\mathbb R_+^*\). Il faut toujours vérifier l’appartenance du candidat à l’ensemble étudié.

Question 5 — Éléments symétrisables

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Le neutre est \(0\). Soit \(x\in\mathbb R^+\). Si \(x\) est symétrisable, il existe \(x'\in\mathbb R^+\) tel que :

\[ x\perp x'=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \max(x,x')=0. \]

Or \(x\geq0\) et \(x'\geq0\). Leur maximum vaut \(0\) seulement lorsque \(x=x'=0\).

Réciproquement, \(0\perp0=0\) : le neutre est son propre symétrique.

\[ \boxed{0\text{ est le seul élément symétrisable de }(\mathbb R^+;\perp).} \]

Une loi peut être associative, commutative et posséder un neutre sans que tous ses éléments soient symétrisables.

Exercice 12

Soit \(E=\{1;2;3;4\}\). On considère l’opération \(T\) suivante : pour tous \(x,y\in E\), \(xTy\) est le reste de la division euclidienne de \(x^y\) par \(5\).

1) Déterminer la table de la loi \(T\).

2) La loi \(T\) admet-elle un élément neutre ?

3) La loi \(T\) est-elle associative ? Commutative ?

4) Résoudre dans \(E\) les équations suivantes :

\[ \text{a) }1Tx=1; \qquad\text{b) }xTx=3; \qquad\text{c) }3Tx=1. \]

Repère de cours.

Dans une table, la ligne correspond au premier élément de la loi et la colonne au second. Un élément neutre doit conserver tous les éléments lorsqu’il est placé à droite et à gauche.

Pour réfuter la commutativité ou l’associativité, un seul contre-exemple, calculé avec des éléments de \(E\), suffit.

Question 1 — Construire la table

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Méthode. Dans chaque case, calculer \(x^y\), puis conserver uniquement le reste de sa division par \(5\). Attention à l’ordre : la base est l’élément de la ligne, l’exposant celui de la colonne.

Quelques calculs représentatifs :

\[ \begin{aligned} 2T3&:\quad 2^3=8=5+3,&&\text{donc }2T3=3;\\ 3T2&:\quad 3^2=9=5+4,&&\text{donc }3T2=4;\\ 4T3&:\quad 4^3=64=5\times12+4,&&\text{donc }4T3=4. \end{aligned} \]

En procédant de la même façon pour les seize couples de \(E^2\), on obtient :

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccc} T&1&2&3&4\\ \hline 1&1&1&1&1\\ 2&2&4&3&1\\ 3&3&4&2&1\\ 4&4&1&4&1 \end{array}} \]

Tous les résultats appartiennent à \(E\), ce qui confirme que la composition reste dans l’ensemble indiqué.

Erreur à éviter. \(2T3\) et \(3T2\) ne représentent pas le même calcul : on compare le reste de \(2^3\) avec celui de \(3^2\).

Question 2 — Existe-t-il un élément neutre ?

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La colonne correspondant à \(1\) redonne successivement \(1,2,3,4\). Ainsi, pour tout \(x\in E\) :

\[ xT1=x, \]

car le reste de \(x^1=x\) dans la division par \(5\) est \(x\).

En revanche, pour \(x=2\), on a :

\[ 1T2=1\neq2. \]

Le nombre \(1\) n’est donc pas neutre à gauche. De plus, si un élément \(e\in E\) était neutre, l’égalité \(eT1=1\) imposerait \(e=1\), puisque \(eT1=e\). C’est impossible d’après le calcul précédent.

\[\boxed{\text{La loi }T\text{ n’admet aucun élément neutre dans }E.}\]

Question fréquente. Pourquoi la colonne de \(1\), pourtant identique aux en-têtes des lignes, ne suffit-elle pas ?

Elle établit seulement \(xT1=x\). Pour un véritable élément neutre, il faut aussi \(1Tx=x\) pour chaque \(x\), ce qui est faux.

Question 3 — Associativité et commutativité

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Associativité. Prenons \(x=2\), \(y=1\) et \(z=2\). En utilisant la table :

\[ \begin{aligned} (2T1)T2&=2T2=4,\\ 2T(1T2)&=2T1=2. \end{aligned} \]

Comme \(4\neq2\), les deux parenthésages peuvent donner des résultats différents.

\[\boxed{T\text{ n’est pas associative.}}\]

Commutativité. Il suffit de comparer :

\[ 1T2=1\qquad\text{et}\qquad2T1=2. \]

Puisque \(1\neq2\) :

\[\boxed{T\text{ n’est pas commutative.}}\]

À retenir. Une table permet de trouver rapidement un contre-exemple. Il est inutile de tester tous les triplets dès qu’une égalité exigée par l’associativité est contredite.

Question 4.a — Résoudre \(1Tx=1\)

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Pour tout \(x\in E\), on a \(1^x=1\). Le reste de sa division par \(5\) est donc toujours \(1\).

\[ \forall x\in E,\qquad 1Tx=1. \]

\[\boxed{S_a=\{1;2;3;4\}=E.}\]

Question 4.b — Résoudre \(xTx=3\)

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Les quatre valeurs possibles de \(x\) sont \(1,2,3,4\). Calculons les termes de la diagonale de la table :

\[ \begin{aligned} 1T1&=1,\\ 2T2&=4,\\ 3T3&=2,\\ 4T4&=1. \end{aligned} \]

Aucune de ces valeurs n’est égale à \(3\).

\[\boxed{S_b=\varnothing.}\]

Dans un ensemble fini, une vérification exhaustive des cas est une démonstration complète, à condition de n’en oublier aucun.

Question 4.c — Résoudre \(3Tx=1\)

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On lit la ligne correspondant à \(3\) dans la table, ou l’on calcule les restes successifs de \(3^x\) par \(5\) :

\[ \begin{array}{c|cccc} x&1&2&3&4\\ \hline 3Tx&3&4&2&1 \end{array} \]

Le résultat vaut \(1\) uniquement pour \(x=4\). En effet, \(3^4=81=5\times16+1\).

\[\boxed{S_c=\{4\}.}\]

À retenir

La reconnaissance d’une expression remarquable simplifie souvent l’étude d’une loi. Dans l’exercice 11, l’identité \(x\perp y=\max(x,y)\) rend la stabilité, la commutativité, l’associativité et la recherche du neutre presque immédiates.

Dans l’exercice 12, la table donne une vue complète des compositions. Elle permet de distinguer un neutre à droite d’un véritable élément neutre, de construire des contre-exemples et de résoudre des équations par examen des valeurs possibles.

Parcours Maths Maroc — PMM

Professeur Hammou Boudraa

MATHS PARCOURS MAROC

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