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Correction des exercices 13 à 15 — Dérivation — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

Correction des exercices 13 à 15 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid

2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application

Applications de la formule locale f(a+h) ≈ f(a)+hf'(a) à des racines, puissances et fonctions trigonométriques.

L’approximation affine remplace une fonction près d’un point a par sa tangente : \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\). On calcule donc la valeur au point choisi et son nombre dérivé avant de remplacer h par le petit accroissement demandé.

Le signe « ≈ » indique une valeur approchée, pas une égalité. Pour les fonctions trigonométriques, on convertit les degrés en radians. L’exercice 15 montre aussi comment deux courbes peuvent partager la même tangente en un point.

Repère de cours — Approximation affine

Si f est dérivable en a, alors f(a+h)=f(a)+hf'(a)+hε(h), avec ε(h)→0. Pour une approximation numérique, préciser la valeur du petit accroissement h.

Exercice 13 — Racine cubique et approximation

Énoncé. \[f(x)=\sqrt[3]{1+x},\quad x\in[-1;+\infty[\]

Question 1

Justifier la dérivabilité en 0.
Méthode et stratégie.

Appliquer la dérivation d’une racine cubique composée au voisinage de 0, où son argument vaut 1 et reste non nul.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(1+x>0\) près de 0, la fonction racine cubique est dérivable sur ce voisinage et \(f'(x)=\frac{1}{3(1+x)^{\frac{2}{3}}}\).

\[\boxed{f'(0)=\frac13}\]

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Question 2

Approximation affine en 0.
Méthode et stratégie.

Construire l’affine x ↦ f(0)+f′(0)x à partir des valeurs de la question précédente.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La formule donne \(f(x)\simeq f(0)+xf'(0)=1+\frac{x}{3}\) au voisinage de 0.

\[\boxed{\sqrt[3]{1+x}\simeq1+\frac x3}\]

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Question 3

Approcher \(\sqrt[3]{0{,}991}\) et \(\sqrt[3]{1{,}007}\).
Méthode et stratégie.

Écrire chaque radicande sous la forme 1+h, puis remplacer h dans l’approximation affine ; garder le caractère approché du résultat.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

On prend successivement \(x=-0{,}009\) et \(x=0{,}007\) dans l’approximation précédente.

\[\boxed{\sqrt[3]{0{,}991}\approx0{,}997\ ;\ \sqrt[3]{1{,}007}\approx1{,}002333}\]

Pour la première valeur, \(0{,}991=1-0{,}009\), donc \(1+\frac{x}{3}=1-0{,}003=0{,}997\). Pour la seconde, \(1{,}007=1+0{,}007\), donc \(1+\frac{x}{3}=1+\frac{0{,}007}{3}\). Les nombres affichés sont les estimations données par la tangente, sans garantie d’une précision supplémentaire non démontrée.

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Exercice 14 — Approximation du réciproque d’une racine

Énoncé. \[f(x)=\frac1{\sqrt x},\quad x>0\]

Question 1

Étudier la dérivabilité en 1.
Méthode et stratégie.

La fonction est définie et dérivable sur x>0 ; écrire la puissance −\(\frac{1}{2}\) de x pour calculer sa dérivée en 1.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Sur \(]0;+\infty[\), la fonction est dérivable et \(f'(x)=-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}\). En particulier en 1 :

\[\boxed{f'(1)=-\frac12}\]

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Question 2

Approximation affine en 1.
Méthode et stratégie.

Utiliser l’affine x ↦ f(1)+f′(1)(x−1) : le déplacement est x−1 et non x.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Pour écrire l’approximation au voisinage de 1, posons \(h=x-1\), donc \(x=1+h\).

Pour \(h\) proche de 0, \(f(1+h)\simeq f(1)+hf'(1)\) donne :

\[\boxed{\frac1{\sqrt{1+h}}\simeq1-\frac h2}\]

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Question 3

Approcher \(\frac{1}{\sqrt{1{,}00032}}\).
Méthode et stratégie.

Identifier h=0,00032 dans 1+h puis appliquer l’approximation en 1 sans inverser une seconde fois le résultat.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

L’accroissement est \(h=0{,}00032\). On calcule \(1-0{,}00016\).

\[\boxed{\frac1{\sqrt{1{,}00032}}\approx0{,}99984}\]

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Exercice 15 — Approximation et tangente commune

Énoncé. Approximations affines de \((1+x)^3\), \(\frac{1}{(1+x)^2}\) et \(\sin x\) au voisinage de 0.

Question 1

Dérivabilité en 0 de \(f(x)=(1+x)^3\).
Méthode et stratégie.

Dériver la puissance composée et évaluer au point 0, où 1+x ne s’annule pas.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Comme \(f'(x)=3(1+x)^2\), la fonction est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f'(0)=3\).

\[\boxed{f(0)=1,\quad f'(0)=3}\]

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Question 2

Approximation affine et valeur approchée de \((1{,}008)^3\).
Méthode et stratégie.

Utiliser l’approximation affine avec h=0,008 ; comparer si nécessaire au développement polynomial exact pour mesurer l’erreur.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

La formule en \(0\) donne \((1+x)^3\simeq1+3x\). En prenant \(x=0{,}008\) :

\[\boxed{(1{,}008)^3\approx1{,}024}\]

On peut ici contrôler exactement l’écart, car il s’agit d’un polynôme :

\[(1+x)^3-(1+3x)=3x^2+x^3.\]

Pour \(x=0{,}008\), cet écart vaut \(0{,}000192512\). La valeur approchée \(1{,}024\) est donc légèrement inférieure à la valeur exacte \(1{,}024192512\).

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Question 3

Tangente commune de \(f(x)=(1+x)^3\) et \(g(x)=-x^2+3x+1\).
Méthode et stratégie.

Pour avoir la même tangente au même point, vérifier à la fois les valeurs des fonctions et celles de leurs dérivées.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

En \(x=0\), on obtient \(f(0)=g(0)=1\) et \(f'(0)=g'(0)=3\). Les deux courbes ont donc la même tangente :

\[\boxed{T:\ y=3x+1}\]

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Question 4

Approximer \(\frac{1}{(1{,}02)^2}\) et \(\sin(0{,}1^\circ)\).
Méthode et stratégie.

Choisir une fonction adaptée à chaque expression ; convertir l’angle en radians avant l’approximation du sinus.

Afficher la réponse +Masquer la réponse −

Au voisinage de 0, \(\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x\) et \(\sin x\simeq x\) à condition que \(x\) soit en radians. Comme \(0{,}1^\circ=\frac{\pi}{1800}\) rad :

\[\boxed{\frac1{(1{,}02)^2}\approx0{,}96,\quad \sin(0{,}1^\circ)\approx\frac{\pi}{1800}\approx0{,}00174533}\]

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