Correction des exercices 15 à 16 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
La transition entre sous-groupes et calcul matriciel donne deux méthodes très différentes. Le premier exercice relève du critère de sous-groupe multiplicatif ; le second utilise une réduction matricielle et une récurrence pour obtenir des puissances et résoudre des suites couplées. Il faut identifier la méthode avant de calculer.
Exercice 15 — Sous-groupe de nombres rationnels impairs
Montrer que \(E=\{(1+2p)/(1+2q):(p,q)\in\mathbb Z^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb Q^*,\times)\).
Appliquer le critère de sous-groupe ; la forme des fractions reste inchangée lorsqu’on multiplie ou inverse des nombres impairs.
Démonstration
Vérifier \(1\in E\), puis les quotients \(xy^{-1}\).
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Les dénominateurs \(1+2q\) sont non nuls, donc \(E\subset\mathbb Q^*\). On a \(1=(1+2\cdot0)/(1+2\cdot0)\in E\).
Pour \(x=(1+2p)/(1+2q)\), \(y=(1+2r)/(1+2s)\), le quotient \(xy^{-1}\) est une fraction dont numérateur et dénominateur sont des produits d’entiers impairs. Ces deux produits sont impairs.
Le critère de sous-groupe permet de conclure directement en vérifiant les quotients.
Exercice 16 — Puissances d’une matrice et suites couplées
On considère trois matrices d’ordre deux :
Partie 1. Décomposer \(A\) à l’aide de \(I\) et \(J\) ; calculer \(J^2\) ; établir par récurrence la formule de \(A^n\), puis en déduire les coefficients de \(A^n\) et la matrice \(A^{-1}\).
Partie 2. Deux suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont définies par \(v_0=w_0=3\), \(v_{n+1}=v_n+3w_n\) et \(w_{n+1}=3v_n+w_n\). En posant \(X_n=\binom{v_n}{w_n}\), montrer que \(X_n=A^nX_0\), puis déterminer \(X_n\), \(v_n\) et \(w_n\).
Dans la partie 2, la matrice-colonne \(X_n\) du manuel utilise des lettres qui ne correspondent pas aux suites définies. Nous employons \(X_n=\binom{v_n}{w_n}\), conformément aux deux relations de récurrence. Cette précision concerne la notation, et non les données numériques de l’exercice.
Lorsque deux matrices commutent et qu’une relation simple lie leurs puissances, on cherche à exprimer \(A^n\) comme combinaison de quelques matrices fixes. Ici, \(J^2=2J\) permet de travailler uniquement avec \(I\) et \(J\). Pour établir une identité valable pour tout \(n\in\mathbb N\), on peut utiliser une récurrence, méthode demandée dans l’exercice. La récurrence et le calcul matriciel donnent directement le résultat.
1.a — Décomposer A
Comparer les coefficients hors diagonale, puis les coefficients diagonaux. Vérifier ensuite l’égalité des deux matrices.
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On a \(aJ+bI=\begin{pmatrix}a+b&a\\a&a+b\end{pmatrix}\). L’égalité avec \(A=\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}\) impose \(a=3\) puis \(a+b=1\), donc \(b=-2\). La vérification des quatre coefficients confirme la décomposition.
1.b — Calculer J²
Effectuer une seule multiplication matricielle. Chercher si chaque coefficient obtenu est proportionnel au coefficient correspondant de \(J\).
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La matrice obtenue est deux fois \(J\).
1.c — Établir la formule par récurrence
Poser \(c_n=(4^n-(-2)^n)/2\). Initialiser à \(n=0\), puis multiplier la formule au rang \(n\) par \(A=-2I+3J\). Utiliser \(J^2=2J\), sans modifier l’ordre des opérations.
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Initialisation. À \(n=0\), le membre droit est \(I+\frac{1-1}{2}J=I=A^0\). La formule est vraie au rang zéro.
Hérédité. Supposons \(A^n=(-2)^nI+c_nJ\), où \(c_n=(4^n-(-2)^n)/2\). Alors :
Or :
La propriété est héréditaire. Par récurrence :
1.d — Expliciter les coefficients de Aⁿ
Dans \(A^n=(-2)^nI+c_nJ\), les coefficients hors diagonale valent \(c_n\), tandis que les coefficients diagonaux valent \((-2)^n+c_n\).
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En remplaçant les matrices \(I\) et \(J\), on obtient :
De plus, \((-2)^n+c_n=(4^n+(-2)^n)/2\). Donc :
1.e — Montrer que A est inversible
Calculer le déterminant. S’il est non nul, appliquer la formule d’inversion d’une matrice d’ordre deux, puis contrôler le produit avec \(A\).
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On calcule \(\det(A)=1\times1-3\times3=-8\), donc \(\det A\neq0\). La matrice \(A\) est inversible. La formule usuelle donne :
Le produit \(AA^{-1}\) a pour coefficients diagonaux \((-1+9)/8=1\), et pour coefficients hors diagonale \((3-3)/8=0\). Il vaut donc \(I\).
2.a — Écrire la récurrence sous forme matricielle
Regrouper les deux égalités de récurrence dans une seule matrice-colonne. Réutiliser une propriété déjà prouvée au lieu de résoudre directement deux suites séparées.
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Les deux relations donnent exactement :
À \(n=0\), \(X_0=A^0X_0\). Supposons \(X_n=A^nX_0\). Alors \(X_{n+1}=A X_n=A^{n+1}X_0\). La propriété est donc établie par récurrence.
2.b — Expression de Xₙ en fonction de n
Exploiter la décomposition de \(A^n\) obtenue dans la partie 1 et la valeur initiale \(X_0=\binom{3}{3}\).
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La condition initiale est \(X_0=\binom{3}{3}\). Comme \(JX_0=\binom{6}{6}=2X_0\), la formule de la partie 1 donne :
2.c — Déterminer les deux suites
Lire directement les coordonnées de \(X_n\) obtenues à la question précédente, puis vérifier le rang initial et les relations de récurrence.
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Par définition de \(X_n=\binom{v_n}{w_n}\) et d’après la question 2.b, les deux coordonnées sont identiques :
Contrôle. Au rang zéro, \(3\cdot4^0=3\), conforme aux conditions initiales. Si \(v_n=w_n=3\cdot4^n\), alors \(v_{n+1}=v_n+3w_n=4\cdot3\cdot4^n=3\cdot4^{n+1}\) ; même résultat pour \(w_{n+1}\).
À retenir
Les techniques de quotient dans un groupe et de réduction de puissances matricielles sont complémentaires et doivent être choisies selon les hypothèses.
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