Correction des exercices 15 à 17 — Loi de composition interne
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces trois exercices introduisent la puissance des morphismes et des isomorphismes. Ils conduisent aussi à vérifier avec rigueur l’ensemble d’arrivée d’une application : la propriété de morphisme suppose d’abord que l’application soit bien définie.
Exercice 15
Sur \(\mathbb C\), on pose \(zTz\prime=zz\prime+i(z+z\prime)-1-i\), et \(E=\mathbb C\setminus\{-i\}\). Étudier la stabilité, le neutre et les symétriques ; considérer \(f:\mathbb C^*\to E\), \(f(z)=z-i\), puis en déduire des propriétés de la loi et le symétrique de \(f(z)\).
Un isomorphisme est une application bijective qui conserve la loi : \(f(uv)=f(u)Tf(v)\). Les propriétés transportées doivent être formulées sur l’ensemble image.
Question 1 — Stabilité de \(E\)
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Réécrire la loi en décalant chaque variable de \(i\).
Si \(z,z\prime\in E\), alors \(z+i\neq0\) et \(z\prime+i\neq0\). Leur produit est non nul, si bien que :
La partie \(E\) est stable pour \(T\).
Question 2 — Élément neutre
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Cherchons \(e\) tel que \(zTe=z\) pour tout \(z\) :
On obtient \(e+i=1\), donc \(e=1-i\). La formule factorisée vérifie immédiatement les deux côtés.
Question 3 — Symétrisabilité
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Le neutre correspond à \(e+i=1\). Un symétrique \(z\prime\) de \(z\) doit satisfaire :
Si \(z=-i\), l’équation est impossible. Sinon :
La multiplication étant commutative, le composé dans l’autre ordre donne aussi le neutre.
Les éléments symétrisables de \(\mathbb C\) sont exactement ceux de \(E\).
Question 4.a — Isomorphisme de \((\mathbb C^*,\times)\) sur \((E,T)\)
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La fonction \(f(z)=z-i\) est bijective de \(\mathbb C^*\) sur \(E\) : son inverse est \(w\mapsto w+i\). Pour \(z,z\prime\in\mathbb C^*\) :
Il s’agit d’un isomorphisme de lois.
Vérifier séparément l’identité de morphisme et la bijectivité avant de conclure « isomorphisme ».
Question 4.b — Commutativité et associativité
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La multiplication complexe est commutative et associative. L’isomorphisme permet de transporter ces propriétés à la loi \(T\) sur \(E\).
La même formule factorisée prouve aussi directement les propriétés sur \(\mathbb C\), car elle transforme la composition en multiplication de facteurs.
La loi \(T\) est commutative et associative sur \(\mathbb C\).
Question 5 — Symétrique de \(f(z)\)
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Pour \(z\in\mathbb C^*\), on connaît l’inverse multiplicatif \(1/z\). Par l’identité de morphisme :
Il en est de même dans l’ordre inverse. Ainsi :
Exercice 16
Soit \(A=\{a+ib\mid a,b\in\mathbb Z\}\). L’énoncé propose \(\varphi(a+ib)=\sqrt{a^2+b^2}\) à valeurs dans \(\mathbb Z\), puis demande un morphisme et la caractérisation des éléments inversibles de \((A,\times)\).
Pour définir une application \(A\to B\), chaque valeur doit réellement appartenir à \(B\). Une relation de morphisme ne peut être démontrée avant ce contrôle.
Question 1.a — Domaine d’arrivée de \(\varphi\)
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En prenant \(z=1+i\in A\), on obtient :
Avec \(\mathbb Z\) comme codomaine, la formule indiquée ne définit pas une application ; l’affirmation de morphisme n’est donc pas valable telle quelle.
La formulation mathématiquement cohérente consiste à prendre \(\varphi:A\to\mathbb R_+\), ou à utiliser le carré de la norme \(N(z)=a^2+b^2\in\mathbb N\).
Dans la première version corrigée, \(|zz\prime|=|z|\,|z\prime|\) donne :
Question fréquente. Pourquoi \(\sqrt{a^2+b^2}\) n’est-il pas toujours un entier ?
La somme des carrés de deux entiers peut ne pas être un carré parfait, par exemple \(1^2+1^2=2\).
Question 1.b — Critère d’existence d’un inverse dans \(A\)
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Supposons \(zw=1\) avec \(z,w\in A\). La norme multiplicative donne \(|z|\,|w|=1\). Or \(|z|^2\) et \(|w|^2\) sont des entiers naturels strictement positifs dont le produit vaut \(1\). Ils valent donc chacun \(1\).
Réciproquement, si \(|z|=1\), l’identité \(z\overline z=1\) fournit un inverse \(\overline z\in A\).
Un élément \(z\in A\) est inversible exactement lorsque \(|z|=1\).
Ici, l’identité \(z\overline z=a^2+b^2\) permet de rester dans les entiers tout au long du raisonnement.
Question 2 — Ensemble des éléments inversibles
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L’égalité \(|z|=1\) équivaut à \(a^2+b^2=1\) avec \(a,b\in\mathbb Z\). Comme les carrés sont des entiers naturels, les seules possibilités sont \((\pm1,0)\) et \((0,\pm1)\).
Exercice 17
On définit sur \(\mathbb R\) la loi \(x\perp y=x+y-xy\) et l’application \(f(x)=1-x\). Montrer qu’elle relie \(\perp\) à la multiplication et en déduire les propriétés demandées, les symétriques et la composition itérée.
Un isomorphisme transforme une loi en une autre sans perdre l’information, à condition que l’application soit bijective et respecte la composition.
Question 1 — Vérifier l’isomorphisme
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Pour tous \(x,y\in\mathbb R\) :
De plus, \(f(f(x))=x\) : la fonction est bijective et égale à sa réciproque.
\(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) vers \((\mathbb R,\perp)\).
Question 2 — Associativité et neutre
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La multiplication des réels est associative ; l’isomorphisme transporte l’associativité à \(\perp\). Le neutre multiplicatif \(1\) correspond à \(f(1)=0\). Vérifions :
La loi est associative et possède le neutre \(0\).
Question 3 — Éléments symétrisables
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Le neutre est \(0\). L’équation \(x\perp x\prime=0\) devient :
Pour \(x=1\), l’équation est impossible ; pour \(x\neq1\), il vient :
La commutativité garantit l’égalité dans l’ordre inverse.
Les symétrisables sont \(\mathbb R\setminus\{1\}\).
Question 4 — Composer \(n\) fois le même réel
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Notons \(a^{\perp n}\) le composé de \(n\) copies de \(a\), pour \(n\ge1\). L’isomorphisme vérifie :
Comme \(f^{-1}=f\), on obtient :
Question fréquente. Pourquoi la formule ne nécessite-t-elle pas de nouveaux calculs à chaque rang ?
Parce que le morphisme transforme toute composition itérée pour \(\perp\) en une puissance ordinaire.
À retenir
Une bonne démonstration d’isomorphisme comprend la bijectivité et la conservation de la loi. L’exercice 16 rappelle qu’une expression peut être multiplicative sans prendre ses valeurs dans l’ensemble indiqué par erreur : la définition de l’application doit être vérifiée avant tout calcul.
Parcours Maths Maroc — PMM — Professeur Hammou Boudraa
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