Correction des exercices 16 à 19 — Dérivation et étude de fonctions — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
2e Bac PC/SVT • Dérivation • Exercices d’application
Dérivation de polynômes, produits, quotients et fonctions composées avec racines n-ièmes et fonctions trigonométriques.
Ces exercices entraînent au choix de la bonne règle de dérivation : somme, produit, quotient et fonction composée. On précise d’abord les points où les racines et les dénominateurs permettent d’appliquer ces règles, puis on détaille les fonctions intermédiaires avant la simplification.
Une racine cubique est définie pour des arguments négatifs, mais sa dérivée pose problème lorsque son argument s’annule. Ces points nécessitent une étude séparée par le taux d’accroissement ; ils ne se traitent pas par substitution dans une formule contenant un dénominateur nul.
Avant tout calcul, vérifier le domaine de dérivation. Retenir \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) et \((u^\alpha)'=\alpha u'u^{\alpha-1}\) sur les intervalles admissibles.
Exercice 16 — Polynômes, quotients et puissances
Question 1
Dériver chaque monôme du polynôme ; la constante a une dérivée nulle.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[(4x^5)'=20x^4,\ (8x^2)'=16x,\ (-13x)'=-13,\ 7'=0\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
\[f'(x)=20 x^{4} + 16 x - 13\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 2
Exclure 0 puis écrire \(\frac1{x^4}\) sous forme de puissance négative avant de dériver.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f(x)=x^4+x^{-4},\quad f'(x)=4x^3-4x^{-5}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{0\}\).
\[f'(x)=4 x^{3} - \frac{4}{x^{5}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 3
Le domaine commun impose x>0 ; appliquer séparément les règles du polynôme, de la racine et de l’inverse.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f'(x)=-6x^2+\frac{10}{2\sqrt x}-\frac5{x^2}=-6x^2+\frac5{\sqrt x}-\frac5{x^2}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in ]0;+\infty[\).
\[f'(x)=\frac{- 6 x^{\frac{9}{2}} - 5 \sqrt{x} + 5 x^{2}}{x^{\frac{5}{2}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 4
Appliquer la règle du quotient en vérifiant d’abord que x²+x+1 est strictement positif.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x+1,\ v=x^2+x+1,\quad u'v-uv'=(x^2+x+1)-(x+1)(2x+1)=-x(x+2)\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=x + 1\) et \(v(x)=\frac{1}{x^{2} + x + 1}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=\frac{- 2 x - 1}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 5
Déterminer le domaine, dériver le produit pour x>0, puis calculer séparément le taux d’accroissement à droite en 0.
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La racine impose \(D_f=[0;+\infty[\). Sur \(]0;+\infty[\), on dérive le produit :
\[f'(x)=\frac{2x^2+7x+4}{2\sqrt x}+\sqrt x(4x+7).\]En réduisant au même dénominateur :
En 0, \(f(0)=0\). Pour \(x>0\), calculons directement le taux d’accroissement :
\[\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{2x^2+7x+4}{\sqrt x}.\]Le numérateur a pour limite 4 et le dénominateur pour limite \(0^+\). Ainsi
\[\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty.\]Il n’y a donc pas de dérivée finie à droite en 0 ; la courbe possède une demi-tangente verticale.
Question 6
Prendre u=x²+x+1, positif sur R, puis appliquer la chaîne à u à la puissance \(\frac32\).
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2+x+1\gt 0,\quad f'(x)=\frac32u^{\frac12}u'=\frac32(2x+1)\sqrt{x^2+x+1}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On reconnaît une puissance composée : \(u(x)=x^{2} + x + 1\), \(u'(x)=2 x + 1\) et \(\alpha=\frac{3}{2}\). La règle est \((u^\alpha)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\).
\[f'(x)=\frac{3 \left(2 x + 1\right) \sqrt{x^{2} + x + 1}}{2}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Exercice 17 — Racines composées
Question 1
Compléter le carré du radicande pour garantir sa positivité, puis dériver la racine composée.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2-3x+5=\left(x-\frac32\right)^2+\frac{11}4\gt 0,\quad f'=\frac{u'}{2\sqrt u}=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+5}}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On reconnaît une puissance composée : \(u(x)=x^{2} - 3 x + 5\), \(u'(x)=2 x - 3\) et \(\alpha=\frac{1}{2}\). La règle est \((u^\alpha)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\).
\[f'(x)=\frac{2 x - 3}{2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 5}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 2
Dériver les deux racines sur les intervalles admissibles ; étudier par les taux d’accroissement les points \(-\frac14\), 0 et 2.
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La racine cubique est définie pour tout argument réel ; la racine quatrième impose \(4x+1\ge0\). Ainsi \(D_f=[-\tfrac14;+\infty[\).
Pour \(x>-\tfrac14\), avec \(x\ne0,2\), la règle de composition donne :
Aux zéros de la racine cubique. Soit \(a=0\) ou \(a=2\). Posons \(h=x-a\). Alors \(x=a+h\) et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). On a
\[(a+h)^2-2(a+h)=h(2a-2+h),\]\[\frac{\sqrt[3]{(a+h)^2-2(a+h)}-\sqrt[3]{a^2-2a}}{h}=\frac{\sqrt[3]{2a-2+h}}{(\sqrt[3]h)^2}.\]Le dénominateur est positif et a pour limite 0. Le numérateur a pour limite \(\sqrt[3]{-2}\) si \(a=0\), et \(\sqrt[3]2\) si \(a=2\). La racine quatrième est dérivable en ces deux points ; son taux possède une limite finie. Pour la fonction entière, on obtient donc
\[\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=-\infty,\qquad \lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=+\infty.\]La fonction n’est donc dérivable ni en 0 ni en 2.
À la borne \(a=-\frac14\). Posons \(h=x+\frac14\), donc \(x=-\frac14+h\), avec \(h\to0^+\) lorsque \(x\to(-\frac14)^+\). La racine cubique a un taux de limite finie, car son argument en cette borne vaut \(\frac9{16}\). Le taux de la racine quatrième est
\[\frac{\sqrt[4]{4h}}{h}=\frac{\sqrt[4]4}{h^{\frac34}},\qquad \lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt[4]{4h}}{h}=+\infty.\]Par somme avec le taux de limite finie,
\[\lim_{h\to0^+}\frac{f(-\frac14+h)-f(-\frac14)}{h}=+\infty.\]Les points de dérivabilité sont exactement \(]-\frac14;0[\cup]0;2[\cup]2;+\infty[\).
Question 3
Étudier le signe du quotient sous la racine, dériver sur les intervalles ouverts, puis calculer la dérivée à droite en 0.
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Le quotient sous la racine doit être positif ou nul, avec \(3x+2\ne0\). Le signe de \(x^3\) est celui de \(x\), d’où
\[D_f=]-\infty;-\tfrac23[\ \cup\ [0;+\infty[.\]Sur les intervalles ouverts de ce domaine, posons \(u(x)=\frac{x^3}{3x+2}>0\). La règle du quotient donne
\[u'(x)=\frac{3x^2(3x+2)-3x^3}{(3x+2)^2}=\frac{6x^2(x+1)}{(3x+2)^2}.\]En 0, \(f(0)=0\). Pour \(x>0\), le taux d’accroissement est
\[\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\sqrt{\frac{x^3}{3x+2}}}{x}=\sqrt{\frac{x}{3x+2}}.\]Par quotient puis continuité de la racine carrée,
\[\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\sqrt{\frac{x}{3x+2}}=0.\]La dérivée à droite existe donc et \(\boxed{f'_d(0)=0}\). La courbe admet en l’origine une demi-tangente horizontale. Le point \(-\frac23\) est exclu du domaine.
Question 4
Utiliser le quotient ; la dérivée de la racine au dénominateur exige aussi la règle de la chaîne.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2-4x+5\gt 0,\quad f'=2u^{-\frac12}-\frac12(2x-1)(2x-4)u^{-\frac32}=\frac{8-3x}{u^{\frac32}}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=2 x - 1\) et \(v(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 5}}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=\frac{2 - x}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{3 x - 8}{\left(x^{2} - 4 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 5
Calculer la dérivée du quotient intérieur puis celle de sa racine cubique ; examiner séparément les deux zéros du numérateur.
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Posons \(u(x)=\frac{x^2+3x-1}{2-x}\). La racine cubique n’impose aucune condition de signe, donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).
\[u'(x)=\frac{(2x+3)(2-x)+(x^2+3x-1)}{(2-x)^2}=\frac{-x^2+4x+5}{(2-x)^2}.\]Les zéros de \(u\) sont \(a_-=\frac{-3-\sqrt{13}}2\) et \(a_+=\frac{-3+\sqrt{13}}2\). En dehors de ces deux points et de 2 :
Soit \(a=a_-\) ou \(a=a_+\). Posons \(h=x-a\). Alors \(x=a+h\) et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). Comme \(f(a)=u(a)=0\),
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{u(a+h)-u(a)}{h}}{\bigl(\sqrt[3]{u(a+h)}\bigr)^2}.\]La fonction \(u\) est dérivable en \(a\), donc
\[\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)=\frac{2a+3}{2-a}.\]Les deux racines sont inférieures à 2. Cette limite est négative en \(a_-\), positive en \(a_+\), et le dénominateur du taux de \(f\) a pour limite \(0^+\). D’où
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a_-+h)-f(a_-)}{h}=-\infty,\]\[\lim_{h\to0}\frac{f(a_++h)-f(a_+)}{h}=+\infty.\]Il n’y a pas de dérivée finie en ces deux points.
Question 6
Dériver la somme à l’intérieur des parenthèses, puis multiplier par trois fois son carré.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\sqrt[3]x-\frac4x,\quad u'=\frac1{3(\sqrt[3]x)^2}+\frac4{x^2},\quad f'=3u^2u'\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{0\}\).
On reconnaît une puissance composée : \(u(x)=\sqrt[3]{x} - \frac{4}{x}\), \(u'(x)=\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\) et \(\alpha=3\). La règle est \((u^\alpha)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\).
\[f'(x)=\left(\frac{12}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right) \left(\sqrt[3]{x} - \frac{4}{x}\right)^{2}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 7
Lire les puissances en tiers à l’aide de la racine cubique réelle ; exclure 0 à cause de la puissance négative.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f'=\frac2{\sqrt[3]x}-\frac2{(\sqrt[3]x)^2}-\frac1{3(\sqrt[3]x)^4}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{0\}\).
\[f'(x)=\frac{- 6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 8
Appliquer la chaîne là où 1−3x² est non nul ; traiter séparément ses zéros si l’on étudie leur dérivabilité.
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La racine cubique est définie sur tout \(\mathbb R\). On utilise l’identité
\[f(x)=\sqrt[3]{(1-3x^2)^2}=\left(\sqrt[3]{1-3x^2}\right)^2.\]Pour \(x\ne\pm\frac1{\sqrt3}\), posons \(u(x)=1-3x^2\). Alors \(u(x)\ne0\) et la règle de la chaîne donne
\[f'(x)=2\sqrt[3]{u(x)}\,\frac{u'(x)}{3(\sqrt[3]{u(x)})^2}=-\frac{4x}{\sqrt[3]{1-3x^2}}.\]Il reste à examiner \(a=\pm\frac1{\sqrt3}\). Posons \(h=x-a\). Alors \(x=a+h\) et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). Comme \(f(a)=0\) et \(1-3(a+h)^2=h(-6a-3h)\), pour \(h\ne0\),
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\left(\sqrt[3]{-6a-3h}\right)^2}{\sqrt[3]h}.\]Le numérateur a pour limite \((\sqrt[3]{-6a})^2>0\). La racine cubique de \(h\) a le signe de \(h\), donc
\[\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\infty,\qquad \lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=+\infty.\]La fonction est continue en ces deux points, mais n’y admet pas de dérivée finie.
Question 9
Croiser les conditions des deux racines, appliquer la règle du produit à l’intérieur du domaine, puis étudier les deux bornes.
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On doit avoir \(5-x^2\ge0\) et \(x^3+1\ge0\). Leur intersection donne \(D_f=[-1;\sqrt5]\).
À l’intérieur du domaine, les deux radicandes sont strictement positifs. On applique la règle du produit et la chaîne :
\[f'(x)=-\frac{x\sqrt[4]{x^3+1}}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{3x^2\sqrt{5-x^2}}{4(x^3+1)^{\frac34}}.\]En \(-1\), par la droite. Posons \(h=x+1\). Alors \(x=-1+h\), avec \(h\to0^+\) lorsque \(x\to-1^+\). Comme \(f(-1)=0\),
\[\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{\sqrt{5-(-1+h)^2}\,\sqrt[4]{3-3h+h^2}}{h^{\frac34}}.\]Le numérateur a pour limite \(2\sqrt[4]3>0\), d’où
\[\lim_{h\to0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=+\infty.\]En \(b=\sqrt5\), par la gauche. Posons \(h=b-x\). Alors \(x=b-h\) et \(h\to0^+\) lorsque \(x\to b^-\). Puisque \(f(b)=0\),
\[\frac{f(b-h)-f(b)}{-h}=-\frac{\sqrt{2b-h}\,\sqrt[4]{(b-h)^3+1}}{\sqrt h}.\]Le produit du numérateur a une limite strictement positive ; ainsi
\[\lim_{h\to0^+}\frac{f(b-h)-f(b)}{-h}=-\infty.\]Aucune borne ne possède de dérivée unilatérale finie ; la courbe y admet des demi-tangentes verticales.
Question 10
Distinguer racine cubique réelle et racine carrée ; appliquer la chaîne au carré intérieur sans perdre les points singuliers.
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Cette écriture définit la même fonction que la question 8. L’identité des deux expressions est
\[f(x)=\sqrt[3]{(1-3x^2)^2}=\left(\sqrt[3]{1-3x^2}\right)^2.\]Pour \(x\ne\pm\frac1{\sqrt3}\), posons \(u(x)=1-3x^2\). Alors \(u(x)\ne0\) et la règle de la chaîne donne
\[f'(x)=2\sqrt[3]{u(x)}\,\frac{u'(x)}{3(\sqrt[3]{u(x)})^2}=-\frac{4x}{\sqrt[3]{1-3x^2}}.\]Il reste à examiner \(a=\pm\frac1{\sqrt3}\). Posons \(h=x-a\). Alors \(x=a+h\) et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). Comme \(f(a)=0\) et \(1-3(a+h)^2=h(-6a-3h)\), pour \(h\ne0\),
\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\left(\sqrt[3]{-6a-3h}\right)^2}{\sqrt[3]h}.\]Le numérateur a pour limite \((\sqrt[3]{-6a})^2>0\). La racine cubique de \(h\) a le signe de \(h\), donc
\[\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\infty,\qquad \lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=+\infty.\]La fonction est continue en ces deux points, mais n’y admet pas de dérivée finie.
Question 11
Écrire 5(x⁴+1)⁻¹ᐟ² ; l’argument est strictement positif, puis appliquer la chaîne.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f=5(x^4+1)^{-\frac12},\quad f'=5\left(-\frac12\right)(x^4+1)^{-\frac32}\,4x^3\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=5\) et \(v(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{4} + 1}}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=0\) et \(v'(x)=- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{10 x^{3}}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 12
Dériver d’abord x²+5x+4cos x, puis multiplier par sept fois la puissance six de cette expression.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2+5x+4\cos x,\quad u'=2x+5-4\sin x,\quad f'=7u^6u'\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On reconnaît une puissance composée : \(u(x)=x^{2} + 5 x + 4 \cos{\left(x \right)}\), \(u'(x)=2 x - 4 \sin{\left(x \right)} + 5\) et \(\alpha=7\). La règle est \((u^\alpha)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\).
\[f'(x)=7 \left(2 x - 4 \sin{\left(x \right)} + 5\right) \left(x^{2} + 5 x + 4 \cos{\left(x \right)}\right)^{6}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 13
Utiliser la stricte croissance du numérateur pour définir son unique zéro, déterminer le domaine par les signes puis examiner cette borne.
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Posons \(P(x)=2x^3+x+2\). Comme \(P'(x)=6x^2+1>0\), \(P\) est strictement croissante. Elle possède un unique zéro \(\alpha\in]-1;0[\), car \(P(-1)=-1\) et \(P(0)=2\).
Le signe de \(P\) change en \(\alpha\), et celui de \(x(x+1)\) change en \(-1\) et 0. La condition \(\frac{P(x)}{x(x+1)}\ge0\), avec dénominateur non nul, donne
\[\boxed{D_f=]-1;\alpha]\cup]0;+\infty[.}\]Posons \(u(x)=\frac{P(x)}{x^2+x}\). Sur \(]-1;\alpha[\cup]0;+\infty[\),
\[u'(x)=\frac{(6x^2+1)(x^2+x)-(2x^3+x+2)(2x+1)}{(x^2+x)^2}=\frac{2x^4+4x^3-x^2-4x-2}{(x^2+x)^2}.\]À la borne \(\alpha\), \(f(\alpha)=u(\alpha)=0\) et
\[u'(\alpha)=\frac{6\alpha^2+1}{\alpha(\alpha+1)}<0.\]Posons \(h=x-\alpha\). Alors \(x=\alpha+h\), avec \(h\to0^-\) lorsque \(x\to\alpha^-\). Pour \(h<0\) assez proche de 0,
\[\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}=-\sqrt{\frac{\frac{u(\alpha+h)-u(\alpha)}{h}}{h}}.\]Par définition de la dérivée de \(u\),
\[\lim_{h\to0^-}\frac{u(\alpha+h)-u(\alpha)}{h}=u'(\alpha)<0.\]Le quotient sous la racine a donc pour limite \(+\infty\). Par conséquent,
\[\lim_{h\to0^-}\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}=-\infty.\]Il n’y a pas de dérivée finie à gauche en \(\alpha\). Les points \(-1\) et 0 sont exclus du domaine.
Question 14
Appliquer le produit ; la dérivée de sin(8x) contient le facteur 8.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^4+x+2,\quad v=\sin(8x),\quad u'=4x^3+1,\ v'=8\cos(8x),\quad f'=u'v+uv'\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=x^{4} + x + 2\) et \(v(x)=\sin{\left(8 x \right)}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=4 x^{3} + 1\) et \(v'(x)=8 \cos{\left(8 x \right)}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=\left(4 x^{3} + 1\right) \sin{\left(8 x \right)} + 8 \left(x^{4} + x + 2\right) \cos{\left(8 x \right)}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Exercice 18 — Fonctions trigonométriques composées
Question 1
Identifier la fonction intérieure x²+x+1 ; la dérivée du cosinus introduit le signe moins.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2+x+1,\quad (\cos u)'=-u'\sin u=-(2x+1)\sin(x^2+x+1)\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=x^{2} + x + 1\) et on utilise \(u'(x)=2 x + 1\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=- \left(2 x + 1\right) \sin{\left(x^{2} + x + 1 \right)}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 2
Composer successivement sinus et racine ; multiplier les deux dérivées avec celle du radicande.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\sqrt{x^2+3},\quad u'=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}},\quad (\sin u)'=u'\cos u\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=\sqrt{x^{2} + 3}\) et on utilise \(u'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 3}}\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=\frac{x \cos{\left(\sqrt{x^{2} + 3} \right)}}{\sqrt{x^{2} + 3}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 3
Dériver chaque terme composé et conserver les facteurs 2 et 5 ; exclure les pôles de tan(2x).
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f'=-3\sin(2x)-4\cos(5x)+\frac2{\cos^2(2x)}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \{x:\cos(2x)\ne0\}\).
\[f'(x)=- 3 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(5 x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 4
Vérifier la non-nullité du dénominateur ; dériver sa totalité, y compris −cos²x, avant la règle de l’inverse.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=3+\sin x-\cos^2x,\quad u'=\cos x+2\cos x\sin x,\quad \left(\frac5u\right)'=-\frac{5u'}{u^2}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=5\) et \(v(x)=\frac{1}{\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 3}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=0\) et \(v'(x)=\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 3\right)^{2}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{5 \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 5
Dériver la fraction intérieure par quotient, puis multiplier par le cosinus de cette fraction.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\frac{x-1}{2x+3},\quad u'=\frac{(2x+3)-2(x-1)}{(2x+3)^2}=\frac5{(2x+3)^2},\quad f'=u'\cos u\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{-\frac32\}\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=\frac{x - 1}{2 x + 3}\) et on utilise \(u'(x)=- \frac{2 \left(x - 1\right)}{\left(2 x + 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 3}\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=\frac{5 \cos{\left(\frac{x}{2 x + 3} - \frac{1}{2 x + 3} \right)}}{\left(2 x + 3\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 6
Exclure x=0 et les pôles de la tangente ; la dérivée de \(\frac\pi x\) fournit un signe moins.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\frac\pi x,\quad u'=-\frac{\pi}{x^2},\quad f'=\frac{u'}{\cos^2u}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \{x:x\ne0,\cos(\frac\pi x)\ne0\}\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=\frac{\pi}{x}\) et on utilise \(u'(x)=- \frac{\pi}{x^{2}}\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=- \frac{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 7
Combiner quotient pour le premier terme et chaîne pour le carré de la tangente ; conserver le domaine commun.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[\left(\frac{1+2\cos x}{2-\sin x}\right)'=\frac{-2\sin x(2-\sin x)+(1+2\cos x)\cos x}{(2-\sin x)^2},\quad (3\tan^2x)'=\frac{6\tan x}{\cos^2x}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \{x:\cos x\ne0\}\).
\[f'(x)=3 \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{2 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(2 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Exercice 19 — Produits, quotients et fonctions composées
Question 1
Dériver le produit pour x≠0 ; en 0, calculer directement le taux d’accroissement car la racine seule n’y est pas dérivable.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2+3x,\ v=\sqrt[3]{2x},\quad f'=(2x+3)v+u\frac2{3v^2}\quad(x\ne0)\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=\sqrt[3]{2}\) et \(v(x)=\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 3 x\right)\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=0\) et \(v'(x)=\sqrt[3]{x} \left(2 x + 3\right) + \frac{x^{2} + 3 x}{3 x^{\frac{2}{3}}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x} \left(7 x + 12\right)}{3}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Pour étudier la dérivabilité en 0, on utilise \(f(0)=0\). Pour \(x\ne0\),
\[\frac{f(x)-f(0)}{x}=(x+3)\sqrt[3]{2x}\quad(x\ne0).\]Par produit de limites,
\[f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}(x+3)\sqrt[3]{2x}=0.\]La formule simplifiée encadrée est donc valable sur tout \(\mathbb R\).
Question 2
La chaîne comporte une puissance sept puis une racine cubique ; examiner séparément le point x=0.
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La fonction est définie et continue sur \(\mathbb R\). Pour \(x\ne0\), on écrit \(\sqrt[3]{x^2}=(\sqrt[3]x)^2\), puis on dérive la puissance sept :
\[\left(\sqrt[3]{x^2}\right)'=2\sqrt[3]x\,\frac1{3(\sqrt[3]x)^2}=\frac2{3\sqrt[3]x}.\]Pour étudier la dérivabilité en 0, posons \(t=\sqrt[3]{x^2}\). Pour \(x\ne0\), on a \(t>0\) et
\[\lim_{x\to0}t=0,\qquad \frac tx=\frac1{\sqrt[3]x}.\]Comme \(f(0)=(-5)^7\),
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{(-5+t)^7-(-5)^7}t\cdot\frac1{\sqrt[3]x}.\]Par définition de la dérivée en −5 du polynôme \(z\mapsto z^7\),
\[\lim_{t\to0^+}\frac{(-5+t)^7-(-5)^7}t=7(-5)^6>0.\]Le second facteur a le signe de \(x\), d’où
\[\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=+\infty.\]Il n’existe donc pas de nombre dérivé fini en 0.
Question 3
Factoriser le radicande, appliquer la chaîne hors de ses zéros, puis justifier la non-dérivabilité en −4 et 1 par les taux d’accroissement.
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La racine cubique est définie sur \(\mathbb R\). Son argument se factorise en \((x-1)(x+4)\). Pour \(x\ne-4,1\), la chaîne donne :
Soit \(a=-4\) ou \(a=1\). Posons \(h=x-a\). Alors \(x=a+h\), et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). Comme \(f(a)=0\) et \((a+h)^2+3(a+h)-4=h(2a+3+h)\),
\[\frac{f(a+h)-f(a)}h=\frac{\sqrt[3]{2a+3+h}}{(\sqrt[3]h)^2}.\]Le dénominateur a pour limite \(0^+\), et le numérateur a pour limite \(\sqrt[3]{-5}<0\) en −4, ou \(\sqrt[3]5>0\) en 1. Donc
\[\lim_{h\to0}\frac{f(-4+h)-f(-4)}h=-\infty,\qquad\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}h=+\infty.\]Ces deux points n’admettent pas de dérivée finie.
Question 4
Étudier le signe du radicande, dériver à l’intérieur du domaine et calculer les taux unilatéraux en −1 et 0.
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Le radicande \(\frac{x(x+1)}{x-1}\) est positif ou nul exactement pour \(x\in[-1;0]\cup]1;+\infty[\). C’est le domaine de \(f\).
Pour \(x\in]-1;0[\cup]1;+\infty[\), posons \(u(x)=\frac{x^2+x}{x-1}>0\). On obtient
\[u'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]En −1, par la droite. Posons \(h=x+1\), donc \(x=-1+h\), avec \(h\to0^+\) lorsque \(x\to-1^+\). Puisque \(f(-1)=0\),
\[\frac{f(-1+h)-f(-1)}h=\frac1{\sqrt h}\sqrt{\frac{1-h}{2-h}}.\]La racine du quotient a pour limite \(\sqrt{\frac12}>0\), donc
\[\lim_{h\to0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}h=+\infty.\]En 0, par la gauche. Posons \(h=-x\), donc \(x=-h\), avec \(h\to0^+\) lorsque \(x\to0^-\). Comme \(f(0)=0\),
\[\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac1{\sqrt h}\sqrt{\frac{1-h}{1+h}}.\]La racine du quotient a pour limite 1 ; ainsi
\[\lim_{h\to0^+}\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\infty.\]Aucune de ces bornes ne possède de dérivée unilatérale finie. Le point 1 est exclu du domaine.
Question 5
Dériver la somme hors de \(-\frac12\), puis calculer directement le taux d’accroissement au zéro du radicande.
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\ne-\tfrac12\), on dérive la somme et la racine cubique composée :
Au point \(a=-\frac12\), posons \(h=x-a=x+\frac12\). Alors \(x=a+h\), et \(h\to0\) lorsque \(x\to a\). Comme \(f(a)=\frac12\),
\[\frac{f(a+h)-f(a)}h=-1+\frac{\sqrt[3]{2h}}h=-1+\frac{\sqrt[3]2}{(\sqrt[3]h)^2}.\]Le carré au dénominateur est positif et a pour limite 0, donc
\[\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=+\infty.\]Il n’y a pas de dérivée finie en \(-\frac12\) ; la courbe y admet une tangente verticale.
Question 6
Simplifier la puissance à l’aide de la racine cubique réelle ; vérifier directement la dérivabilité en x=2.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f=(\sqrt[3]{x-2})^4,\quad f'=\frac43\sqrt[3]{x-2}\quad(x\ne2)\]Pour \(x\ne2\), la chaîne donne \(f'(x)=\frac43\sqrt[3]{x-2}\). En 2, posons \(h=x-2\). Alors \(x=2+h\), et \(h\to0\) lorsque \(x\to2\). Puisque \(f(2)=0\),
\[\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac{\sqrt[3]{h^4}}h=\sqrt[3]h\quad(h\ne0).\]Par continuité de la racine cubique,
\[f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0}\sqrt[3]h=0.\]La formule est donc valable pour tout réel :
\[\boxed{f'(x)=\frac43\sqrt[3]{x-2}\quad(x\in\mathbb R).}\]Question 7
Préciser x>−1 et x≠0 ; dériver les facteurs du dénominateur et le numérateur sans négliger la racine cubique.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f=4(\sqrt[3]x)^{-2}(x+1)^{-\frac12},\quad f'=-\frac8{3(\sqrt[3]x)^5\sqrt{x+1}}-\frac2{(\sqrt[3]x)^2(x+1)^{\frac32}}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in ]-1;0[\cup]0;+\infty[\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=4\) et \(v(x)=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}} \sqrt{x + 1}}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=0\) et \(v'(x)=- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}} \sqrt{x + 1}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{2 \left(7 x + 4\right)}{3 x^{\frac{5}{3}} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 8
Appliquer produit et chaîne hors des points singuliers ; distinguer 2, exclu du domaine, de −2, où un taux d’accroissement est nécessaire.
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La racine cubique accepte les arguments négatifs. Seul le dénominateur impose une restriction : \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\).
Posons \(u(x)=\frac{x+2}{x-2}\), d’où \(u'(x)=-\frac4{(x-2)^2}\). Pour \(x\ne-2,2\), la règle du produit donne :
Le point −2 appartient au domaine, avec \(f(-2)=0\). Posons \(h=x+2\). Alors \(x=-2+h\), et \(h\to0\) lorsque \(x\to-2\). Pour \(h\ne0\) proche de 0,
\[\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=\frac{(-2+h)\sqrt[3]{\frac1{-4+h}}}{(\sqrt[3]h)^2}.\]Le numérateur a pour limite \(-2\sqrt[3]{-\frac14}>0\), et le dénominateur a pour limite \(0^+\), donc
\[\lim_{h\to0}\frac{f(-2+h)-f(-2)}h=+\infty.\]La fonction n’est pas dérivable en −2, où la tangente est verticale.
Question 9
Considérer la puissance \(-\frac13\) du polynôme ; ses zéros sont interdits, pas seulement non dérivables.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2-2x,\quad f=(\sqrt[3]u)^{-1},\quad f'=-\frac{2x-2}{3(\sqrt[3]u)^4}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{0;2\}\).
On reconnaît une puissance composée : \(u(x)=x^{2} - 2 x\), \(u'(x)=2 x - 2\) et \(\alpha=- \frac{1}{3}\). La règle est \((u^\alpha)'=\alpha u' u^{\alpha-1}\).
\[f'(x)=- \frac{2 \left(x - 1\right)}{3 \left(x \left(x - 2\right)\right)^{\frac{4}{3}}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 10
Déterminer le domaine, appliquer quotient et chaîne pour x>0, puis étudier séparément le taux à droite en 0.
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Comme \(x^2+3>0\), le radicande \(\frac{x}{x^2+3}\) est positif ou nul si et seulement si \(x\ge0\). Ainsi \(D_f=[0;+\infty[\).
Pour \(x>0\), posons \(u(x)=\frac{x}{x^2+3}\). Alors
\[u'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2},\qquad f'(x)=\frac{u'(x)}{4u(x)^{\frac34}}.\]En 0, \(f(0)=0\). Pour \(x>0\), calculons directement
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac1{x^{\frac34}(x^2+3)^{\frac14}}.\]Le dénominateur est positif et a pour limite 0, d’où
\[\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=+\infty.\]Il n’y a pas de dérivée finie à droite en 0 ; la courbe y admet une demi-tangente verticale.
Question 11
La racine carrée impose x≥0 ; appliquer la chaîne pour x>0 et vérifier séparément l’extrémité.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=3x+4\sqrt x,\quad u'=3+\frac2{\sqrt x},\quad f'=-u'\sin u\quad(x\gt 0)\]La formule ci-dessus vaut pour \(x>0\). Pour étudier la dérivabilité à droite en 0, posons \(u=3x+4\sqrt x\). Lorsque \(x\to0^+\), on a \(u\to0^+\). Comme \(f(0)=1\),
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{\cos u-1}{u^2}\cdot\frac{u^2}x.\]À l’aide de \(\cos u-1=-2\sin^2\left(\frac u2\right)\) et de la limite usuelle du sinus,
\[\lim_{u\to0}\frac{\cos u-1}{u^2}=-\frac12,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac{u^2}x=\lim_{x\to0^+}(3\sqrt x+4)^2=16.\]Par produit des limites,
\[\boxed{f'_d(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=-\frac12\times16=-8.}\]Pour \(x>0\), la règle de la chaîne donne
\[\boxed{f'(x)=-\left(3+\frac2{\sqrt x}\right)\sin(3x+4\sqrt x).}\]Question 12
Appliquer le quotient et simplifier les termes en cos x ; exclure les solutions de sin x=1.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=3\sin x-1,\ v=\sin x-1,\quad u'v-uv'=3\cos x(\sin x-1)-(3\sin x-1)\cos x=-2\cos x\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \{x:\sin x\ne1\}\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=\frac{1}{\sin{\left(x \right)} - 1}\) et \(v(x)=3 \sin{\left(x \right)} - 1\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\) et \(v'(x)=3 \cos{\left(x \right)}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 13
Dériver la fraction intérieure puis son cube ; vérifier que le dénominateur quadratique n’est jamais nul.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\frac{x+1}{x^2+3x+7},\quad u'=\frac{-x^2-2x+4}{(x^2+3x+7)^2},\quad f'=3u^2u'\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=\left(x + 1\right)^{3}\) et \(v(x)=\frac{1}{\left(x^{2} + 3 x + 7\right)^{3}}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=3 \left(x + 1\right)^{2}\) et \(v'(x)=\frac{- 6 x - 9}{\left(x^{2} + 3 x + 7\right)^{4}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- \frac{3 \left(x + 1\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 3 x + 7\right)^{4}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 14
Factoriser x³+x²=x²(x+1) pour le domaine et les points particuliers ; ne pas simplifier \(\sqrt{x^2}\) en x sans condition.
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On factorise le radicande : \(x^3+x^2=x^2(x+1)\). Il est positif ou nul exactement pour \(x\ge-1\), et
\[D_f=[-1;+\infty[,\qquad f(x)=|x|\sqrt{x+1}.\]La valeur absolue impose deux formules. Pour \(-1\lt x\lt0\), on a \(f(x)=-x\sqrt{x+1}\) ; pour \(x\gt0\), on a \(f(x)=x\sqrt{x+1}\). En dérivant ces produits,
\[f'(x)=\begin{cases}-\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}},&-1\lt x\lt0,\\[2mm]\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}},&x\gt0.\end{cases}\]En 0, \(f(0)=0\). Pour \(x\ne0\) assez proche de 0, le taux d’accroissement s’écrit
\[\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{|x|}x\sqrt{1+x}.\]Le facteur \(\frac{|x|}x\) vaut −1 pour \(x<0\), et 1 pour \(x>0\). Ainsi
\[f'_g(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=-1,\qquad f'_d(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=1.\]Les deux dérivées unilatérales diffèrent : la fonction n’est pas dérivable en 0.
À la borne −1, posons \(h=x+1\). Alors \(x=-1+h\), avec \(h\to0^+\) lorsque \(x\to-1^+\). Pour \(0 Le numérateur a pour limite 1 et le dénominateur pour limite \(0^+\), donc Il n’y a pas de dérivée finie à droite en −1 ; la demi-tangente correspondante est verticale.
Question 15
Calculer la dérivée du quotient intérieur puis utiliser celle du cosinus, avec son signe moins.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\frac{2x+1}{3x-2},\quad u'=\frac{2(3x-2)-3(2x+1)}{(3x-2)^2}=-\frac7{(3x-2)^2},\quad f'=-u'\sin u\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\setminus\{\frac23\}\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=\frac{2 x + 1}{3 x - 2}\) et on utilise \(u'(x)=- \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{\left(3 x - 2\right)^{2}} + \frac{2}{3 x - 2}\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=\frac{7 \sin{\left(\frac{2 x}{3 x - 2} + \frac{1}{3 x - 2} \right)}}{\left(3 x - 2\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 16
Dériver la fraction intérieure, puis appliquer la chaîne au sinus.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=\frac{1+x}{1+x^2},\quad u'=\frac{1+x^2-2x(1+x)}{(1+x^2)^2}=\frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2},\quad f'=u'\cos u\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
Cette fonction est une composée : on pose \(u(x)=\frac{x + 1}{x^{2} + 1}\) et on utilise \(u'(x)=- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}\) ainsi que la formule de la fonction extérieure.
\[f'(x)=- \frac{\left(x^{2} + 2 x - 1\right) \cos{\left(\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 17
Appliquer la règle du produit et conserver les facteurs 3 et 2 des angles composés.
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[f'=-3\sin(3x+1)\sin(2x)+2\cos(3x+1)\cos(2x)\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \mathbb R\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=\sin{\left(2 x \right)}\) et \(v(x)=\cos{\left(3 x + 1 \right)}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=2 \cos{\left(2 x \right)}\) et \(v'(x)=- 3 \sin{\left(3 x + 1 \right)}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=- 3 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x + 1 \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x + 1 \right)}\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
Question 18
Utiliser produit et chaîne ; exclure x=0 et les valeurs où \(\cos\left(\frac1x\right)=0\).
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On détaille la dérivation avant de simplifier. Les dénominateurs et les racines imposent les conditions précisées ci-dessous :
\[u=x^2,\ v=\tan(\frac1x),\quad f'=2x\tan(\frac1x)+x^2\frac{-\frac1{x^2}}{\cos^2(\frac1x)}\]La formule de dérivation ci-dessous est valable pour \(x\in \{x:x\ne0,\cos(\frac1x)\ne0\}\).
On applique la règle du produit, avec \(u(x)=x^{2}\) et \(v(x)=\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}\). Leurs dérivées sont \(u'(x)=2 x\) et \(v'(x)=- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}}\). Donc \(f'=u'v+uv'\).
\[f'(x)=2 x \tan{\left(\frac{1}{x} \right)} - \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1\]Le résultat s’obtient après simplification algébrique ; la formule demeure valable uniquement aux points de dérivabilité de \(f\).
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