Correction des exercices 17 à 20 — Structures algébriques
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces exercices font passer des lois de groupes aux lois d’anneaux. Il faut distinguer distributivité, associativité, commutativité, unité et groupe additif. La reconnaissance d’un transport de structure, lorsque le manuel suggère une formule particulière, évite de longues démonstrations répétitives. Une attention spéciale est accordée à la conservation de la stabilité des ensembles.
Exercice 17 — Propriétés de deux lois et distributivité
Sur \(\mathbb R\), les lois sont données par \(x\perp y=2y-x\) et \(xTy=(x+y)/2\). Étudier leurs propriétés puis vérifier les deux distributivités demandées.
Pour une loi arbitraire, contrôler séparément commutativité, associativité et existence d’un neutre. La distributivité à droite et à gauche sont deux assertions distinctes.
Comparer les propriétés
Calculer les produits en inversant les arguments et en changeant le parenthésage.
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La loi \(T\) est commutative et idempotente : \(xTx=x\). Elle n’est pas associative en général, puisque
La loi \(\perp\) n’est pas commutative en général : \(x\perp y=2y-x\), tandis que \(y\perp x=2x-y\). Elle n’est pas associative : \((x\perp y)\perp z=x-2y+2z\), mais \(x\perp(y\perp z)=4z-2y-x\). Aucune des deux n’a de neutre commun à tous les réels.
Une loi n’est pas un groupe simplement parce qu’elle est définie sur les réels.
Vérifier les deux distributivités
Développer directement les trois termes pour les deux côtés de chaque égalité.
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La distributivité de \(T\) sur \(\perp\) se lit en comparant
La distributivité de \(\perp\) sur \(T\) se lit de même :
Des calculs analogues prouvent les égalités à droite.
La distributivité peut se produire même si aucune des lois n’est associative.
Exercice 18 — Anneau des nombres duaux
Dans \(\mathbb R^2\), additionner les couples coordonnée par coordonnée et poser \((a,b)\times(a',b')=(aa',ab'+ba')\). Montrer que l’on obtient un anneau commutatif unitaire.
Vérifier \((A,+)\) groupe commutatif, puis la multiplication. La distributivité et l’associativité découlent des calculs réels ; chercher un neutre multiplicatif.
Construire l’anneau
Établir les axiomes par calcul sur trois couples et reconnaître la forme du neutre.
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L’addition usuelle fait de \(\mathbb R^2\) un groupe commutatif, de neutre \((0,0)\) et d’opposé \((-a,-b)\).
Pour trois couples, les deux parenthésages de la multiplication donnent le même couple \((aa'a'',aa'b''+ab'a''+ba'a'')\) ; les lois réelles assurent cette égalité. La multiplication est commutative par symétrie de la formule et distributive car chaque coordonnée est bilinéaire.
Cet anneau possède des diviseurs de zéro : \((0,1)^2=(0,0)\). Il n’est donc pas intègre, et a fortiori pas un corps.
Exercice 19 — Anneau sur les entiers par translation des lois
Sur \(\mathbb Z\), on définit \(xTy=x+y+3\) et \(x*y=xy+3x+3y+6\). Montrer que \((\mathbb Z,T)\) est un groupe commutatif, puis que \((\mathbb Z,T,*)\) est un anneau commutatif.
Technique du cours : reconnaître un transfert de structure. La bijection \(f(x)=x+3\) transforme \(T\) en l’addition usuelle et \(*\) en le produit usuel.
Groupe pour la loi T
Chercher d’abord la bijection simplificatrice \(f\), puis transporter neutre et opposé.
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L’application \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(x)=x+3\), est bijective et \(f(xTy)=x+y+6=f(x)+f(y)\).
Le neutre \(e_T\) vérifie \(f(e_T)=0\), d’où \(e_T=-3\). L’opposé pour \(T\) est l’élément \(x'\) tel que \(f(x')=-f(x)\), soit \(x'=-x-6\).
Il ne faut pas confondre le neutre de \(T\), égal à \(-3\), avec le zéro usuel.
Anneau
Montrer que la même bijection respecte la seconde loi : \(f(x*y)=f(x)f(y)\).
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Pour tout \(x,y\in\mathbb Z\) :
La bijection \(f\) transfère donc toutes les propriétés de \((\mathbb Z,+,\times)\), notamment l’associativité, la commutativité et la distributivité. Le neutre multiplicatif est \(f^{-1}(1)=-2\).
La bonne méthode n’est pas d’aligner de longs développements, mais d’expliciter le transfert de structure.
Exercice 20 — Anneau associé à la relation \(t^2=2\)
Sur \(\mathbb Z^2\), l’addition est usuelle et \((a,b)\times(a',b')=(aa'+2bb',ab'+ba')\). Montrer que l’ensemble muni des deux lois est un anneau commutatif.
Identifier la multiplication des expressions \(a+b\sqrt2\). L’injectivité de cette représentation fournit une justification des axiomes sans répétitions.
Construction de l’anneau
Considérer \(f(a,b)=a+b\sqrt2\) : calculer son image sur un produit puis exploiter la structure de \(\mathbb R\).
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L’application \(f:\mathbb Z^2\to\mathbb R\), \(f(a,b)=a+b\sqrt2\), est injective : \(a+b\sqrt2=0\) avec \(a,b\) entiers impose \(a=b=0\).
Son image est stable par les opérations réelles ; les lois sur \(\mathbb Z^2\) héritent donc des axiomes d’anneau. Les neutres sont \((0,0)\) et \((1,0)\).
La représentation par \(a+b\sqrt2\) est une méthode de cours généralisable aux extensions quadratiques.
À retenir
Construire un anneau ne consiste pas à supposer toutes les règles usuelles : chaque loi et chacune de ses conditions doit être identifiée ou héritée d’une structure déjà connue.
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