Correction des exercices 17 à 27 — Continuité à gauche et à droite — 2e Bac PC/SVT — Al Moufid
2e Bac PC/SVT • Continuité • Exercices d’application
Cette série porte sur la continuité à gauche et à droite d'une fonction en un point. Elle permet notamment d'étudier les fonctions définies par plusieurs expressions et de déterminer des paramètres pour assurer la continuité.
Lorsqu'une fonction change d'expression en un point, on calcule séparément sa limite à gauche et sa limite à droite. On compare ensuite les résultats avec la valeur de la fonction au point considéré.
Soit \(f\) une fonction définie en un réel \(a\).
La fonction \(f\) est continue à gauche en \(a\) lorsque :
\[ \boxed{\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)}. \]Elle est continue à droite en \(a\) lorsque :
\[ \boxed{\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)}. \]Lorsque le domaine contient des points situés des deux côtés de \(a\), la fonction est continue en \(a\) si elle est continue à gauche et à droite en ce point.
Exercice 17 — Continuité d'une fonction définie par morceaux
Question
Utiliser la formule de chaque côté du raccord et comparer les deux limites à la valeur en 1.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
La fonction possède deux expressions différentes de part et d'autre de \(1\). On calcule donc les limites à gauche et à droite, puis on les compare à \(f(1)\).
Puisque \(1\le1\), on utilise la première expression pour calculer \(f(1)\) :
\[ f(1)=(2-1)^2=1. \]À gauche de \(1\), on a \(f(x)=(2-x)^2\). Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) =(2-1)^2=1. \]À droite de \(1\), on utilise \(f(x)=x^3+x-1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) =1^3+1-1=1. \]Les deux limites sont égales :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x)=1. \]De plus, cette valeur est égale à \(f(1)\).
Exercice 18 — Étudier la continuité en plusieurs points
Question 1
Contrôler séparément les deux raccords −1 et 1, avec la branche et la valeur définies par l’énoncé.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Aux points \(-1\) et \(1\), l'expression de \(f\) change. On étudie donc chaque point séparément, en distinguant les limites à gauche et à droite.
Continuité en \(-1\)
Le réel \(-1\) appartient à l'intervalle de la deuxième expression. Ainsi :
\[ f(-1)=(-1)^2+4=5. \]À gauche de \(-1\) :
\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) =\lim_{x\to-1^-}(2x^2-3x) =2+3=5. \]À droite de \(-1\) :
\[ \lim_{x\to-1^+}f(x) =\lim_{x\to-1^+}(x^2+4) =5. \]Les deux limites sont égales à \(f(-1)\).
Continuité en \(1\)
Puisque \(1\ge1\), la valeur de la fonction est donnée par la troisième expression :
\[ f(1)=\sqrt{1^2+1}+2=\sqrt2+2. \]À gauche de \(1\), on utilise la deuxième expression :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(x^2+4)=5. \]À droite de \(1\), on utilise la troisième expression :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=\sqrt2+2. \]Or :
\[ 5\ne\sqrt2+2. \]Question 2
Vérifier d’abord quelle branche s’applique en un voisinage de 0 ; ne pas y importer les autres raccords.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Le réel \(0\) appartient à l'intervalle \(]-1;1[\). Dans cet intervalle :
\[ f(x)=x^2+4. \]Cette expression est polynomiale, donc continue en \(0\). On peut aussi le vérifier directement :
\[ \lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}(x^2+4)=4. \]Or :
\[ f(0)=0^2+4=4. \]Exercice 19 — Continuité à droite et à gauche en zéro
Question
Comparer les limites gauche et droite en 0 avec f(0), en respectant les deux expressions de la fonction.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Pour \(x=0\), on utilise la première expression :
\[ f(0)=0^2+\sqrt0-2=-2. \]À gauche de \(0\), on a \(f(x)=1-3x\), donc :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]À droite de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x^2+\sqrt x-2) =-2. \]On remarque que :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0), \]mais :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)\ne f(0). \]Exercice 20 — Déterminer un paramètre de continuité
Question
La continuité impose l’égalité des limites des deux branches avec la valeur au raccord ; résoudre l’équation sur k et vérifier.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Pour que \(f\) soit continue en \(4\), la limite à droite doit être égale à la limite à gauche et à \(f(4)\). On obtient ainsi une équation dont l'inconnue est \(k\).
La deuxième expression s'applique en \(4\). Donc :
\[ f(4)=(4+k)^2. \]À gauche de \(4\) :
\[ \lim_{x\to4^-}f(x)=(4+k)^2. \]À droite de \(4\) :
\[ \lim_{x\to4^+}f(x) =3\sqrt4-2(4)+5. \]On calcule :
\[ 3(2)-8+5=3. \]La condition de continuité est donc :
\[ (4+k)^2=3. \]Cette équation équivaut à :
\[ 4+k=\sqrt3 \quad\text{ou}\quad 4+k=-\sqrt3. \]D'où :
Exercice 21 — Valeur absolue et continuité unilatérale
Question 1
Calculer d’abord f(1), puis la limite à gauche et celle à droite : chaque continuité unilatérale se compare à f(1).
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
La présence de \(|x-1|\) conduit à distinguer les cas \(x\lt1\) et \(x>1\). On supprime d'abord la valeur absolue dans chaque cas, puis on calcule les limites.
On a :
\[ x^2-|x-1|-1 =(x-1)(x+1)-|x-1|. \]Pour \(x\ne1\), il vient :
\[ f(x)=x+1-\frac{|x-1|}{x-1}. \]À gauche de \(1\)
Pour \(x\lt1\), \(x-1\lt0\), donc :
\[ |x-1|=-(x-1). \]Par conséquent :
\[ f(x)=x+1+1=x+2. \]Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{x\to1^-}f(x)=3}. \]À droite de \(1\)
Pour \(x>1\), on a :
\[ |x-1|=x-1. \]Donc :
\[ f(x)=x+1-1=x. \]On obtient :
\[ \boxed{\lim_{x\to1^+}f(x)=1}. \]Comme \(f(1)=1\), on en déduit :
Question 2
La continuité bilatérale exige les deux continuités unilatérales ; une seule égalité ne suffit pas.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
D'après la question précédente :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1. \]Ces deux limites ne sont pas égales. La fonction n'admet donc pas de limite en \(1\).
Exercice 22 — Racine carrée et valeur absolue
Question
Utiliser chaque branche du bon côté de 2, puis comparer les deux limites à la valeur au point.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
On utilise d'abord la quantité conjuguée pour simplifier le numérateur. Ensuite, on distingue les deux signes possibles de \(x-2\) afin de supprimer la valeur absolue.
Pour \(x\ne2\), on a :
\[ \sqrt{x+2}-2 =\frac{x+2-4}{\sqrt{x+2}+2} =\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}. \]Par conséquent :
\[ f(x)= \frac{x-2}{|x-2|(\sqrt{x+2}+2)}. \]À gauche de \(2\)
Pour \(x\lt2\), \(x-2\lt0\), donc :
\[ |x-2|=-(x-2). \]Ainsi :
\[ f(x)=-\frac1{\sqrt{x+2}+2}. \]On passe à la limite :
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) =-\frac1{\sqrt4+2} =-\frac14. \]À droite de \(2\)
Pour \(x>2\), on a \(|x-2|=x-2\), d'où :
\[ f(x)=\frac1{\sqrt{x+2}+2}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) =\frac1{\sqrt4+2} =\frac14. \]Or \(f(2)=\frac14\).
Exercice 23 — Déterminer deux paramètres
Question
Écrire les conditions de raccord pour a et b, résoudre le système puis vérifier les valeurs dans les deux branches.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
La continuité impose l'égalité des limites à gauche et à droite avec \(f(1)\). Mais l'expression utilisée à gauche possède un dénominateur qui tend vers zéro : il faut d'abord déterminer \(a\) pour que la limite à gauche soit finie.
À gauche de \(1\), on a :
\[ f(x)=\frac{x^2+x-a}{x-1}. \]Lorsque \(x\to1^-\), le dénominateur tend vers \(0\). Pour que le quotient ait une limite finie, le numérateur doit tendre vers \(0\) :
\[ 1^2+1-a=0. \]Donc :
\[ \boxed{a=2}. \]Pour cette valeur :
\[ x^2+x-a=x^2+x-2=(x-1)(x+2). \]On simplifie, pour \(x\lt1\) :
\[ f(x)=x+2. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3. \]À droite de \(1\), on utilise \(f(x)=x^2+b\). On a donc :
\[ f(1)=1+b \]et :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1+b. \]La continuité en \(1\) impose :
\[ 1+b=3. \]D'où :
\[ \boxed{b=2}. \]Exercice 24 — Continuité en zéro avec des limites usuelles
Question
Calculer les limites à gauche et à droite en 0 avec les expressions correspondantes ; comparer ensuite à la valeur particulière.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Les expressions à gauche et à droite de zéro sont différentes et conduisent toutes deux à la forme \(\frac00\). On utilise la quantité conjuguée pour la première et une identité trigonométrique pour la seconde.
Limite à droite en \(0\)
Pour \(x>0\), au voisinage de \(0\) :
\[ f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-1}. \]On utilise la quantité conjuguée :
\[ \sqrt{x+1}-1 =\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}. \]Ainsi :
\[ f(x) =\frac{\sin x}{x}(\sqrt{x+1}+1). \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to0^+}(\sqrt{x+1}+1)=2. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=2}. \]Limite à gauche en \(0\)
Pour \(x\lt0\), on a :
\[ f(x)=\frac{x^2}{1-\cos(2x)}. \]On utilise l'identité :
\[ 1-\cos(2x)=2\sin^2x. \]D'où :
\[ f(x)=\frac12\left(\frac{x}{\sin x}\right)^2. \]Comme \(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1\), on obtient :
\[ \boxed{\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac12}. \]Conclusion
La valeur de la fonction en zéro est :
\[ f(0)=2. \]La limite à droite est égale à \(f(0)\), mais la limite à gauche est différente :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=\frac12 \ne 2=\lim_{x\to0^+}f(x). \]Exercice 25 — Continuité du produit de deux fonctions
Question 1
Étudier f et g séparément en 1 : la continuité d’une fonction ne se déduit pas de celle de l’autre.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Continuité de \(f\)
On a :
\[ f(1)=1-1=0. \]À gauche :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(x+1)=2. \]À droite :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(x-1)=0. \]Ces deux limites sont différentes.
Continuité de \(g\)
On a :
\[ g(1)=1^2+2(1)=3. \]À gauche :
\[ \lim_{x\to1^-}g(x) =\lim_{x\to1^-}(x-1)=0. \]À droite :
\[ \lim_{x\to1^+}g(x) =\lim_{x\to1^+}(x^2+2x)=3. \]Ces deux limites sont également différentes.
Question 2
Calculer explicitement le produit sur chaque branche ; même deux facteurs discontinus peuvent avoir un produit continu.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
On détermine d'abord l'expression du produit sur chaque intervalle. On étudie ensuite sa continuité en \(1\), indépendamment de celle des deux fonctions considérées séparément.
Posons \(h=f\times g\).
Pour \(x\lt1\) :
\[ h(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1. \]Pour \(x\ge1\) :
\[ h(x)=(x-1)(x^2+2x). \]Ainsi :
\[ h(x)= \begin{cases} x^2-1 & \text{si }x\lt1,\\ (x-1)(x^2+2x) & \text{si }x\ge1. \end{cases} \]En \(1\) :
\[ h(1)=(1-1)(1+2)=0. \]La limite à gauche vaut :
\[ \lim_{x\to1^-}h(x) =\lim_{x\to1^-}(x^2-1)=0. \]La limite à droite vaut :
\[ \lim_{x\to1^+}h(x) =\lim_{x\to1^+}(x-1)(x^2+2x)=0. \]Les deux limites sont égales à \(h(1)\).
Exercice 26 — Continuité d'une fonction définie par une aire
Pour \(x\in[0;4]\), \(f(x)\) représente l'aire de la partie colorée en jaune sur la figure ci-dessous.
La fonction \(f\) est-elle continue en \(2\) ?
Question
Vérifier les domaines de chaque branche puis calculer les deux limites au raccord x=2.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
On détermine l'aire coloriée selon que \(x\) est situé avant ou après \(2\). Les deux expressions obtenues permettront de calculer les limites à gauche et à droite.
Pour \(x\in[0;2]\)
La partie coloriée est un rectangle de longueur \(x\) et de hauteur \(1\). Son aire vaut :
\[ f(x)=x\times1=x. \]Pour \(x\in[2;4]\)
La région coloriée se compose de deux rectangles.
Le premier possède une longueur \(2\) et une hauteur \(1\), donc son aire est égale à \(2\).
Le deuxième possède une longueur \(x-2\) et une hauteur \(3\), donc son aire est égale à \(3(x-2)\).
L'aire totale est :
\[ f(x)=2+3(x-2)=3x-4. \]On peut donc écrire :
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si }0\le x\le2,\\ 3x-4 & \text{si }2\lt x\le4. \end{cases} \]Étude en \(2\)
La valeur de la fonction est :
\[ f(2)=2. \]À gauche de \(2\) :
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}x=2. \]À droite de \(2\) :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}(3x-4)=2. \]Les deux limites sont égales à \(f(2)\).
Exercice 27 — Déterminer trois paramètres
Question
Traduire chacune des trois continuités imposées en une équation, puis résoudre le système sans omettre une condition.
Afficher la réponse + Masquer la réponse −
Les trois conditions fournissent trois relations entre \(a\), \(b\) et \(c\). On commence par la limite à l'infini pour déterminer \(a\), puis on utilise l'égalité des limites en \(0\) et \(3\). Enfin, la continuité en \(2\) permet de terminer le calcul.
1. Condition à \(+\infty\)
Pour \(x\ge2\), on a :
\[ f(x)=\frac{ax^2+bx-1}{x^2-1}. \]En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\), on obtient :
\[ f(x)= \frac{a+\frac bx-\frac1{x^2}} {1-\frac1{x^2}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), les termes contenant \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers zéro. Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=a. \]La première condition impose donc :
\[ a=2. \]2. Égalité des limites en \(0\) et en \(3\)
Au voisinage de \(0\), on utilise la deuxième expression \(f(x)=3x+c\). Donc :
\[ \lim_{x\to0}f(x)=c. \]Au voisinage de \(3\), on utilise la première expression :
\[ \lim_{x\to3}f(x) =\frac{9a+3b-1}{9-1} =\frac{9a+3b-1}{8}. \]En remplaçant \(a\) par \(2\), il vient :
\[ \lim_{x\to3}f(x)=\frac{17+3b}{8}. \]L'égalité demandée fournit donc :
\[ \boxed{c=\frac{17+3b}{8}}. \]3. Continuité en \(2\)
Puisque \(2\ge2\), on a :
\[ f(2)=\frac{4a+2b-1}{4-1} =\frac{4a+2b-1}{3}. \]Avec \(a=2\) :
\[ f(2)=\frac{7+2b}{3}. \]À gauche de \(2\) :
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}(3x+c) =6+c. \]À droite de \(2\), la limite est égale à la valeur de la première expression en \(2\) :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) =\frac{7+2b}{3}. \]La continuité impose :
\[ 6+c=\frac{7+2b}{3}. \]On remplace maintenant \(c\) par la valeur trouvée à l'étape précédente :
\[ 6+\frac{17+3b}{8} =\frac{7+2b}{3}. \]On réduit au même dénominateur :
\[ \frac{65+3b}{8} =\frac{7+2b}{3}. \]On effectue le produit en croix :
\[ 3(65+3b)=8(7+2b). \]En développant :
\[ 195+9b=56+16b. \]Donc :
\[ 139=7b, \]d'où :
\[ \boxed{b=\frac{139}{7}}. \]On détermine ensuite \(c\) :
\[ c=\frac{17+3b}{8} =\frac{17+3\cdot\frac{139}{7}}{8}. \]Ainsi :
\[ c=\frac{119+417}{56} =\frac{536}{56} =\frac{67}{7}. \]Ce qu'il faut retenir
Pour étudier la continuité d'une fonction définie par plusieurs expressions, on commence par identifier celle qui s'applique au point considéré afin de calculer la valeur de la fonction.
On calcule ensuite la limite à gauche à l'aide de l'expression utilisée pour les valeurs inférieures au point, puis la limite à droite avec l'expression utilisée pour les valeurs supérieures.
La continuité exige l'égalité de ces deux limites avec la valeur de la fonction.
Lorsqu'une valeur absolue intervient, on distingue les cas suivant le signe de son expression. Lorsqu'un quotient donne la forme \(\frac00\), on peut utiliser une factorisation ou une quantité conjuguée.
Enfin, lorsque des paramètres doivent être déterminés, on traduit les conditions données par des équations, puis on résout ces équations et on vérifie les résultats obtenus.
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